北师大版初三数学上册专题复习四边形的证明与计算

专题复习四边形的证明与计算

楚雄市云龙中学罗文教学目标:

1. 通过四边形的简单复习，会解决相应的四边形问题。

2. 会利用三角形全等来证明四边形及其相应的计算，培养学生数形结合的思想。

教学重难点会利用所学知识解决几何问题

教学流程

一、复习回顾我们学过了三角形全等、平行四边形、矩形、菱形和正方形，在考查的知识点上多在和图形的边、角分不开。本节我们继续学习四边形的证明及其计算。

二、自主学习教师出示题目，学生独立思考完成。

出示题目：1、如图，已知AB//DE AB= DE AF= CD / CEF= 90°

(1)若/ ECF= 30°, CF= 8,求CE的长；

⑵求证：△ ABF^A DEC

⑶求证：四边形BCEF是矩形

由学生思考后，教师请学生进行分析，指名学生到黑板进行板演。教师检查、并进行指导。

出示题目2、如图，菱形ABC的对角线AC与BD相交于点Q且BE

// AC CEJI BD

(1)求证：四边形QBE(是矩形；

⑵若菱形ABCD勺周长是4, tan a = 1/2,求四边形QBE啲面积.

由学生思考后，教师请学生进行分析，指名学生到黑板进行板演。教师检查、并进行指导。

二、例题讲解

教师出示例题：如图，在矩形ABC呼，对角线BD的垂直平分线MNW AD相交于点M 与BD相交于点Q与BC相交于点N连接BM DN

(1)求证：四边形BMD是菱形；

⑵若AB= 4, AD= 8,求MD勺长

教师引导学生分析，由学生思考，进行板书

证明：(1)v MN是BD的垂直平分线，

??? MB= MD QB= QD / BQNh Z DQ猜90°

T四边形ABC兎矩形，

?AD// BC.

?/ QBN=Z QDM

?△ BQNm DQM(ASA)

?BN= MD

?四边形BMD是平行四边形.

又T MB= MD

?四边形BMD是菱形；

⑵解：设MD= x,则AMh8-x, BMhx,

在Rt△ ABM中, BM2= AB2+ AM2

即x2 = 42 + (8 -x)2，解得x= 5,

MD= 5.

四、巩固提高：

如图，四边形ABC呼，BD垂直平分AC垂足为点F,点E为四边形ABC疗卜一点，且/ ADE=Z BAD AE!AC

(1)求证：四边形ABD至平行四边形；

⑵如果DA平分/ BDE AB= 5, AD= 6,求AC的长.

五、小结

分别回顾四边形的解题技巧

北师大版初三数学复习计划

北师大版初三数学复习计划 Prepared on 21 November 2021

九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路初三数学总复习，通常分三个阶段。第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。二、复习的整体策略和方法整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。

整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。三、复习课时安排第一阶段：按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：

四边形的证明和计算

四边形的证明和计算教学目标：1、使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，并能应用这些知识去分析和解决问题。 2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维的技能，进一步激励学生自我提高的动机。关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题 3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、判定定理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的培养。教学难点：要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决问题的策略．教学过程：学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结构。为下面的复习做好准备。一、几何证明题：例1：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形． (3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同图形改为：

的添加方法．展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，学生独立完成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析 (2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明) 本题较为简单，意在顾及绝大多数学生，减少对几何的畏惧心理，口答完成，提高积极性，复习判定方法巩固训练： 1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、 BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形分析: 由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平分即可，故只需证OE=OF ，而这可由证明△AOE ≌△COF 得到。证：（略）说明：解决此题的关键是要准确理解题意，EF 是线段AC 的垂直平分线。另一种方法证完后还可问学生，还有其他方法吗？注重一题多解，激活学生的思维。学生独立完成,学生板书分层提高题：2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ．（1）证：GD CG GF EG ?=?；例2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E 、F ． (1)求证：DE=DF ．

中考数学四边形经典证明题含答案

1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4．故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．

19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ．（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

