(完整word版)全等三角形证明专题

数学思维方法讲义之一年级：九年级

§第1讲证明（三角形专题）

【学习目标】

1、牢记三角形的有关性质及其判定；

2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

【考点透视】

1、全等三角形的性质与判定；

2、等腰（等边）三角形的性质与判定；

3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；

4、相似三角形的性质与判定。

【精彩知识】

专题一三角形问题中的结论探索

【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一

起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；

③O为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号

是.

●变式练习

1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结

论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号

是．

★考点感悟：

专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索

【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足

为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

（1）求证：CE=CF．

（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图（1）图（2）

【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的

时，求线段EF的长．

★考点感悟：

B C E

●变式练习：

如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针

旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B

逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；

④

AOBO

S=6+33

四形

边

；⑤

AOC AOB

S S6+

V V

．其中正确的结

论是【】

A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③

【例4】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC

边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若

成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=2时，求线段BG的长．

★考点感悟：

专题三几何动态问题

【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，点D是BC边的中点．点P

从点B出发，以a cm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1 cm/s的速度从点D出

发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运

动的时间为t s．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

①若a＝

2，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

★考点感悟：

●变式练习：

已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是

线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边

三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，

G点移动的路径长度为．

C E

P Q

专题四几何与函数结合问题

【例6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .

（1）当EF x 31

=时，求DBC DPE S S ??:的值；（2）当CQ =21

CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；

（3）①当CQ =31

CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；

②当CQ =n

CE （n 为不小于2的常数）时，求直接y 与x 之间的函数关系式。

★考点感悟：

【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1，0），C （3，0），D （3，4）．以A 为顶点的抛物线y =ax 2+bx +c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．

★考点感悟：

【课后测试】

一、选择题：

1、下列判断正确的是（）

A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B.有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2、在平面直角坐标系xoy中，已知A（2，–2），在y轴上确定点P，使△AOP为等到腰三角形，

则符合条件的点P共有（）

A.2个

B.3个

C. 4个

D.5个

二、填空题：

3、在锐角三角形ABC中，BC=2

4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，

M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是。

4、如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=3，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现

在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为▲ （结果用含有π的式子表示）

三、解答题：

5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边

分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）。

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①PF

PE的值是否发生变化？请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。

图①图②

6、如图（1），将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开得到△ABD和△ECF，固

定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。

（1）操作：如图（2），将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F

在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合）。FE交DA于点G

（G点不与D点重合）。求证：BH·GD=BF2

（2）操作：如图（3），△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），

且CF始终经过A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG。探究：FD+DG=__________。

请予证

明。

（1）(2) (3)

学生对本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○不怎么样

家长意见或建议：

家长签字：

部分答案：

【例3】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。

∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BDF∽△CED。∴BD DF

CE ED

。

∵BD=CD，∴CD DF

CE ED

，即

CD CE

DF ED

。

又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。∴△BDF∽△CED∽△DEF。（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=1

BC=6。

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，∴AD=8。

∴S△ABC=1

?BC?AD=

×12×8=48，

S△DEF=1

S△ABC=

×48=12。

又∵1

?AD?BD=

?AB?DH，∴

AD BD8624

AB105

===。

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。

∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。

又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。∴DH=DG=24

。

∵S△DEF=1

·EF·DG=

·EF·

=12，∴EF=5。

例3变式：A。

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。

∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。

连接OO′，

∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②

正确。

∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形。

∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。

AOO OBO

AOBO

S S S34+4236+43

?'?'

=+=????=

四形

边

。故结论④错误。如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重

合，

点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、

5的

直角三角形。

则

AOC AOB AOCO COO AOO

113393 S S S S S34+3=6+

??"?"?"

+==+=????。

故结论⑤正确。

综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。

【例4】解：（1）BD=CF成立。理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。

（2）①证明：设BG交AC于点M．

∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。

又∵∠BMA=∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG 。 ∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD ⊥CF 。 ②过点F 作FN ⊥AC 于点N 。 ∵在正方形ADEF 中，AD=DE=2， ∴2222AE AD +DE 2+22===。 ∴AN=FN=

AE=1。 ∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC ﹣AN=3，2222BC AB +AC 4+442===。 ∴在Rt △FCN 中，FN 1

tan FCN CN 3

∠=

=。在Rt △ABM 中，AM 1

tan FCN tan ABM AB 3

∠=∠==。

∴AM=14

AB 33

=。

∴CM=AC ﹣AM=4﹣4833=，2

2224410BM AB +AM 4+3??

=== ???

