高等数学中常见的变量替换
目 录
引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于
0(或
∞
∞)型极限 (2)
(二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x
y n +∞
→lim
的求法 (3)
(四) 求数列的极限………………………………………………………(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 …………………………………(6) (一) 三角函数代换……………………………………………………(6) (二) 倒数代换…………………………………………………………(7) (三) 指数代换…………………………………………………………(8) (四) 不定积分?
dx
y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函
数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)
(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 (15)
五重积分中变量替换的应用 (16)
(一) 二重积分计算中的变量替换 (16)
(二) 利用直角坐标系计算 (18)
(三) 利用柱面坐标系计算 (19)
(四) 利用球面坐标系计算 (19)
结束语 (19)
参考文献 (20)
高等数学中常见的变量替换
鲁友栋
（数学系 辽宁 中国）
摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“
0”型，“∞-∞”型，数列等几种
极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。
关键词 变量替换 积分 极限
引言
在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。
一 极限运算中变量替换的应用
(一) 对于0
0（或∞
∞）型极限
若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令,...)
2,1(,1==k x
t
k
例1，求下列极限：
（1）100
10
2
lim
x
e x
x -→ （2）dt
e x
e x
x
t x
x ?
++
→10
1
2
2
11arctan
lim
解：（1）直接用洛必达法则，得
原式102
10
99
31
2
2
lim
50
11002lim
x
e x
x
e x
x x x -
→→=
?=
此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！
考虑变量替换2
1x
u =
，得
原式0
!50lim
...50lim
lim
49
50=====+∞
→+∞
→+∞
→u
u u
u u
u e
e
u e
u ；
（2）解：令x
u 1=
，得
原式?
?
?+=+++=+=+∞
→+∞
→+∞→u
u
t
u
u u
u
t
u
u u
t
u
u ue
dt e ue
ue
dt e ue
u
dt
e u e u 0
2
02
2
2
2
2
2
2
2
2lim
211
lim
arctan lim
2
)1(2)21(2lim
242lim
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2=++=+++=+∞
→+∞
→u
u
u u
u
u
u u
x e
u e u e
u e e
e
u e .
(二) 对于∞－∞型极限
此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于＋∞最快的项）。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。[1]
例1，求)]11ln([lim 2
x
x x x +
-+∞
→
解：令x
u
1=
得
原式u
u u
u u u u
u
u u u 2111lim
)
1ln(lim
)]1ln(11[lim 0
2
2
+-=+-=+-=→→→
2
1)
1(21lim
)
1(2lim
=
+=+=→→u u u u u u .
例2：求)(lim
6
5
6
6
5
6
x x x x x --
++∞
→
解：令x
u 1
=得
原式31
66
1)1(61)1(61lim 11lim 656506
6
=1+=??????-++=--
+=
--→→++
u u u
u
u x u .
(三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x
y x +∞
→lim 的求法。
解题方法：① 将隐函数0),(=y x F 化为参数式???==)
()(t y y t x x
② 将x
y x ∞
→lim
化为)
()(lim
t x t y t t →的形式，0t 可由观察法得出。[2]
例：设有方程)0(033
3>=-+a axy y x ，求(1)
曲线的渐近线方程
(2)求出与渐近线平行的切线。
解：令tx y =，则t ax t x x 23333=+，进而???
????
+=
+=32
31313t at y t at x
(1)
1lim 3113lim
lim
1
3
3
21
-==++==-→-→∞
→t at
t t
at x
y A t t x
[]a
t t t t at t
at t
at Ax x f B t t x -=+-++=++
+=-=-→-→∞
→)
1)(1()1(3lim
)1313(
lim )(lim 2
1
3
3
21
故斜渐近线为：a x B Ax y --=+=，即0=++a y x
(2) 方程033
3
=-+axy y x
的斜率为：2
2
y
ax ay x y --=
'
而渐近线的斜率：1-='y ，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相等，即
12
2
-=--y
ax ay x ，即)())((y x a x y x y -=+-，解得x y =或a
x y -=+
，将
a x y -=+代入方程得0=a (矛盾)，所以x y =。
将其代入033
3=-+axy y x ，得切点)23,23(
),0,0(a a .
故所求的切线方程：)0)(1(0--=-x y ，即0
=+y x .
或者)2
3)(1(2
3a x a y -
-=-
，即03=-+a y x .