四边形的证明与计算

热点四边形的证明与计算（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（） A ．对角线互相平分的四边形是菱形； B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（） A ． 12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（） A ．任意三角形 B ．任意四边形 C ．正五边形 D ．正四边形 5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③ 7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m?取值范围是（） A ．1

平行四边形专项练习题样本

平行四边形专项练习题一．选择题( 共12小题) 1．在下列条件中, 能够判定一个四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行, 另一组对边相等 B．一组对边相等, 一组对角相等 C．一组对边平行, 一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等, 一条对角线平分另一条对角线 2．设四边形的内角和等于a, 五边形的外角和等于b, 则a与b的关系是( ) A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形, 相邻纸片之间互不重叠也无缝隙, 其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1, 另两张直角三角形纸片的面积都为S2, 中间一张正方形纸片的面积为S3, 则这个平行四边形的面积一定能够表示为( ) A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3 4．在?ABCD中, AB=3, BC=4, 当?ABCD的面积最大时, 下列结论正确的有( ) ①AC=5; ②∠A+∠C=180°; ③AC⊥BD; ④AC=BD． A．①②③B．①②④C．②③④ D．①③④ 5．如图, 在?ABCD中, AB=6, BC=8, ∠C的平分线交AD于E, 交BA的延

长线于F, 则AE+AF的值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图, 在?ABCD中, BF平分∠ABC, 交AD于点F, CE平分∠BCD, 交AD于点E, AB=6, EF=2, 则BC长为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图, 在?ABCD中, AB=12, AD=8, ∠ABC的平分线交CD于点F, 交AD 的延长线于点E, CG⊥BE, 垂足为G, 若EF=2, 则线段CG的长为( ) A． B．4 C．2 D． 8．如图, 在?ABCD中, AB＞AD, 按以下步骤作图: 以点A为圆心, 小于AD的长为半径画弧, 分别交AB、 AD于点E、 F; 再分别以点E、 F为圆心, 大于EF的长为半径画弧, 两弧交于点G; 作射线AG交CD于点H, 则下列结论中不能由条件推理得出的是( ) A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH

2014年中考数学四边形专题复习：四边形的证明与计算 (2)

第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题一、矩形的学习例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为. 例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 相应练习一 1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC △ECD；（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．

2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F . （1）求证：△ABE ≌△FCE . （2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形. 3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD 4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？二、菱形的学习例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，（1）求证：四边形AFCE 为菱形；（2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式 'A

北师大版九年级数学上册知识点总结

九（上）数学知识点答案第一章证明（一） 1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线

四边形与证明(经典难题)

第八部分图形与证明知识点的把握新的课程标准对图形与证明提出了如下要求： 1.了解证明的含义. (1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据. 2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行; (3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等. 3.利用2中的基本事实证明下列命题. (1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理. 4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值. 命题方向经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查. 纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法. 考试重点一、几何图形的性质定理、判定定理的应用本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理. 中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高. 【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.

平行四边形综合性质及经典例题

一对一个性化辅导教案

平行四边形的性质与判定平行四边形及其性质(一) 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示．如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行四边形的面积计算六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．

3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．七、课后练习 1．判断对错（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．（一）平行四边形的判定一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点重点：平行四边形的判定方法及应用．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗

北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学 , 知识点汇总第一章特殊平行四边形一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。）

（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。（4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高

2019年中考数学四边形有关的计算与证明专题卷(含答案)

2019年中考数学四边形有关的计算与证明专题卷（含答案）一、解答题（共12题） 1.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长． 2.（已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF． 3.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 4.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）．

易知，S△ADC=S△ABC，________=________，________=________．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF． 5.如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小． 6.如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）若∠EDF=50°，求∠BEF的度数． 7.如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长． 8.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证： AF=BE．

中考数学平行四边形综合练习题附答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析. 【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，

∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

人教版八年级下册特殊四边形的证明与计算专题(无答案)

