2021年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数同步训练新人教B版必修
2021年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数同步训练新人教B版必
修
5分钟训练
1.下列函数中是幂函数的是（）
A.y=(x+2)2
B.y=
C.y=
D.y=3x
答案：C
解析：根据幂函数的定义判断.
2.下列函数图象中，表示y=的是（）
答案：C
解析：因为<0,所以A、D错误.又因为函数是奇函数，所以B错误.
3.幂函数y=x a的图象一定经过（0，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1）中的( )
A.一点
B.两点
C.三点
D.四点
答案：A
解析：所有幂函数的图象都过点（1，1）.
4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，），那么这个幂函数的解析式为_____________.
答案：y=
10分钟训练
1.下列命题中，不正确的是（）
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.幂函数y=既不是奇函数也不是偶函数
答案：C
解析：函数y=x是奇函数，不是偶函数.
2.幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（）
A.（0，+∞）
B.［0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
答案：D
解析：设f(x)=xα.由2α=,得α=-2,故f(x)=x-2,其单调增区间是（-∞,0）.
3.函数y=的图象是（）
答案：D
解析：y=的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位得到的.
4.当x>1时，函数y=x a的图象恒在直线y=x的下方，则a的取值范围是（）
A.0 B.a<0 C.a<1 D.a>1 答案：C 解析：观察幂函数的图象. 5.若幂函数y=x n对于给定的有理数n，其定义域和值域相同，则此幂函数（） A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.一定不是奇函数 D.一定不是偶函数 答案：D 解析：可使用排除法，如y=满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A、B均不对.y=x3满足题意，它是奇函数，所以C不对. 6.已知x2>，求x的取值范围. 解：在同一坐标系中，作出函数y=x2与y=的图象，如图. 通过图象可以看出，当且仅当x>1时，x2>, ∴所求x的取值范围是x>1. 30分钟训练 1.下列命题中正确的是（） A.当α=0时函数y=xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C.若幂函数y=xα是奇函数，则y=xα是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解析：对于A，当α=0时，函数y=xα是y=1(x≠0),它不是直线；当幂指数α<0时图象不经过原点，所以B错；由y=x-1,可知C错. 2.已知幂函数y=，y=，y=，y=在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是( ) A.n 1>n 2>1，n 3 B.n 1>n 2>1，n 4 C.n 1>1>n 2>0>n 4>n 3 D.n 1>1>n 2>0>n 3>n 4 答案：D 解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1，1）点作垂直于x 轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小. 3.下列不等式中错误的是( ) A.0.50.3＜0.70.3 B. C. D. 答案：C 解析：利用幂、指、对函数的单调性进行判断. 4.(创新题)函数①y=|x|;②y=;③y=;④y=中，在（-∞,0）上是增函数的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案：C 解析：①y=|x|=在（-∞,0）上是减函数，排除A 、D ；②y=在（-∞,0）上为常数函数，排除B. 5.设函数f(x)=?????>≤--, 0,,0,1221x x x x 若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是（ ） A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案：D 解析：由所以x<-1. 又由? ??>>?????>>,0,1,0,121x x x x 得所以x>1. 所以x 0的取值范围是（-∞,-1）∪(1,+∞). 6.幂函数y=x -1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”： Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示)，那么幂函数y=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ） A.Ⅳ Ⅶ B.Ⅳ Ⅷ C.Ⅲ Ⅷ D.Ⅲ Ⅶ 答案：D 解析：y=，其图象为第一象限的一条双曲线，与y=x -1交叉出现.由<-1,可知它经过Ⅲ、Ⅶ“卦 限”. 7.,则实数a 的取值范围是__________________. 答案：a>3 解析：y=在R 上是增函数，所以有a+1<2a-2.解得a>3. 8.已知函数f(x)=. (1)画出f(x)的草图； （2）指数f(x)的单调区间； （3）设a,b,c>0,a+b>c,证明f(a)+f(b)>f(c). 解：(1)f(x)=.函数f(x)是由y=向左平移1个单位后，再向上平移1个单位形成的，图象如图. （2）由图象可以看出，函数f(x)有2个单调递增区间:（-∞,-1）,(-1,+∞). (3)f(a)=,f(b)=. ∵a,b>0,∴b a b b b b a a a a ++>+++>+11,11. ∴f(a)+f(b)>=f(a+b). ∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，a+b>c>0, ∴f(a+b)>f(c).∴f(a)+f(b)>f(c). 9.(探究题)已知函数f(x)=,求证： （1）f(x)在其定义域上是增函数； （2）方程f(x)=1最多有一个实根. 答案：(1)证明:f(x)的定义域为（0，+∞）. 设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1 )11)((11212121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-++-=-+-=. ∵0 ∴f(x)为增函数. （2）证明：f(x)的值域为R .假设存在x 1,x 2>0,使f(x 1)=f(x 2)=1.不妨设x 1 ∴f(x 1) ∴假设不成立，即f(x)=1的根只有一个. 10.已知幂函数f （x ）=（m∈Z ）的图象关于y 轴对称且与x 轴、y 轴无交点. （1）试求函数f （x ）的解析式，并画出它的图象； （2）讨论函数g （x ）=的奇偶性（a 、b∈R ）. 解：（1）由幂函数的图象与x 、y 轴无公共点， ∴m 2-2m-3<0，即-1 又m ∈Z ，得m=0，1，2. ∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴它是偶函数.把m=0，1，2分别代入得f （x ）=x -3，f （x ）=x -4，f （x ）=x -3， 只有f （x ）=x -4符合条件，故m 只能取1. ∴f（x ）=x -4.其图象如图所示. （2）把f （x ）=x -4代入g （x ）的解析式，得 g （x ）=3244bx x a x x b x a -=?---（x≠0）， g （-x ）=3232)()(bx x a x b x a +=---. ∴当a≠0，b≠0时，g （x ）为非奇非偶函数； 当a=0，b≠0时，g （x ）为奇函数； 当a≠0，b=0时，g （x ）为偶函数； 当a=b=0时，g （x ）既为奇函数又为偶函数.