。

∵△BMA ∽△CMG ，∴BM CM

BA CG =

，即4108

334CG

=，∴CG=410。 ∴在Rt △BGC 中，()

410810

BG BC CG 425??=-=

-= ? ???

。【例5】解：（1）△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，D 是BC 的中点，∴BD=CD=1

BC=6。 ∵a=2，∴BP=2t ，DQ=t 。∴BQ=BD －QD=6－t 。 ∵△BPQ ∽△BDA ，∴

BP BQ BD AB =

，即t 6t

610

-=，解得：18t=13。（2）①过点P 作PE ⊥BC 于E ， ∵四边形PQCM 为平行四边形， ∴PM ∥CQ ，PQ ∥CM ，PQ=CM 。 ∴PB ：AB=CM ：AC 。

∵AB=AC ，∴PB=CM 。∴PB=PQ 。

∴BE=

12BQ=1

2（6－t ）。 ∵a= 5 2，∴PB= 5 2

t 。

∵AD ⊥BC ，∴PE ∥AD 。∴PB ：AB=BE ：BD ，即51

t (6t)22106

=－。解得，t=

。 ∴PQ=PB= 5 2t=15

（cm ）。

②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM 为平行四边形，∴PM ∥CQ ，PQ ∥CM ，PQ=CM 。 ∴PB ：AB=CM ：AC 。

∵AB=AC ，∴PB=CM ，∴PB=PQ 。

若点P 在∠ACB 的平分线上，则∠PCQ=∠PCM ， ∵PM ∥CQ ，∴∠PCQ=∠CPM 。∴∠CPM=∠PCM 。 ∴PM=CM 。∴四边形PQCM 是菱形。∴PQ=CQ 。 ∴PB=CQ 。

∵PB=at ，CQ=BD+QD=6+t ，∴PM=CQ=6+t ，AP=AB －PB=10－at ，且 at=6+t ①。 ∵PM ∥CQ ，∴PM ：BC=AP ：AB ，∴

6t 10at

1210

+-=

，化简得：6at+5t=30②。把①代入②得，t=6

。 ∴不存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上。

【例6】【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例解：（1）∵E 、F 是AB 、AC 中点 ∴EF ∥BC ，EF =0.5BC =3 ∴EP =EF x 3

==1

∵EF ∥BC

∴△DPE ∽△DBC ∴EP ：BC =1：6

∴DBC DPE S S ??:=1：36

（2）延长BQ 交射线EF 于点G ∵EF ∥BC ∴∠G =∠GBC 又∵∠GBC =∠GBP ∴∠G =∠GBP ∴PG =BP =y 即EG =x +y ∵EF ∥BC ∴△QEG ∽△QCB ∴EQ ：QC =EG ：BC =1

x +y =6 即y = –x +6 (3)①同（2）中 △QEG ∽△QCB EQ ：QC =EG ：BC =2 x +y =2×6 y = –x +12

②y = –x +6(n –1)

【例7】解：（1）A （1，4）。

由题意，设抛物线解析式为y =a （x ﹣1）2+4

∵抛物线过点C （3，0），∴0=a （3﹣1）2+4，解得，a =﹣1。 ∴抛物线的解析式为y =﹣（x ﹣1）2+4，即y =﹣x 2+2x +3。（2）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，

∵A （1，4），C （3，0），

∴4k b 03k b =+??=+?，解得k 2b 6=-??=?

。

∴直线AC 的解析式为y =﹣2x +6。 ∵点P （1，4﹣t ），

∴将y =4﹣t 代入y =﹣2x +6中，解得点E 的横坐标为t

x 12

。 ∴点G 的横坐标为t

+，代入抛物线的解析式中，可求点G 的纵坐标为2t 44-。

∴GE =（2t 44-）﹣（4﹣t ）=2

t t 4

-。

又点A 到GE 的距离为t 2，C 到GE 的距离为t

-，

∴

()22

ACG AEG CEG

1t 1t t 1S S S EG EG 2=EG=t =t 2+1222244

???=+=??+?----（）。 ∴当t =2时，S △ACG 的最大值为

1。（3）20

或t=20- 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形和菱形的性质。

【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A 得到坐标；由顶点A 的坐标可设该抛物线的顶点式方程为

y =a （x ﹣1）2+4，然后将点C 的坐标代入，即可求得系数a 的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）。