特殊四边形的证明与计算一. 一组对边平行+一组对角相等=平行四边形 1. 四边形ABCD 中，AB//CD,D B ∠=∠,BC=6,AB=3,求四边形ABCD 的周长。二. 平行四边形的性质与判定的贡献 2.如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE∠AC (1)求证：四边形ABDE 是平行四边形； (2)如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长。 3.已知：如图,D,E,F 分别是∠ABC 各边上的点,且DE∠AC,DF∠AB.延长FD 至点G ，使DG=FD ，连接AG. 求证：ED 和AG 互相平分。

三.菱形四边相等为全等提供了可能 4.如图1，菱形ABCD中，点E.F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF. (1)求证：CE=CF； (2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.

四. 含60?的菱形与等边三角形结合在一起 5.(1)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，且?=∠120EOF ，求证：AB BF AE 21=+. (2)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，E ，F 分别在DA ，AB 的延长线上，?=∠120EOF ，试探究AE ，BF ，AB 之间的数量关系. 五. 从对称的角度考虑菱形问题。 6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E. F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是。

2017年中考复习特殊四边形综合题

特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y （3）在平移变换过程中，设y=S △OPB 的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由． 3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：=；（2）求证：AF⊥FM；（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明． 5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；（2）当BE=2EC时，求的值；（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．

题型五三角形四边形的证明与计算

二、解答题重难点突破三角形、四边形的证明与计算题型四有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线类型一针对演练C，A交AC于点E，得△ABC，AB,BC=2,∠ABC=120°将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°)中，1. 在△ABCAB=11111. F两点于D、分别交AC、BC 图②图① 第1题图DA的形状，并说明理由；）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC（(1)证明：EA=FC;211. ED的长（3）在（2）的情况下，求 2的正方22的正方形ABCD与边长为连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2. （2015形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上. （1）小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由；（2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你

帮他求出此时BE的长. 图①图②第2题图

3. 如图①，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF. 1 图①图②图③ 第3题图（1）DE,DF的数量关系；（2）如图②，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF；（3）如图③，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】针对演练 1.（1）证明：∵AB=BC, ∴∠A＝∠C, ∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△ABC, 11∴∠ABE=∠CBF,∠C＝∠C ,AB=BC=AB=BC, 1111∴∠A＝∠C, 1在△ABE和△CBF中，12 C??A??1?BC?AB，?1?BFC?ABE???1(ASA), BF∴△ABE≌△C1, BF∴BE=, BF=BC-∴AB-BE1. FC即EA=1是菱形，理由如下：：四边形BCDA(2)解1，，∠ABC=120°旋转角α＝30°，+30°＝150°=∠ABC+α=120°∴∠ABC1, BC，AB=∵∠ABC=120°11＝30°=，(180°-120°)∴∠A＝∠C2＝180°，ABC+∠C=150°+30°∴∠11, =150°+30°=180°∠ABC+∠A1, AD∥BCAB∥CD, ∴11 BCDA是平行四边形，∴四边形1, AB=BC又∵1.

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0）；注意a 的双重非负性：

2019年中考数学专题4：四边形证明及计算压轴题

2019年中考数学专题4：四边形证明及计算压轴题 1．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点均在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。（1）求证：△BHE ≌△DGF ；（2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。 2．以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°）， ① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ； ③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由． A B C D H E F G （第23题图2） E B F G D H A C （第23题图3）（第23题图1） A B C D H E F G

3．如图7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：△BEC ≌△DEC ：（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数． 4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ．（1）证明：EF CF =；（2）当tan ADE ∠= 3 1 时，求EF 的长． 5．两个大小相同且含 30角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC 绕点C 逆时针旋转 30得到图②，点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点，点H 是DE 与AC 的交点. （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形；（2）将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转 45得△D 1E 1C ，点F 、G 、H 的对应点分别为 F 1、 G 1、 H 1 ，如图③.探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D 1E 1与CE 交于点I ，求证：G 1I =CI. D B C A E 图① D A 图② D A D 1 B C E F G H B C E F G 1 H 图③ H 1 E 1 I G F 1