(四) 求数列的极限
解题方法：① 先作出与数列同类形的连续变量x 的函数;
②再求该函数当+∞
→
x 时的极限，该极限即为数列的极
限。
例1求下列数列的极限： (1)n
n
n a
b )
11(lim -+
∞
→，其中0,0>>b a ; (2))1(lim -∞
→n n a n ，0>a .
解：(1)显然1=b 时，原极限为
1
当1≠b
时，先求x
x x a
b )
11(lim 1
-+
+∞
→。
由于2
2
1
1
1
1
11
)
1(ln lim
11
lim
11lim
)1(
lim
-+∞
→-+∞
→-+∞
→+∞
→--=
-=
-=-x
x
b b
a
x
b
a
x
a
b
a
b
x x
x x
x x
x x
x ,
则a
a
b x
x x b
e
a
b 1
ln 1
)11(lim ==-++∞
→，故a n
n
n b a
b 1
)11(lim =-+∞
→.
(2)先求)1(lim 1
-+∞
→x x a x .
a x
x
a a
x
a
a
x x
x x
x x
x ln )
1(ln lim
1
lim
)1(lim 2
2
1
1
1
1
=--=-=--+∞
→-∞
→+∞
→.
故a a n n n
ln )1(lim =-∞
→.
例2：设数列{}n x 由下式给出：
)
,2,1(,,2
12
11 =+==
+n x x x x n n n .
试求)1
11
11
1(
lim 21++
+++
+∞
→n n x x x .
解：易知{}n x 为正项数列，所以由n n n n n n x x x x x x >+=+=+)1(2
1
知{}n x 递增，于是0
2
11≠=
≥x x
n
且?????
?n x 1递减，?
??
???n x 1有下界0，从而知
?
??
???n x 1有极限.从)1(1+=+n n n x x x 知 1
1
11
2
1
111
1+++++-
=
-=
=
=+n n
n n n n n n n
n n n x x x x x x x x x x x x ①
于是,有1
11
11121++
+++
+=
n n
x x x S
)11()11()1
1(1
3
2
21
+-
++-
+-
=n n
x x x x x x
1
1
1
121
1++-
=-
=
n n x x x ②
设A x n
n =∞
→1lim
，由①式变形为
1
11111
+-
=
+
n n
n
n x x x x ，两边取∞→n 时的极限
有
01=?=-=+A A A A
A
所以由②式得2)12(lim lim 1
=-
=+∞
→∞
→n n n n x S
例3：设)
(21),(x y f x
y x F -=
，5
2
),1(2
+-=
y y
y F ，任选
0>x ，作
)2,(001x x F x =)2,(112x x F x =
),2,(223x x F x =……,)2,(1n n n x x F x =+，……,
证明：n n x ∞
→lim
存在并求值。
解：)1(2
152
),1(2
-=
+-=y f y y
y F ，令u y =-1，则9
)(2
+=u u f
所以[]9
)
(21),(2
+-=x y x
y x F .
故)9(2
1)2,(0
0001
x x x x F x +
==,
)9(2
1)2,(1
1112x x x x F x +
=
=,
……
)9(21)2,(1n
n n n n x x x x F x +
=
=+,
……
由题设条件，显见0
,>∈?n x N n 且3
9)9(2
11
=≥+
=
+n
n n x x x
又
1)9
91(2
1)91(2121=+
≤
+
=+n
n
n x
x x ，所以数列{}n x 单调减少有下界，因而该
数列必收敛，记A x n n =∞→lim
，在(1)式中令∞→n ，得)9(2
1A
A A +
=
，解得3±=A ，
取其正值便得3lim =∞
→n n x .
二 不定积分运算中常用的变量替换
(一) 三角函数代换 在被积函数中含有
2
22
2
2
2
,
,a
x x a x a -+-分别作变量代换：
t a x t a x t a x sec ,tan ,sin ===，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变
量还原。
(1)
?
+=
dx
x
a x I 2
2
1 (2)?
-=
dx
x
x a I
4
2
2 (3)?
-=
dx
x
a x I
2
2
解：(1)令t a x tan =;则???==
??=
tdt a
t
dt
a dt t
a
t
a t a I
csc 1
sin 1
cos sec tan 1
2
c
x
a x
a x a
c t t a
+-
+=
+-=2
2
ln 1cot csc ln 1
(2) 令t a x sin =，则
c
x
x a a
c
t a
t td a
tdt a t
a
t
a I +--
=+?
