“切线的判定与性质”教学设计及反思

“切线的判定和性质”教学设计与反思

教材分析：

“切线的判定和性质”是人教版九年义务教育三年制初级中学几何第五册第24章第二节的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础。学好它，对今后数学、物理等学科的学习会有很大的帮助。

针对义务教材弹性特点和我我所教学生的实际水平，本着因材施教的教学原则，本节课在重点处理完本课内容切线的判定定理和例1后，我引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及常用的两种辅助线作法。

设计理念：

为将新课程标准真正落实到本课的教学中，我改变了“复习引入—讲授新知—巩固新知—课堂小结—布置作业”这种传统的教学模式。对本课的教学内容进行开放性设计，注重引导学生在小组合作学习中探究和体验，落实在“做中学”。

教学目标：

1、通过学生自己探究（猜想、类比、演绎）过程，让学生发现切线的判定定理，并能说明方法的正确性。

2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。

3、通过这节内容的教学，使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法。

4、培养学生动手操作的能力，通过直观教具的演示好指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的主动性和积极性。

教学重点：发现并证明切线的判定定理，认识切线在实际生活中的应用。

教学难点：

体验圆的切线证明问题中辅助线的添加方法。

教学准备：

1、教师课前制作的多媒体课件。

2、教师自制的课堂演示教具。

教学过程

一、问题的提出：（多媒体显示问题）

1.直线与圆有哪三种位置关系？判断的标准是什么？

2.什么叫圆的切线？怎样判定一条直线是不是圆的切线？（学生先观察、猜想，在让学生和教师一道用自制教具进行演示）

通过以上演示探究，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆

A A l l

图1图2图3的切线，但有时使用起来很不方便。为此，我们有必要学习切线的判定定理。 （多媒体显示课题）：切线的判定定理

二、定理的发现

上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线”这一定义。下面请同学们把我们刚刚的实验操作用作图步骤归纳出来：

画出⊙O ；在⊙O 上任取一点A ；连接OA ；过点A 作直线l ⊥OA.（完成后，请同学们猜想，直线l 是不是⊙O 的切线？它满足哪些条件？）。

学生猜想：一条直线满足：经过半径的外端；垂直于这条半径，那么这条直线是圆的切线。（让学生试图用文字语言加以概括）

结合所画图形，引导学生分析：因为直线l ⊥OA ，所以圆心O 到直线l 的距离等于OA ，而OA 正好是圆O 的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l 是圆O 的切线。

(多媒体显示)切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（分析两个条件及几何语言的书写）

提问：生活中你看到哪些现象是直线和圆相切的位置关系的？（学生回答，教师补充）如：下雨天，转动雨伞，雨伞上的水滴会沿着什么方向飞出？车轮和笔直的公路；磨砂轮上的火花等。

练一练：判断下列说法是否正确。（多媒体显示）

(1)过半径外端的直线是圆的切线．（ ）

(2)与半径垂直的直线是圆的切线．（ ）

（3）过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线。（ ）

（4）经过直径的端点且与直径垂直的直线是圆的切线（ ）

（学生判断、操作后，教师用多媒体演示下列反例）

显然，图(1)中直线l 经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)、（3）中直线l 与半径垂直，但不经过半径外端。在亲身体验的基础上，让学生归纳出：只满足其中一个条件的直线不是圆的切线；因此利用切线的判定定理时，两个条件是缺一不可的；把定理中的“半径”改为“直径”结论也成立。

提问：判断一条直线是圆的切线，共有几种方法？（学生讨论后，请学生代表陈述，再用多媒体显示）

方法1：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

方法2：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

A T

A

A 方法3：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中方法1是切线的定义；方法2和方法3本质相同，只是表达形式不同。可根据问题的特点选择适当的判定方法。

三、实践应用

（多媒体显示）例1已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ． 求证：直线AB 是⊙O 的切线．

引导学生分组讨论得出：本题已知直线AB 与⊙O 有一

个公共点C ，要证明AB 是⊙O 的切线，只需连接这个公共点C 与圆心O ，得到半径OC,再证明半径OC 与直线AB 垂直即

可。（学生口述证明过程）

由例题1，我们可以得到：以等腰三角形的顶点为圆心作圆，如果该圆经过底边的中点，那么底边必与此圆相切。若以等腰直角三角形的一腰为直径作圆，那么此圆是否和另一腰也相切呢？请做练习：

