高考状元经典错题集

错题集

3．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为

( )

A ．f (n )＋n ＋1

B ．f (n )＋n

C ．f (n )＋n －1

D ．f (n )＋n －2

解析：由凸n 多边形到凸(n ＋1)边形增加了一个顶点，这个顶点与其余n 个顶点连结形成对角线n －2条，原来的一条边成为对角线，故共增加n －1条对角线，∴f (n ＋1)＝f (n )＋n －1. 答案：C

8．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n

(n ∈N *

)且点P 1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13

.a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为? ????

13，13，∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.

(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k

1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．

由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上． 9．若n 大于1的自然数，求证： 1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n ＞1324. 证明：(1)当n ＝2时，

12＋1＋12＋2

＝712＞1324.

(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立， 即

1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k ＞1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1) ＝

1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1

k ＋1

＝? ????1

k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－1

2k ＋2

＝13

24＋

12(2k ＋1)(k ＋1)

＞13

24.

这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立．

B 组 能力突破

1．用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边

( )

A ．增加了一项1

2(k ＋1)

B ．增加了两项

12k ＋1、12k ＋2

C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1

D ．以上各种情况均不对 解析：∵n ＝k 时，左边＝

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1

k ＋3

＋…＋12k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2，

∴增加了两项

12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1

.答案：C

3．用数学归纳法证明? ?

???1＋13? ????1＋15? ????1＋17…? ????1＋12k －1＞2k ＋12(k ＞1)，则当n

＝k ＋1时，左端应乘上________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________．

解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是? ?

???1＋12k ＋1，最后一个是? ?

???1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有(2k ＋1－1)－(2k ＋1)2＋1

＝2k －2k －1＝2k －1项．

答案：? ????1＋12k ＋1? ????1＋12k ＋3…? ????1＋12k ＋1

－1 2k －1

4．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－1

2n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．

解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝11

8， 所以f (2)＜g (2)；

当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312

216， 所以f (3)＜g (3)．

(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2， 那么，当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋

1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1

(k ＋1)3

， 因为12(k ＋1)2－??????1

2k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2 ＝－3k －1

2(k ＋1)3k 2

＜0，

所以f (k ＋1)＜3

2－1

2(k ＋1)2

＝g (k ＋1)．

由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f (n )≤g (n )成立．

2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明

( )

A ．2ab －1－a 2b 2

≤0 B ．a 2

＋b 2

－1－a 4＋b 4

2≤0

C.(a ＋b )2

2－1－a 2b 2≤0

D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0

解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0?(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案：D

4．(2014·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；

②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个． 答案：C

6．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．

解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”． 答案：a ，b ，c ，d 全是负数

7．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确

条件的代号)．

①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线． 解析：根据线面关系定理判定． 答案：①③④

8．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .

证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ， 即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，

则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．

B 组 能力突破

1．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ?

????

x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数

为

( )

A ．y ＝log 2x

B ．y ＝x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x 3

解析：可以根据图象直观观察；对于C 证明如下： 欲证f ? ??

??x 1＋x 22

2，

即证? ??

??x 1＋x 222

22.即证(x 1＋x 2)2＜2x 21＋2x 2

2. 即证(x 1－x 2)2＞0.显然成立．故原不等式得证． 答案：C

2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1

a

() A．都不大于－2 B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2

解析：因为a＋1

b＋b＋

1

c＋c＋

1

a≤－6，所以三者不能都大于－2.

答案：C

3．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内

的任意x1，x2，…，x n，有f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x n)

n≤f?

?

?

?

?

x1＋x2＋…＋x n

n，已知函

数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．

解析：∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，

且A、B、C∈(0，π)，

∴f(A)＋f(B)＋f(C)

3≤f?

?

?

?

?

A＋B＋C

3＝f?

?

?

?

?π

3，

即sin A＋sin B＋sin C≤3sin π

3＝

33

2，

所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为33 2.

答案：33 2

4．已知常数p＞0且p≠1，数列{a n}的前n项和S n＝

p

1－p

·(1－a n)，数列{b n}满

足b n

＋1

－b n＝log p a2n－1且b1＝1.

(1)求证：数列{a n}是等比数列；

(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k 时，b n≥(1－λ)(3n－2)恒成立，求k的最小值．

解：(1)证明：当n≥2时，a n＝S n－S n

－1＝

p

1－p

(1－a n)－

p

1－p

(1－a n－1)，整理

得a n＝pa n

－1.由a1＝S1＝

p

1－p

(1－a1)，得a1＝p＞0，则恒有a n＝p n＞0，从而

a n

a n－1

＝p.所以数列{a n}为等比数列．

(2)由(1)知a n＝p n，则b n＋1－b n＝log p a2n－1＝2n－1，

所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝n 2－2n ＋2，

所以n 2－2n ＋2≥(1－λ)(3n －2)，则(3n －2)λ＋n 2－5n ＋4≥0在λ∈[0,1]时恒成立．

记f (λ)＝(3n －2)λ＋n 2

－5n ＋4，由题意知，?