-
=-=
?=
??3
2
2
2
3
2
2
2
4
4
)(
31cot 3
11)(cot cot 1cos sin
cos
(3) 令t a x sec = 则
c
x
a a a x c
at t a dt t a tdt a tdt t a t
a t
a I +--=
+-=-==??=???arccos
tan )1(sec
tan
tan sec sec tan 2
2
2
2
(二) 倒数代换
一般令t x 1
=.适用于1>-q p 的情形，其中q p ,分别为被积函数的分母
和分子关于x 的最高次数。
例：(1)
?
-=
2
4x
x dx I ; (2)?+=
)
1(2
4
x x
dx
I
; (3)?
-+-=
100
2
)
2(32x x x I
.
解：(1)令t
x 1
=，得
?
??
--
=--=-
-
=
1
)2()2(2
1
1
)2()1(142
2
2
2
t t d t dt dt t
t
t I
c x
x
c t t +-+
-
=+-+-
=142ln
2
11)2(2ln 2
12
2
.
(2)令t
x 1
=，得
dt
t
t dt t t
dt t
t
t I ??
?
++
--=+-=-
+
=
)111(1
)1(112
2
2
4
2
2
4
c x x x
c t t t +-+-=++--=1a r c t a n 131)a r c t a n 31(3
3.
(3)令t
x 1
2=-，得
dt
t t t dt t
t t t
I ??++-=-++-+=)32()1](3)12(2)12[(98
969722100
c
x x x c t
t
t
+--
-+
-=
++
+
-
=98
97
99
99
97
98
)
2(491)
2(971)
2(33133
97
49
.
(三) 指数代换
当被积函数是由x a 所构成的代数式的积分时，一般采用指数代换即令x a t =来求解。
例：求下列积分 (1)?--=+43
9
31x x
x
dx I (2)dx
e
e I x
x
?+=21
解：(1)令t
x
=3，则3
ln ln t x
=有，
dt
t t t dt t t
t
dx
I x
x
x
)1
14
1(
5
1
3ln 13
ln 1434
)3(3)3
(32
2+-
-=
??--=
--=
???
c
c t t x
x
++--=++--=|]13|ln |43|[ln 3
ln 1
5
|]1|ln |4|[ln 3
ln 15
;
(2)令t
e
x =2
，则t x ln 2=，有
dt
t
t
t
dt t
t
t I ??++
-
=?+=
)1111(
221
2
2
c
e x e c t t t
x x +++--=+++--=--
)1ln(22)]1ln(ln 1[22
2
.
(四) 不定积分?dx
y f )(的计算，其中y 是由方程),(y x F =0所确定的x
的函数。
解题方法：
①将方程0),(=y x F ，代为参数方程???ψ==)
()(t y t x ?
②将参数方程代入?
=
dx
y f I
)(，即dt
t t f dx y f I
)())(()(?'?ψ=
=
?
?
.
③变量还原将积分结果化为y x ,的关系式. 例：求下列积分 (1)设x y x y =-2
)(，求?
-dx
y
x 31，(2)设3
3)(x
y x y =+
，求?
3
y
dx .
解(1)令t
y x =-
，则t x y
-=代入x y x y =-
2
)(，得
dt
t
t t dx t
t y t
t x 2
22
2
2
23
)
1()
3(,1,1
--=
-=
-=
于是：dt
t
t
dt t t t t t t t
dx y
x ??
?
-=
--?
--
-=
-1
)
1()3(1
31
1312
2
2
2
22
23
c
y x c t +--=
+-=
|1)(|ln 2
1|1|ln 2
12
2
;
(2)令tx
y
=，代入方程中，得333)(x tx x x t =+,则有
dt
t t t dx t t y t t x 2
4
2
3
)
1(34,)
1(1,)
1(1++-
=+=
+=
.
于是dt
t t t dt t t t t t y
dx ??
?
++-=+++-=
)473()
1()
34()1(4
3
22
4
36
3
c x
y x
y x
y c t t t ++
+
-=++
+
-=)5447(
)5
44
7(5
54
43
35
4
3
.
