高中数学平面几何例题

必修2 一、平面几何

（一）直线

1、 直线的斜率与倾斜角

(1)斜率

①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=

≠- ②斜率的范围：k R ∈

(2)直线的倾斜角范围：)0,180??

（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠

注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；

（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。

2、直线方程

(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线

（2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线

注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零

（3）两点式：1112122121

(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b

+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）

（6）特殊直线方程

①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x =

②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y =

③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx =

在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =

在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx =

3、平面上两直线的位置关系及判断方法

（1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+

①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠）

②重合：12k k =且12b b =

③相交：12k k ≠

特别地，垂直：121k k =-

（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=

①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证）

②重合：1221A B A B =且1221A C A C =

③相交：1221A B A B ≠

特别地，垂直：12120A A B B +=

（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=

与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+=

4、其他公式

（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y

，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22

x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33

x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=

的距离公式：d =

（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离

：d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）

（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点

（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。

（二）、圆

1、圆的方程

（1）圆的标准方程：222

()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径

（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --

(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

2、直线与圆的位置关系

(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222

:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l

的距离d =

①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0?>

②直线与圆相切，则d r =或方程组的0?=

③直线与圆相离，则d r >或方程组的0?<

（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l

，满足：l =（3）直线与圆相切时，

①切线的求法：

（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；

（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。

②由圆外点00(,)P x y 向圆222

:()()C x a y b r -+-=引切线，记,P C 两点的距离为d ，则

切线长l =（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r -，最远距离为d r +

3、两圆的位置关系

圆2221111:()()C x a y b r -+-=，圆2222222:()()C x a y b r -+-=，两圆圆心距

离d =

(1)两圆相离，则12d r r >+

（2）两圆相外切，则12d r r =+

（3）两圆相交，则1212r r d r r -<<+

注：圆221111:0C x y D x E y F ++++=，圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交，则两

圆相交弦方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=

（4）两圆相内切，则12d r r =-

（5）两圆内含，则120d r r ≤<-

特别地，当0d =时，两圆为同心圆

（三）、空间直角坐标系

1、右手系（与y 轴，z 轴平行或在y 轴，z 轴上的线段长度不变，与x 轴平行或在x 轴上的线段长度变为原来的一半。）

2、空间两点间的距离公式：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则

AB =3、空间两点的中点坐标公式：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 中点坐标为121212(,,)222

x x y y z z +++ 二、立体几何

（一）三视图与直观图

1、三视图：主视图与左视图要高平齐；主视图与俯视图要长对正；俯视图与左视图要宽相等

2、直观图：

（1）与x 轴，z 轴平行或在x 轴，z 轴上的线段长度不变，与y 轴平行或在y 轴上的线段长度变为原来的一半。

（2）原图形与直观图面积之比为1:22

（二）平面的基本性质

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。

即：,A B αα∈∈，则AB α?

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

即：,P P αβ∈∈，则l αβ=，且P l ∈

公理3：经过不在同一直线上的3点有且只有一个平面

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面

（三）空间两条直线的位置关系

1、位置关系：

（1）相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点

（2）平行直线：在同一个平面内，没有公共点

（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

2、平行直线

(1)公理4（平行的传递性）：平行于同一条直线的两条直线平行

即：a ∥b,b ∥c ，则a ∥c

（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。

（延伸：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。）

3、异面直线

判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 即：,,,l A B B l ααα??∈?，则AB 与l 是异面直线

（四）直线与平面的位置关系

1、位置关系：

（1）直线在平面内（或平面经过直线）：有无数个公共点，记作：a α?

（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作：a A α=

（3）直线与平面平行：没有公共点，记作：a α∥

注：直线与平面相交，直线与平面平行统称为直线在平面外。

2、直线与平面平行

（1）判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

即：,,a b a αα??∥b ，则a α∥

（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

即：,l l m αβαβ?=∥,，则l m ∥

3、直线与平面垂直

(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

即：,,,,a m a n m n A m n αα⊥⊥=??，则a α⊥

（2）性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

即：,a b αα⊥⊥，则a ∥b

（3）重要性质：

①如果直线与平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

即：,a l αα⊥?，则a l ⊥

②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

即： a a α⊥∥b,，则b α⊥

（4）重要结论：

①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；

②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

（五）平面与平面的位置关系

1、位置关系：

（1）两平面平行：没有公共点，记作：αβ∥

（2）两平面相交：有一条公共直线，记作：l αβ=

2、两平面平行

（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

即；,,,a b a b A a αααα??=∥,b ∥，则αβ∥

（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。

即:αβαγβγ∥,=a,=b ,则a ∥b

（3）重要性质：

①如果两个平面平行，那么一个平面内的直线和另一个平面平行。

即：αβα?∥,a ，则a β∥

②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

即：,l αβα⊥∥ ，则l β⊥

3、两平面垂直

（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

即：,l l αβ⊥?，则αβ⊥

（2）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

即：,,,l m m l αβα

βα⊥=?⊥，则m β⊥ （六）空间角

1、异面直线所成的角：范围：(0,90??

2、线面角

（1）斜线与平面所成的角：范围：()

0,90

（2）直线与平面所成的角：范围：0,90????

3、两面角：二面角的平面角的范围：0,180????

（七）空间的距离

1、点到面的距离

2、直线与平面的距离

3、两平行平面间的距离

（八）空间几何体及侧面积，体积

1、多面体

（1）棱柱：两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形 ①直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱（侧面都是矩形）（如：长方体）

②正棱柱：底面是正多边形的直棱柱（如：正方体）

侧面积：s ch =（c 为底面周长，h 为高）

体积：v sh =（s 为底面积，h 为高）

（2）棱锥：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形

①正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧面是全等的等腰三角形。（如：正三棱锥，正四面体） 侧面积：'12s ch =

（c 为底面周长，'h 为斜高） 体积：13

v sh =（s 为底面积，h 为高） （3）棱台：底面是相似的多边形，侧面是梯形，各侧棱延伸后交于一点

①正棱台：底面是正多边形，侧面是全等的等腰梯形 侧面积：''1()2s c c h =

+（',c c 分别为上、下底面周长，'h 为斜高）

体积：'1()3

v h s s =+（',s s 分别为上、下底面面积，h 为高） 2、旋转体

(1)圆柱：矩形绕着它的一边所在的直线旋转形成的。

侧面积：s cl =（c 为底面圆周长，l 为母线长）

体积：v sh =（s 为底面圆面积，h 为高）

（2）圆锥：直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转形成的。 侧面积：12s cl =

（c 为底面圆周长，l 为母线长） 体积：13

v sh =（s 为底面圆面积，h 为高） （3）圆台：直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转形成的。 侧面积：'1()2s c c l =

+（',c c 分别为上、下底面圆周长，l 为母线长）

体积：'1()3

v h s s =+（',s s 分别为上、下底面圆面积，h 为高） （4）球：半圆绕着直径所在的直径旋转形成的。 表面积：24s r π= 体积：343

v r π=