??

f (0)≥0

f (1)≥0，解得n ≥4或n ≤1.又

n ≥2，所以n ≥4.

综上可知，k 的最小值为4.

1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理

( )

A ．结论正确

B ．大前提不正确

C ．小前提不正确

D ．全不正确

解析：f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确． 答案：C

2．(2014·石家庄模拟)已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，1

4，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为

( )

A.3724

B.76

C.1115

D.715

解析：通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：1

1，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，2

2，1

3，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝6

9.故a 99＋a 100＝37

24.故选A.

3．(2014·焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③若“a，b∈R，则a－b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0?a＞b”．其中类比结论正确的个数是

() A．0 B．1

C．2 D．3

解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．

8．f(x)＝

1

3x＋3

，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想

一般性结论，并给出证明．

解：f(0)＋f(1)＝

1

30＋3

＋

1

31＋3

＝

1

1＋3

＋

1

3(1＋3)

＝

3

3(1＋3)

＋

1

3(1＋3)

＝

3

3，

同理可得：f(－1)＋f(2)＝

3

3，f(－2)＋f(3)＝

3

3.

由此猜想f(x)＋f(1－x)＝

3 3.

证明：f(x)＋f(1－x)＝

1

3x＋3

＋

1

31－x＋3

＝

1

3x＋3

＋

3x

3＋3·3x

＝

1

3x＋3

＋

3x

3(3＋3x)

＝

3＋3x

3(3＋3x)

＝

3

3.

1．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是

() A．b4＋b8＞b5＋b7B．b4＋b8＜b5＋b7

C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8

D ．b 5·b 8＜b 4·b 7

解析：b 4＋b 8－(b 5＋b 7)＝b 4＋b 4q 4－b 4q －b 4q 3＝b 4(1－q )＋b 4q 3(q －1)＝b 4(q －1)(q 3－1)，∵q ＞1，∴q 3＞1，∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.

4．(理科)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1

a n a n ＋1，T n 为数列{

b n }的前n 项和． (1)求a 1、d 和T n ；

(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．

解：(1)在a 2n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2， 得??? a 21＝S 1，a 22＝S 3，即???

a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，

解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.

∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12?

????1

2n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12? ????1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1

. (2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ＜(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋

8

n ＋17恒成立． ∵2n ＋8

n ≥8，等号在n ＝2时取得， ∴此时λ需满足λ＜25.

②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ＜(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －

8

n －15恒成立． ∵2n －8

n 是随n 的增大而增大， ∴n ＝1时2n －8

n 取得最小值－6，

∴此时λ需满足λ＜－21.综合①②可得λ＜－21， 2．(2013·陕西)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是

() A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2

B．若z1＝z2，则z1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2

D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22

解析：A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2成立．

B中，z1＝z2，则z1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z

，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，

2

则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z22＝4，z21≠z22.

答案：D

3．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝

() A．－2i B．2i

C．－4i D．4i

解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以z i＝4，z＝－4i，选C. 3．(2013·江西)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是

()

A．S<8 B．S<9

C．S<10 D．S<11

解析：由框图及输出i＝4可知循环应为：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S ＝9，输出i＝4，所以应填入的条件是S<9，故选B.

8．(2013·湖北)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.

解析：从题中程序框图知，a ＝10，i ＝1；a ＝5，i ＝2； a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5.故输出i ＝5. 答案：5

9．(2013·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．

解析：第一步，S ＝1＋12＝3

2，k ＝2； 第二步，S ＝32＋12×3＝5

3，k ＝3；

第三步，S ＝53＋13×4＝7

4

，k ＝4；

第四步，S ＝74＋14×5

＝95，k ＝5，结束循环．输出S ＝9

5.

2．(2013·重庆)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是

()

A．k≤6 B．k≤7

C．k≤8 D．k≤9

解析：第一步，s＝s·log k(k＋1)＝log23，k＝2＋1＝3；

第二步，s＝s·log k(k＋1)＝log23·log34＝log24，k＝3＋1＝4；

第三步，s＝s·log k(k＋1)＝log24·log45＝log25，k＝5；

…；

第n步，s＝log2(n＋1)·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)，k＝n＋2，

若输出s＝3，则log2(n＋2)＝3，n＋2＝8，n＝6，k＝n＋2＝8，说明k＝8时结束，故应填k≤7.选B.

1．(2013·福建)已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝b x＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确

的是()

A.b^>b′，a^>a′

B.b^>b′，a^

C.b^a′

D.b^

解析：x＝21

6＝

7

2，y＝

13

6，代入公式求得b

^＝

58－6×

7

2×

13

6

91－6×?