三 定积分运算中常用的变量替换
(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法， 解题方法：
①作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式)(u f ，其中u 为中间变量，此时积分变为变上限(下限)积分；
②利用变上限(下限)积分的微分法求解。
例1：设)(x f 为(-∞，+∞)上的连续函数，且,cos )()(tdt t x f x g b a
?
+=求
)('x g .
解：令t
x u
+=则
?
?
+++++=
-=
x
b x
a x
b x
a du
x u x u u f du x u u f x g )sin sin cos )(cos ()cos()()(
?
?
+++++=x
b x
a x
b x
a udu
u f x udu u f x sin )(sin cos )(cos ,
而?++++-+++-=x
b x
a x a x a f x
b x b f x udu u f x x g )]cos()()cos()([cos cos )(sin )('
?
++++-++++x
b x
a x a x a f x
b x b f x udu u f x )]sin()()sin()([sin sin )(cos
a
x a f b x b f tdt t x f a
x a f b x b f du x u u f a x a f b x b f du x u x u u f b
a
x
b x a x
b x a cos )(cos )(sin )(cos )(cos )()sin()(cos )(cos )()sin cos cos )(sin (+-+++=
+-++-=+-++-=
???++++
例2：求下列函数的导数 (1)?--=1
)()(2
2
dt
te
f e x F x
x ，求)('x F ，(2)dt
t x xf x F x
?-=sin 0
)()(，求)('x F ，
解：(1)令?-=1
)()(2
dt
te f x f x
，令2
x
te
u
-=有
?--?
=
2
2
1
)()(x
e
x
du
e
u f x f ，则
??-==--2
2
2
1
0)()()(x e
x
x
du
u f dt te
f e
x F .
于是
)
(2)2()('))(()(2
2
2
2
2
x
x
x
x
x e
e
f xe
x e e
f du u f dx
x dF x
-----=-??==?
-.
(2)??
-=-=x
x
dt t x f x dt t x xf x F sin 0
sin 0
,)()()(令t x u -=，则
???--=
-=
-x
x
x x
x
x
x du u f du u f dt t x f sin 0
sin sin ,)())(()(则?
-=x x
x du
u f x x F sin )()(
于是??---?--+=
=x
x
x x x
x
x x x x f x f x du u f du u f x x F sin sin )]cos 1()sin ()([)()')(()('
?-+
---=x
x
x du
u f x x f x x x xf sin )()sin ()cos 1()(.
(二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算
解题方法：
①作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式)(u f ，其中u 为中间变量
②然后再积分或作判断 例1：设)(x f 连续，证明???++=
+'
'00
)(ln )
()1(ln
)(ln dt
t f dt t f t f dt t x f x
证明：
?
?
??
?+++
+
=
=++1
'
11
'
)()(ln )(ln )(ln )(ln x x
x
x du
u f du u f du u f du u f u
t x dt
t x f 令
???+++
+-=x
x dt
t f dt t f dt t f 0
'
01
1
)1(ln )(ln )(ln ① ?
?
?
++=
++=11
)1(ln )1(ln 1
)(ln x x
x
dt
t f du u f u t dt
t f , ②
将②式代入①式，得
????
++
+-=+'
'
)1(ln )(ln )(ln )(ln
x x
dt
t f dt t f dt t f dt t x f
??++=
'
)(ln )
()1(ln
dt
t f dt t f t f x
即证。 例2：设
????
?<+≥=-0
,10
,)(2
x x x e x f x 求?-2
)1(dx
x f .
解：?????----+
+==
-=-1
10
1
1
2
1
1
2
0)1()()(1)1(dx
e
dx x dx x f du
u f x u dx x f x
e
e
e
x x x
13
7)1(3
40
11
0)
3
1(1
3
-
=--=--+
=--.
(三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。
解题分法：若积分限为 ①[]π2,0时,则令x
+=πμ
②],0[π时，则令x
u -=π
③?
?
?
??
?2,0π时，则令x -=
2
π
μ④]4
,
0[π
时，则令x
u -=
4
π
例1：求下列积分 (1)?+-=
4
sin 12sin 1π
dx
x
x I
(2)?+-=
20
cos sin 1sin cos π
dx
x
x x x I
解：(1)令x
u
-=
4
π
则
?
?
?
?-
=-=-=
=
+-=-?-+--=
4
4022
4
2
24
40
4
1|)(tan cos
cos 1cos
2sin 22cos 12cos 1)()
4
(2sin 1)4
(2sin 1π
π
π
π
π
πππx x dx x
x
dx
x
x du u
u du u u I
(2) 令x
u
-=
2
π
，得
???
