三视图与几何体的体积和表面积

【考点剖析】

1.命题方向预测：

1.三视图是高考的热点和重点，几乎年年考．

2.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题．

3.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填空题.

2.课本结论总结：

1.空间几何体的结构特征

2.空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 3.空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°).

(2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别平行于x ′轴、y ′轴.

(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半. (4)在已知图形中过O 点作z

轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变. 4.柱、锥、台和球的表面积和体积

正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

3.名师二级结论：

(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．

(1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

(3)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

（4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.

4.考点交汇展示：

【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

1.【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】C

【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.

详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.

2.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几

何体的体积是28

3

,则它的表面积是（）

（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π

【答案】A

【解析】该几何体直观图如图所示：

【山东省威海市2018届二模】．已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______.

【答案】.

【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱为

矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点且，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（）

A.

为奇函数 B. 在上不单调；

C. D.

【答案】D

【解析】∵在长方体中，为中点，为矩形内部（含边界）一点，

即，则在以为球心的球面上，而到面的距离为，则由此可知A,B,C选项都不正确，

而

.故选D.

【考点分类】

考向一三视图及形状的判断

1.【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A. A

B. B

C. C

D. D

【答案】A

【解析】分析：观察图形可得.

详解：观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.

2. 【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

共三个，故选C.

【方法规律】

（1）三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”

(2)空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．(3)还要注意画直观图时长度的变化．

【解题技巧】

三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．【易错点睛】

注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.

注意区分三视图中的实线和虚线.

注意投影在三视图中的应用

例1：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

【解析】选B 由正视图与俯视图可以将选项A 、C 排除；根据侧视图，可以将D 排除，注意正视图与俯视图中的实线．

【易错点】不注意区分实线与虚线.

例2：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

【易错点】没有正确理解投影.

考向二 三视图及表面积

1.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A. 3π

B. 4π

C. 24π＋

D. 34π＋ 【答案】D

2.【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.

3.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：

,

所以r=，设正方体的最大棱长为a，∴3=∴a=,

外接球的面积为

故选B.

【方法规律】

1．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

【解题技巧】

几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.

【易错点睛】

(1)熟记常见图形的面积公式．

(2)注意把直观图中的面积转换为平面图形的面积进行求解

例1：一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________.

【解析】由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1

【易错点】不注意区分三视图和直观图．

例2：已知三棱锥A—BCD________.

易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球，所以三棱锥A—BCD

所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球＝4π2＝3π.

【易错点】不会用转换的思想把三棱锥A—BCD的外接球看成正方体ANDM—FBEC的外接球

考向三三视图及体积

1.【2018年全国卷Ⅲ理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积

为，则三棱锥体积的最大值为

A. B. C. D. 【答案】B

2.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是

A ．

12

+π B ．

32

+π

C ．

12

3+π

D ．

32

3+π 【答案】A

3. 【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A．90πB．63πC．42πD．36π

【答案】B

【解析】

【方法规律】

1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．

2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．

3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.

【解题技巧】

求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.

【易错点睛】

1．熟记常见几何体的体积公式．

2．三根据视图正确找出几何体的高.

例.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于

A B．C．D．

【易错点】不能正确找出几何体的高.

【热点预测】

1.【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）

A. B.

C. D. 2

【答案】B

详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.

2.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）

【答案】B

【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B.

3.【2018届南宁市高三联考】三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥

的外接球的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

4.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A.263π+

B.83π+

C.243π+

D.43

π+ 【答案】C

【解析】=???+

??=21312212πV 243

π

+,故选C. 5.【2018届广东省茂名市五大联盟学校联考】在长方体中，

，

，

，点在平

面

内运动，则线段

的最小值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意问题转化为求点到平面

的距离，由于

，所以

边上的高

，故三角形

的面积为

，又三棱锥的体积，

所以

，应选答案C .

6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A B ．π22 C ．

3

π D ．23π

【答案】D

【解析】由三视图还原图像，得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了， 所以2

12[(1)1]23

3

V ππ=????=

. 7.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==

，PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A ．π5

B ．π2

C ．π20

D ．π4 【答案】

A

8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．

12 B ．1 C ．3

2

D ．3

【答案】C

【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为

32，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得133

3322

V =??=.选C. 9.【2018年理新课标I 卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(

)

正视图 侧视图

A. B. C. D.

【答案】A

详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体

中，平面与线

所成的角是相等的，所以平面

与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面

也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面

与

中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为

，所以其面积为

，故选A.

10.已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有

两个面的面积分别为那么球O 的体积等于（ ）

A ．

323π B C ．332π D 【答案】A

【解析】设这两个面的边长分别为c b a ,,,则不妨设64,34,32===abc bc ab ,则

22,6,2===c b a ,则该长方体的外接球的直径4862=++=d ,故球的体积为ππ3

322343=?=V ,

应选A.

11.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】设球的半径为：r ，由正四面体的体积得：

,

所以r=

，设正方体的最大棱长为a ，∴3=

∴a=

,

外接球的面积为

故选B.

12. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π

B ．

3π4

C ．

π2

D ．

π4

【答案】B 【解析】

13.【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点,M N 分别是正方体

1111ABCD A B C D 的棱1111,A B A D 的中点，

用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）

A. ①③④

B. ②④③

C. ①②③

D. ②③④

【答案】D

14.【2016高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. （1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）1PO =【解析】（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6，

所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()2

2

311111=6224;33

V A B PO m ??=

??=柱 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积()

223

1=68288.V AB OO m ?=?=柱

所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.