（2）利用待定系数法求得直线AC 的方程y =﹣2x +6；由图形与坐标变换可以求得点P 的

坐标

（1，4﹣t ），据此可以求得点E 的纵坐标，将其代入直线AC 方程可以求得点E 或点G 的横坐标；

然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE =2t t 4-、点A 到GE 的距离为t

，C 到GE

的距离为t 22

-；最后根据三角形的面积公式可以求得()2

ACG AEG CEG 1S S S =t 2+14???=+--，

由二次函数的最值可以解得t =2时，S △ACG 的最大值为1。

（第23题图①）

A E

（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H 在直线EF 上。分CE 是边和对角

线两种情况讨论即可。

由题设和（2）知，C （3，0），Q （3，t ），E （t

1,4t 2+-），设H （t 1,m 2

+）。

当CE 是对角线时，如图1，有CQ =HE =CH ，即

()2222222

4t m=t

m=42t 442t 3t 8t+16=013t 72t+80=0t 4m 3t 8t+16=02+m =t 2--?-?????---?-????---?

?? ????

，

解得，20

或t =4（舍去，此时C ，E 重合）。当CE 是边时，如图2，有CQ =CE =EH ，即

()()2222

m 4t =t m=4t 40t+80=0t t 40t+80=02+4t =t 2?--??????-????-?

--?? ??

???，解得，t=2085-或t=20+85（舍去，此时已超过矩形ABCD 的范围）。综上所述，当20

或t=2085-时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形。 5、解：（1）在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，

AP ＝1，CD ＝AB ＝2，则PB ＝5．

∴∠ABP ＋∠APB ＝90° 又∵∠BPC ＝90°

∴∠APB ＋∠DPC ＝90°

∴∠ABP ＝∠DPC ∴△APB ∽△DCP ∴

AP CD ＝PB PC 即 12 ＝5PC

∴PC ＝2 5

（2）PF

的值不变

理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，则四边形ABFG 是矩形 ∴∠A ＝∠PFG ＝90°，GF ＝AB ＝2 ∴∠AEP ＋∠APE ＝90° 又∵∠EPF ＝90°

∴∠APE ＋∠GPF ＝90° ∴∠AEP ＝∠GPF ∴△APE ∽△GPF ∴PF PE ＝GF AP ＝2

1 ＝

2 ∴PF PE ＝2 ∴PF

PE 的值不变（3）线段EF 的中点经过的路线长为 5

6、(1)证明：根据图②操作有∠B=∠D=∠CFE, BF=DF 在△DFG 中，∠D+∠DFG+DGF=180°，而∠DFG+∠CFE+BFH=180° ∴ ∠BFH=∠DGF, 又∠B=∠D

∴△BFH ∽△DGF ∴BH DF =BF

由于BF=DF ∴BF 2=BH·DG

（2）解：探究得出：FD+DG=BD

证明：∵AG ∥CE, ∴∠FAG=∠C,∠FGA=∠E ∵∠CFE=∠E, ∴∠E=∠FGA ∴AG=AF

根据菱形有：∠BAD=∠FCE ∴∠BAD=∠FAG, 即：∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠DAG ∴∠BAF=∠DAG

在△ABF 与△ADG 中,???AB=AD

∠BAF=∠DAG AF=AG

∴△ABF ≌△ADG ∴BF=DG

∴DF+DG=DF+BF=BD

(完整版)全等三角形基础练习证明题

全等三角形的判定班级：姓名： 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，求证BE =CF 。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，求证AE ∥CF 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，求证AB ∥CD 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，求证AB ∥CD 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，求证⊿ABD ≌⊿ACE . 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，求证AF =CE 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C ，求证AF =DE 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A B C E H A C M E F B D A B C D F E C B D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B

中学全等三角形经典证明题汇总

中学全等三角形经典证明题汇总 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 B A D B C C B A C D F 2 1 E C D B A

8.已知：AB 知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

16．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 17．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 18．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 19．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 20、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 21、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC 的中线。

初二数学全等三角形证明题专题训练

初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。

6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3

全等三角形证明题精选

1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 F E A C D B A E D C B D C B E G

6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇ D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B’C’。 A B C D E F O A B C D E F A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4

全等三角形证明题(含答案版)

1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是 BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长. 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，在△ABE和△DAF中，? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 3 4 1 2 DA AB ， ∴△ABE≌△DAF. （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o 在正方形ABCD中，AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o 在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=3 , DF =1, 由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE= 1 3- . 2、如图， , AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠ 于点，，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1） ADB ADC △≌△、 ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、 BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）. （2）以 △ADB≌ADC为例证明．证明： ,90 AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠= °. 在Rt ADB △和Rt ADC △中， ,, AB AC AD AD == ∴Rt ADB △≌Rt ADC △. 3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.