-=+--=+-=-?--+---=
2
20
02
cos sin 1sin cos cos sin 1cos sin )()
2
cos(
)2
sin(
1)
2sin(
)2
cos(
π
π
π
ππππI
dx x
x x x du u
u u u du u u u u I 故0=I
，即?=+-2
0cos sin 1sin cos π
dx x
x x x
例2．证明：??-=2020sin
2
cos
sin π
π
xdx
xdx x n
n
n
n
，n 为正整数。
证明：???-
---
-=
=202
2
20
)2
(cos 2
222sin
2
cos sin
π
π
π
π
π
du u x
u xdx
xdx x n
n
n
n
n
n
令
???
-
------=
=?
=2
2
2002
))(2
(
cos 2
2
cos 2
cos 2
12
π
π
π
π
ππdt t u t udu
udu n
n
n
n
n n
??--==2020sin 2sin 2
π
π
xdx tdt n
n
n
n
(四) 定积分等式的证明中所作的变量替换。
解题方法：任何变量替换，主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为)(x f ，
另一端为[])(u f φ，则令)(u x φ=。若一端为)(x f ，另一端为)(u f 则所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定。[1]
例1．证明??=-x
x
t
x
t
xt dt
e
e
dt e
4
4
2
2
2
分析：???---=
=
x x
u
x x
t
x t
xt du
e
dt e
dt e
04
04
2
2
2
2
2
比较2
t xt e -与4
2
2
u
x e -，可知，应令)(4
12
2
2
u x t xt
-=
-，
则0)(442
2=-+-u x xt t ，
进而2
u x t
+=或2
u
x t
-=
证明：??
?-------=
-
-=
x
x
u
x x
x
u x u x x x
t
xt du
e
du e
u x t dt
e
4
)
2
(
)2
(
2
22
2
2
1
)2
(2
令
dt
e
e
dt e
x
t
x
x
t
x
??-
-
==
4
4
4
4
2
2
22
.
例2．设)(x f 连续，试证??++-+=
++--4
2
4
2
)
3()9()3()
3()9()9(dx
x f x f x f dx x f x f x f ；
并求?++--4
2
)
3()9()9(dx
x f x f x f 的值。
分析：du
u f u f u f dx x f x f x f ??++-+=
++--4
2
4
2
)
3()9()3()
3()9()9(
比较两边的被积函数
)
3()9()3(,
)
3()9()9(u f u f u f x f x f x f ++-+++--,可知只要
u
x +=-39，即x u -=6命题即可得证。
证明：
dx
x f x f x f du u f u f u f x
u dx
x f x f x f ???-+++=
--+++-=++--2
4
4
2
4
2
)
9()3()3()()
9()3()3(6)
3()9()9(令利用上式可得
])
3()9()3()
3()9()9([2
1)
3()9()9(4
2
4
2
4
2
??
?++-++
++--=
++--dx x f x f x f dx x f x f x f dx x f x f x f
?=?=
?=
4
2
122
112
1dx .
四 解微分方程中变量替换的应用技巧
(一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用 解题方法：方程中出现)
(
),(),(),(2
2
x
y f y x f y x f xy f ±±等形式的项时，通
常要使用相应的变量替换：...,
,,22
x
y y x y x xy u
±±=等。
[3]
例1：求解下列微分方程 (1)x
y xy y x y -
=
)
sin(1'2
(2)x
y
y
x
y y 2
tan
212'+
=
(3)0]1)[ln('=--xy y xy (4)2
2
2
)(21'x
y x x yy +=+
解：(1)令dx
dy x
y dx
du xy u
+==,
，代入方程得
u
u dx
du sin 1=
，即,sin dx udu u =则c x u u u +=+-sin cos
故原方程的通解为：c x xy xy xy +=-)cos()sin(,
(2)令dx
du x
u dx
dy y
ux y
x
y
u
+===
2,,2
2
，代入方程，得 u
u dx
du x
u tan +=+，即x
dx udu
=
cot ，则,ln ln
sin ln c x u +=
即cx
u =sin
故原方程的通解：cx
x
y
=2
sin ,
(3)令dx
dy x
y dx
du xy u
+==,
，代入方程，得
0ln =+--y u y y dx
du ，即
u
x u dx
du ln =，亦即
x
dx u
u du =
ln ，
进而,ln ln ln ln c x u +=则cx
u =ln ，即cx e u =
故原方程的通解：cx
e
xy =,
(4)令dx
dy y x dx
du y x u 22,
2
2+=+=，代入原方程，得
2
)(x
u dx du
=
即
2
2
x
dx u
du =
，解得c x
u +-
=-
11，即
c
x u ~11+=.
