高二数学矩阵的概念和运算(教师版)

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学科教师辅导讲义

【知识梳理】（一）矩阵的概念

1、矩阵的相关概念

用加减消元法解下列二元一次方程组：

x 2y 5, 3x y 8.

我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表 . 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化。

这样，矩形数表的最后一列恰好是方程组的解。

我们把上述矩形数表叫做矩阵（ Matrix ），矩阵中的每个数叫做矩阵的元素，其中仅由方程组的系数组成的矩阵

叫做方程组的系数矩阵，由方程组的系数和常数项组成的矩阵

若矩阵 A 有m 行， n 列，则该矩阵可记做： A m n 。特别地，当一个矩阵的行数和列数相等的时候，该矩阵叫做

年级：高二辅导科目：数学课时数：

教学内容

叫做方程组的增广矩阵。

方矩阵，简称方阵，若一个方阵有 n 行（或列），那么该方矩阵叫做 n 阶方矩阵。矩阵的每一行构成的一组数表，叫做矩阵的一个行向量（ row vector ）。矩阵的每一列构成的一组数表，叫做矩阵的一个列向量（ column vector ）。

100 10 我们把对角线元素为

1、其余元素均为 0 的方矩阵，叫做单位矩阵。例如：， 0 1 0 。

001

两个矩阵相等的意义：（ 1）两个矩阵的行数，列数分别相等；（ 2）两个矩阵对应位置上的元素相等。

2、矩阵变换与解线性方程组

为了得到二元一次方程组的解，矩阵最终应变为什么形式？答：变为

1 0 a

的形式，方程组的解就是

01b

所以解线性方程组得过程实际上就是通过矩阵变化使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。

当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解。由方程组的变化，可推导矩阵的三种变换规则（1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个非零的数，再加到另一行。

（二）矩阵的运算

小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：

填空题每题 4 分，选择题 4 分，解答题每题 10 分

观察并思考（ 1）如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成

绩？（ 2）如果期中占 40%，期末占 60%，求两同学的总评成绩？

如何通过矩阵运算来研究上述问题？

1、矩阵的加法

记期中成绩答题数为 A 期末答题数为 B

10 3 2

844 A

953

733

确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵

x a, y

18 7 6 CAB

16 8 6

（1）矩阵的和（差）

当两个矩阵A，B 的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵 A ，B 的和（差）记作：A+B （A-B ）

（2）运算律

加法运算律：A+B=B+A

加法结合律：（A+B ）+C=A+ （B+C）

2、数乘矩阵

计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵

1 9 3.5 3

2 8 4 3

（1）矩阵与实数的积

设为任意实数，把矩阵 A 的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵 A 与实数的乘积矩阵.记作：A

（2）运算

（、为实数）

律：

分配律：

A B A B ；()A A A

结合律：A AA

3、矩阵的乘

积

（1）矩阵的乘积：

一般，设A是m k 阶矩阵， B 是n 阶矩设C 为m n 矩阵

如果矩阵C中第i行第j列元素C ij是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A 与B的乘积.记作：C=AB

（2）运算律

分配律：A（B C） AB AC ，（B C）A BA CA

结合律：AB A B A B ，AB C A BC 注：交换律不成立，即AB BA

【典型例题分析】

例 1 写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：

3x 5y 6 0

（1）（ 1）

4x 3y 7

答

（ 1）

4 3 43 7

x 2z 1

（2）

4z 6

z 5

0 2

2 1 2） 0

1 4

01 4 6 2

1 1

巩固训练

答案： 1 2 5 , 3 1 8

xyz6 答案：

x 2y z 2

2x y 2z 2

2 0

3 1

3、若 3 名顾客购买 4 种商品的数据（件）可用下列的矩阵表示：

3 1 0 5

，则

0 2 2 3

（1）第 2 名顾客购买第 2件商品的数量是 ___________ 件；（ 2 ）第 3 名顾客购买商品的情况可用行向量表示为 ______ ；（ 3 ）第 3 种商品被购买的情况可用列向量表示为 ________ 。

1 答案（ 1）1 （ 2） 0

2 2

3 （3） 5

1、矩阵

1 -

2 5

3 1 8

的行向量分别是 __________________ ，列向量分别是 ______________

2、一个系数矩阵为单位矩阵，解为 1列 3行的矩阵 2 的线性方程组可以是

______________________ 3

例 2 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵，并运用矩阵变换的方法解下列方程组：

2x y 3 0,

2y x 4.

答案：( 1) 11

2 y4

例 3 试用代入消元法、加减消元法和矩阵变换的方法分别解三元一次方程组

x y z 6, 3x y 2z 7, 5x 2y 2z 15. x1 答案 : y 2 z3 巩固训练 1、用矩阵变换的方法求解下列方程组 x 2y 5 3x y 8 0

xyz5

x y z 3

3x y 3z 11

答案： (1)

x3 y1

y1 xz4

x －2y 3, 4x y 2;

2) y

66 z

3、甲乙丙三人做一批零件 . 若甲乙两人合作，甲做 8 天，乙做 5 天恰好完成；若甲丙两人合作，甲做 6 天，丙做 9 天

恰好完成；乙丙两人合作，乙做 10天，丙做 6 天恰好完成 . 如果甲、乙、丙单独做，各需多少天才能完成？

x y z 4,

3) 2x y z 1,

x y z 2;

3) y

7 z 2

2、已知一个线性方程组对应的矩阵为 4 3 1 5 7 2

1 4， 5 2

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1）写出其对应的线性方程

组。

2）解（ 1）中的方程组。

4x 3y z

答案（ 1） 7x

2y z 4 5x 2y 3z 8

2）

解：设甲单独做需 x 天，乙需 y 天，丙需 z 天，

则 8 5

x y 6 9 x z 10 6 y

z 1, 1,

1. 1

11 将、1 、1分别记作为 m 、n 、k ，则原方程组可看作为三元一次方程组） xyz 矩阵变换过程如下：（①、②、③分别表示矩阵的第 1、2、3行）（这一步由学生完成） 8 5 0 1 3

③

3 加到②

6 0 9 1 2

0 10 6 1

1 10

②

加到①

15 0 3

6 15

0 10

0 6

6 1 2 1

① 35

加到②

②

加到

0 15 0 1 3

10 6 1

10 0 0

0 15 0 0 0 6

1 1

① 1

1 ②

10 1 1 0 0

12 ③ 1

6 0

1 0

15 0 0 1 1

18 x 12, 所以 y 15,即甲单独做需 z 18, 12天，乙需 15 天，丙需 18天. 1 2 2 3

例 4 已知 A= ，B= 。求：（ 1） A+2B ；（ 2）2A-B 。 2 1 3 1 54 答案

（ 1）

07 11