全等三角形证明经典题(含答案)

全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C

过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A

八年级上册全等三角形证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质 1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．题型2：两次全等 1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分 O C E B D A A B E O F D C

3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG 题型3：直角三角形全等（余角性质） 1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．求证：BD ＝CG ． 2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE A F C B D E G A F D E

全等三角形证明经典50题(含答案)

1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． P E D C B A F A E D C B

6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ． O E D C B A F E D C B A

八年级数学全等三角形证明题

八年级数学全等三角形证明题 Prepared on 21 November 2021

第十三章全等三角形测试卷（测试时间：90分钟总分：100分）班级姓名得分一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是（） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ，则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对（第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1

全等三角形证明经典100题

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C

5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD A D B C B A C D F 2 1 E C D B A

8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C B A C D F 2 1 E C D B A

12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C D C B A F E

八年级全等三角形证明经典题

全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A

6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A

9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

全等三角形证明经典50题

1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A D B C B B A C D F 2 1 E C D B A A D B C

11.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 12.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

初二全等三角形分类证明题

八年级全等三角形分类证明题一．SAS 1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。（1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。（图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A

全等三角形证明题大综合

全等三角形证明习题 1?在△ ABC中，AB=AC , AD是三角形的中线.求证：△ ABD ◎△ ACD 2.如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证:BE // CF. 3.已知，如图BD平分/ ABC , AB = BC 。求证：AD = CD 4.如图（1） : AD丄BC 垂足为D, BD=CD求证： AB=AC C C

5.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, / B= / C. 求证：/ A= / D 6.如图，AB=AD, BC=DE, / B=/ D.问/ BAE 与/ DAC 7.已知：如图,/仁/ 2,BD=CD，求证:AD是/ BAC勺平分线. 8.如图所示在△ ABC中，AB=AC , D是BD的中点，求证: 9.女口图（2） : AC// EF, AC=EF AE=BD 求证：△ ABC^A EDF C D

10.已知：如图，AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D 在 BE 边上. 求证：/ CAE= / DAB . 11.已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点0, / B= / Co 求证：△ ABE ◎△ ACD 12.女口图：AC=DF AD=BE BC=EF 求证：/ C=/ F 。 13.如图：AB=AC DB=DC F 是AD 的延长线上的一点。求证: C BF=CF AB=AC , C F

14.如图，CE 丄AB 于E , DF 丄AB 于F , AF=BE ,且AC=BD , 求证：AC// BD 15.如图，已知AB=DE BC=EF AF=DC则/ EFD2 BCA请说明理由。 16.如图（6）: CG=CF BC=DC AB=ED 点A、B、C D E在同一直线上。（1）AF=EG（2）BF/ DG 求证: B D

全等三角形证明100题

1：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。 2：已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB :3：已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 :4：已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 B C A D B C B A C D F 2 1 E

7：P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

11：如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA : 12：如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 13：已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

全等三角形证明经典题(含答案解析)

全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜ AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠ CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴ A D B C

∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证： BC=AB+DC 。在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF B A C D F 2 1 E A

八年级数学全等三角形的证明归类

八年级数学全等三角形的证明归类初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边)∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ）二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE A 第2图

∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ）四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中， ∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） E F E D C B A B

全等三角形综合证明题(含详细答案)

全等三角形综合证明题（含详细答案） 1.如图，在R △ABC 中，∠ACB=45，∠BAC=90，AB=AC ，点D 是AB 的中点， AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE. 2．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(2 1 AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少？ 3.已知：如图， AF 平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ， AF 相交于P ，M ．(1)求证：AB=CD ；(2)若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．(外角关系) F M P E D C B A

4.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，且AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，点D 是AC 的中点，AE ⊥BD 于点F,交BC 于点E,连接DE.求证（1）∠BAF=∠ADB;(2)∠ADB=∠EDC 5.(1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结 EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由． (2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？ 6.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形， B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE 图1 图2 D C E A B （第22题） A G F C B D E （图１）

初二数学第一章全等三角形证明经典例题(含答案)

初二数学全等三角形证明经典例题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 第1题图第2题图第3题图 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 第4题图第5题图第6题图 4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 第7题图第8题图第9题图 8、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 第10题图第11题图第12题图 10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 第13题图第14题图第15题图第16题图 13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．第17题图第18题图第19题图第20题图 18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 19、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。 20、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 21、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 第21题图第22题图第23题图第24题图第25题图 22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 23、.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 24．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 25.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 F E D C B A M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A D C A F E P E D C B A O E D C B A F E D C B A