故原方程的通解：
c x
y
x ~112
2
+=
+.
(二) 求解齐次方程)
('x
y y ?=中变量替换的应用
解题方法：令
'',,xu u y ux y u x
y +===代入原方程，得
)('u x u u ?=+，则c x u
u du
+=-?
ln )(?
例：求解下列微分方程 (1)x
x y y xy =-arctan
)'(； (2)2
2'y
x y xy -+=
.
解：(1)由原方程得x
y arctg
x y y 1'=
-
令'',,xu u y ux y x
y u
+===
，代入方程，得
u u xu u arctan 1'=
-+
所以x dx
udu =
arctan
，即??
=
x
dx u arctan
，
解得：c x u u u ln ln )1ln(2
1arctan 2
+=+-
即u
u e
u cx
arctan 2
1=+，因此x
y x
y
e c y x arctan
~
2
2=+
(2)2
)
(1'x
y x y y -+
=
，令'',,xu u y ux y x
y u
+===
代入原方程，得
2
1'u
u xu u -+=+，所以
x
dx u
du =
-2
1，
解得c x u +=ln arcsin ，即c
x x
y +=ln arcsin
(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 例：求解下列方程 (1)y y
x y tan cos '-=
，
(2)02')1(3
2
2=+-xy
y y x
解：(1)由,cos sin cos 'y
y y
x y -
=知y x y y sin 'cos -=?，即y
x y sin )'(sin
-=，
令u y =sin
，则原方程变为 x u u +-=' ①
特征方程：01=+λ 即1-=λ
，特解1)1(1
1*
-=-=+=
x x D x D u
于是方程①的通解为：1-+=-x ce u x ，
故原方程的通解为1sin -+=-x ce
y x
(2)令2
)(x
y u =
，于是x y y u 2')('=?，原方程变为
3
2
'21)(y
y x
y y u ?-
=-
即3
2
)('1)(y
y u y y u -=-，则3
1)(1)('y
y u y
y u =
+
②
则方程②的齐次方程：0)(1)('=+
y u y
y u .则
y
dy u du -
=，解得c y u ln ln
ln +-=，即y
c u =
.
令方程②的解为y
y c u
)(=
，将其代入②，并整理得
2
3
1)('1)('y
y c y
y
y c =
?=解得c
y y c ~1)(+-
=
故方程②的通解为：y c y
y c y u ~11)~1
(2+
-=+-=
故原方程的通解为：1~22-=y c
y x . 五 重积分中变量替换的应用
(一) 二重积分计算中的变量替换
设被积函数),(y x f 在区域D 上连续，若变换),(),,(v u y y v u x x ==
，满足
如下条件
(1)将uov 平面上的区域*D 上的点一对一地变为D 上的点； (2)),(),,(v u y v u x 在*D 上有连续的一阶编导数，且雅可比行列式
0,,)
,(),(≠????????=
??=v
y u y v x u x v u y x J
则dudv J v u y v u x f dxdy y x f D
D ||)],(),,([),(*
??
??=
同样，作什么变换主要取决于积分域D 的形状，有时也兼顾被积函数
),(y x f 的形状，基本想法是定限简便，求积容易。
例1：计算dxdy
xy I
D
??
=
，其中D 是由曲线6
)
3
2
(
4
xy y x =
+
在第一象限中
所围成的区域。[4]
解：6
)
32(
4
xy y x =
+是一个四次方程，要解出x (或y )相当难。因此不宜
在直角坐标系中计算。为此，令θ
ρθρ2
2sin 3,cos 2==y
x 则曲线方程变为
θ
θρρ2
2
2
4
cos sin =，即θ
θρ2
2
2
co s
s i n
=，又因所研究的是曲线在第一象限中
围成的区域，于是2
0π
θ
≤
≤
因而,cos sin θθρ
=令0=ρ，得0
=θ，2
π
θ
=
θ
θρθ
θρθ
θθρθθρcos sin 12cos sin 6sin 3sin cos 4cos 2)
,(),(2
2
=-=??=
y x J
故15
6cos sin 612||cos sin 62
2
cos sin 0
2
2
2
22
=
=
=
?