?

?

?

?7

2

2

＝

5

7，

a^＝b^x－y＝5

7×

7

2－

13

6＝

1

3，

而b′＝2，a′＝－2，∴b

^a′，故选C.

4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

()

①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．

A．①B．①③

C．③D．②

解析：①推断在100人吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B；③正确．

3．(2013·重庆)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为

()

A．0.2 B．0.4

C．0.5 D．0.6

解析：由茎叶图知落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因为

共有10个数据，所以数据落在区间[22,30)内的频率为4

10＝0.4，故选B.

4．(2013·山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩

余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：

则7个剩余分数的方差为

( )

A.1169

B.367 C ．36

D.677

解析：由题意知90＋－3＋4＋0＋1＋0＋x ＋1

7＝91，

得x ＝4，

所以方差s 2＝17[(－4)2＋32＋(－1)2＋02＋(－12)＋32＋02]＝36

7，故答案为B. 9．甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋16

5＝13，

x 乙＝

13＋14＋12＋12＋14

5

＝13，

s 2

甲＝1

5[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，

s 2乙

＝15

[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2

乙可知乙的成绩较稳定．

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．

1．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视

力情况，得到频率分布直方图，如图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为

( )

A ．0.27,78

B ．0.27,83

C ．2.7,78

D ．2.7,83

解析：由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则有6×0.27＋15d ＝1－0.01－0.03－0.09，解得d 然后可求得各组频率(也可用排除法)．

2．(2013·湖南)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与

业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是

( )

A ．抽签法

B ．随机数法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法

解析：从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．故选D.

3．(2013·课标全国Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

() A．简单随机抽样B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样D．系统抽样

解析：因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C.

3．(2014·舟山模拟)为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是

________．

解析：无论高几，每一位学生被抽到的概率都相同，故高一年级每一位学

生被抽到的概率为25

500＝

1

20.

4．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？

解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．

则μ＝60，σ＝10.

(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)

＝0.997 4.

∴P(X＞90)＝1

2[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3，

∴学生总数为

13

0.001 3＝10 000(人)．

(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x0.

则P(X≥x0)＝0.022 8.

∴P (120－x 0＜X ＜x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10＜X ＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x 0＝60＋2×10＝80(分)．

5．(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 解析：设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4, x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2

＝20，五个整数的平方和为20，则必有0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.

8．为了某大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，1

2.这三项测试能否通过相互之间没有影响．

(1)求A 能够入选的概率．

(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．

解：(1)设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP . ∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP ) ＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23. 所以，A 能够入选的概率为2

3. (2)P (没有入选任何人)＝? ?

?

??1－234＝181，

P (入选了一人)＝C 14? ????23? ??

??133

＝

881，

P (入选了两人)＝C 24? ????232? ????132＝2481

，

P (入选了三人)＝C 34? ????233? ??

??13＝3281

，

P (入选了四人)＝C 44? ????234＝16

81

， 记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为

E (ξ)＝3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×16

81＝8 000(元) 所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．

9．某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；

(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．

解：(1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有

C 24·22种，从而恰有

2人申请A 片区房源的概率为C 24·22

34＝8

27.

法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝1

3.

从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为 P 4(2)＝C 24

? ????132? ????232

＝827

. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝1

27，

P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)

34

＝1427

? ??

??

或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427，

P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1

234＝49? ?

?

??或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49.

综上知，ξ的分布列为

从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝65

27.

1．(2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了

该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

( )

A ．这种抽样方法是一种分层抽样

B ．这种抽样方法是一种系统抽样

C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 解析：A 、B 不正确，无法确定采用的是哪种抽样方法． 男生的平均成绩为90，女生的平均成绩为91，

但这只能反映这五名男生和五名女生的情况，不能准确反映全班的成绩．又男生成绩的方差为8，大于女生成绩的方差6，故C 正确．

4．(2013·天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．

(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝

C 12C 35＋C 22C 2

5

C 4

7＝67.

所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6

7. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34

C 47＝435，

P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝4

7.

所以随机变量X 的分布列是

随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝17

5.

7．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率是________． 解析：第一步求出，第1次抽到理科题的概率是P 1＝3

5. 第二步求出第1次和第2次都抽到理科题的概率P 2＝3

10. ∴第2次抽到理科题的概率是31035

＝1

2.

9．(2014·云南丽江调研)甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为45，乙投进的概率为1

2，求： (1)甲投进2球且乙投进1球的概率；

(2)在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率． 解：(1)甲投进2球的概率为C 23·? ????452·15＝48

125

， 乙投进1球的概率为C 13·

? ????122·12＝38

， 甲投进2球且乙投进1球的概率为48125×38＝18

125.

(2)在甲第一次投篮未进的条件下，甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为A )，或甲后两投一进且乙三投零进(记为B )，