已知，如图,AB=AT,∠T=45°,以AB 为直径作⊙O.求证:AT 是⊙O 的切线

（多媒体显示）例2：如图，△AOB 中，OA ＝OB ＝10㎝,∠AOB=120°，以O 为圆心、5㎝为半径的⊙O 与OA 、OB 相交。求证：AB 是⊙O 的切线。

引导学生分组讨论：

1、例1与例2在内容有什么相同点和不同点？（相同点：三角形OAB 都是等腰三角形；都是要证明底边AB 与圆O 相切。不同点：例1中，已知AB 与圆O 有公共点C ，而例2没有给出。）

2、解决例2应作什么样的辅助线？（例2中直线AB 与⊙O 没有明确公共

E 图

5

A C 点，需要添加辅助线OC ⊥A

B 于点

C 。再证明点O 到直线AB 的距离OC 等于圆O 的半径即可。）（多媒体演示证明过程）

四、理论归纳

学生讨论：例1与例2的证明中，所作辅助线有什么不同？（多媒体显示） 归纳：1、当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”。简称为“连半径，证垂直”。

2、当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”。简称为“作垂直，证半径”。

五、练一练：（学生在规定的时间内独立完成。有困难的学生举手示意，教师给予指导，时间一到，多媒体显示正确答案，同学间交叉批改，并反馈信息。）

变式训练1：如图5,△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PE ⊥AC 于点E 。 求证:PE 是⊙O 的切线。

变式训练2：已知点O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于点D,以O 为圆心，OD 为半径作⊙O 。求证：AC 是⊙O 的切线。

（六）课堂小结

1. 判定切线的方法有哪些？

2. 常用的辅助线方法有哪些？

（七）拓展提升：

如图(1),△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O 直径,∠CAE=∠B.

求证:AE 是⊙O 的切线。

（八）作业布置：《同步指导》：P59的第1、、5、11题

反思：《切线的判定》教后体会

本课例《切线的判定》作为阳朔县送教下乡示范课，我以“教师为引导，学生为主体”的理念出发，通过学生自我活动、教师适当引导得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。本节课切实反映了平时的教学情况，为前来听课的教师提供了真实的样本。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：

成功之处：

本节课做得成功之处有以下几点：

一、提出问题，注重联系 C

O B E E A C O

在新课引入上，打破以往单纯复习旧知的惯例，而是抓住新旧知识之间的联系，提出“目标性”问题，创设了问题情境，既抓住了学生的注意力，为学习新知做好了铺垫，又使教学从“定义”过渡到“判定定理”，显得自然合理。

二、动手实践，主体参与

本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。

三、合理设计课堂结构和问题

新课程理念提倡“把课堂还给学生，让课堂充满活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：（一）、在动手操作发现判定定理的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的结论。（二）、分析结论。应用好命题

的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且通过画图举反例帮助学生理解，利用文字、几何语言的相互转化熟悉定理的使用条件。（三）、应用命题。根据活动二的结论，我设计了两个不同类型的例题，得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和作垂直，证半径”。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。

四、丰富内容，序列深化

由于本节课是“切线的判定和性质”的第一节课，主要教学目的是掌握切线的判定定理，并能应用判定定理证明有关问题。因此，在安排完切线的判定定理和例1的教学内容后，我针对义务教育教材弹性化特点和学生的实际情况，引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及证明这类问题时常见的两种辅助线作法。在安排本课例题之前，我设计了一组判断题，目的是检查学生对判定定理的掌握情况。这样从例题到练习的设计体现了教学内容的循序渐进原则和教学活动的开放性，又突出了本节课的重点和难点。

五、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情

况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。

六、注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。一个会心的微笑、学生的掌声、真诚的语言…让学生时刻感觉到被认可，从而更有动力投入到下面的学习中。

不足之处：

1、在具体的教学中没有很好的体现教学设计，过多的干涉学生的思考，导致学生对问题的思考不充分。

2、课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个环节不同的教学目标，应该采用学生板演、小组展示、互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生主体地位。

3、在变式训练中，没有把握好时间，灵活分组完成练习，使得练习时间稍显仓促。

4、在举“切线在生活中的实例”时，仅仅是以语言表达的方式进行，没有把所举例子制作成幻灯片，给学生美的

享受。

教无定法，学无止境。一切以教学为前提，以学生为主体。在今后的教学中，要多向学生展示并传递学习的快乐，灵活变通，合理安排，形式多样，激发学生开动脑筋，让课堂充分的“活”起来、“有效”起来。