?
??
ρθρθθθρθθρπ
θ
θd d d d J I Dx
例2：设)(t f 为连续函数，证明：dt t a t f dxdy y x f a
a D
|)|()()(-=
-???
-.
其中D 为矩形域，2
||,2
||a y a x ≤
≤(常数0
>a )如图(1)，
证明：令y
x v y x u
+=-=,，则
a v u a a v u a D D x ≤-≤-≤+≤-?,:如图(2)
2
1)
,(),(1)
,(),(=
??=
??=
y x v u v u y x J
故：dudv
u f dxdy y x f x
D D
??
??
=
-2
1
)()(
????
?
?---+---+
+=
+=0
)()()()(2
1)(2
1a a
a
u
a a
u u
a a
u a
du
u f du u f u a dv
u f dv du u f du
u f u a du u f u a a
a )(|)|()(|)|(0
??-+-=-
dt
t a t f a
a
|)|()(-=
?-.
(二) 利用直角坐标系计算 例1，???
Ω
-=dxdydz
x y I 2
1，其中Ω为1,1,12
2
2
2
==+---=y z x z x y 之间。
解：如图
??
????
---
Ω
-=
-Dxz
y
x dy
x y dxdz
dxdydz x y 1
12
2
2
2
11
??
?--------=
22
2
2
111
11
1
2
1x
x
z
x ydy
dz dx x
dz
Z x dx x x
x
2
12
2
111
1
2
22
+-=
?
?----
x
y a
a
-a -a
(1)
x
y
2
a
2
a
-2
a
(2)
y x
z
x 2
+z 2
=1
o
y=1
高等数学等价替换公式泰勒公式资料讲解
应用高等数学等价替换公式 1、无穷小量： 设0）x （g lim ）x （f lim 0 x x x x ==→→ *1）若0） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小 *2）若∞=→） x （g ） x （f lim x x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小 *3）若c ） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小 *4）若1） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小 *5）若0） x （g ） x （f lim k x x 0 =→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换： 若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ） 则=→）x （g ） x （f lim x x ） x （g ）x （f lim 11x x 0→ 6、常用等价形式： 当f （x ）→0时 *1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ）
*4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ） *7）1-cosf （x ）~ 2 ） x （f 2 *8）（1+f （x ））α -1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点： *1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0） *2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数： 1、定义：）x （f '= x △） x （f -）x △x （f lim 000 x △+→ 2、导数的常见形式： *1） 0 0x x 0x -x ） x （f -）x （f lim ）x （f 0 →=' *2） h ） x （f -）h x （f lim ）x （f 000 h +='→
高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=
等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=
高等数学公式总结(绝对完整版).
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
(完整word)高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
大学高等数学等价无穷小教学总结
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
高等数学等价无穷小替换-极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，Λ、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α?=?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学一常用公式表
常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +
高等数学积分公式大全
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
同济高等数学公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
应用等价无穷小巧解考研高等数学试题
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/968316310.html, 应用等价无穷小巧解考研高等数学试题 作者：黄英芬龙红兰 来源：《中国科教创新导刊》2013年第16期 摘要：在考研高等数学试题当中，“极限”知识点所占考核比重逐年提升，对考生考试成绩有着决定性的影响。掌握“极限”知识点的相关计算方法，备受考生的关注与重视。在现阶段，等价无穷小被证实能够达到合理提高“极限”知识点相关题目解题精确性与速度的目的。本文在简要分析等价无穷小解题方法的基础之上，结合考研高等数学试题，就如何应用等价无穷小解考研高等数学试题这一问题展开了较为详细的分析与阐述，希望能够引起各方人员的参考与关注，从而为考生解答相关试题题目提供一定的参考与借鉴。 关键词：等价无穷小考研高等数学解题方法分析 中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0047-01 在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。 1 等价无穷小基本概念分析[1] 数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。常规意义上来说，在x→0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容： （1）sin x～ x； （2）arc sin x～ x （3）tan x～ x （4）In（1+x）～ x （5）（1+x）1/n-1～ x/n
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴
高等数学等价替换公式
根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。
高等数学常用积分公式查询表
导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='
31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是