2019四川省高二上学期数学(理期末考试)试题

高二年级期末考试

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列格式的运算结果为纯虚数的是

A．i 1

i 2B．

C．1

i 2

D．

1i2

2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加一项活动，则甲被选中的概率为

A．1829

B．C．D．525525

3．命题“x R,2

0x 0 x2

”的否定是

A．不存在x R,2

B．x R,2

C．x R,2x x2D．x R,2x x2

4．容量为100的样本，其数据分布在[2,18]，将样本数据分为4组：

[2,6),[6,10),[10,14),[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是

A．样本数据分布在[6,10)的频率为0.32B．样本数据分布在[10,14)的频数为40

C．样本数据分布在

[10,14)

[2,10)的频数为40D．估计总体数据大约有10%分布在

5．已知点M（4，t）在抛物线x24y上，则点M到焦点的距离为错误！未找到引用源。

A．5B．6C．4D．8

6．若平面,,中，，则“”是“”的

A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

7.已知椭圆x2y2

的两个焦点是F、F

，点P在椭圆上，若|PF||PF |2

，则

PF F

的面积是

A．3B．31 C.2D．21

8.已知直三棱柱BCD B C D中，BC CD，BC CD，CC 2B C，则CD与平面1

111

BDC

所成角的正弦值为

A．2

B．

D．

9．已知矩形ABCD,AB 4,BC 3.将矩形ABCD沿对角线AC折成

大小为的二面角B AC D，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球

的表面积是

A．9B．16C．25D．与的大小有关10．若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b的值为A．4B．4C．5D．5

11.已知点P x，y

0 0

x2y2为

椭圆C:1

a2b2

a b0上一点，F ，F 分别为椭圆C的左右焦

1 2

点，当y

时，F PF 60，则椭圆C的离心率为

1 2

A.27

12.已知函数

x2(4a 3)x 3a,x＜0

f(x)

log(x 1)1,x0

（a＞0，学优高考网且a 1）在R上单调

递减，且关于x的方程f(x)2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

(0,]

[ ,]

{

} D.

[ ,)

{

}

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若命题“存在实数x，使x2ax 10”为假命题，则实数a的取值范围为．14．经过点（1，2）的抛物线的标准方程是．

15.已知F为双曲线C:x2y2

169

的左焦点，P、Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长

的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为．

16．在长方体ABCD A B C D

1111中，已知底面ABCD为正方形，P为A D

的中点，

AD 2，AA 3

，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC 2QP，则线段BQ的长度的最大值为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本大题满分10分）

已知A，B，C三个班共有学生100人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）.

A 班

B 班

C 班6

6.5

（Ⅰ）试估计C班学生人数；

（Ⅱ）从A班和B班抽出来的学生中各选一名，记A班选出的学生为甲，B班选出的学生为乙，若学生锻炼相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.

18.（本大题满分12分）

已知双曲线C:x2y2y2x2

1a 0,b 0与双曲线1

a2b262

的渐近线相同，且经过点

2,3.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知双曲线C的左右焦点分别为F、F

12，直线l经过F

3，倾

斜角为，

l与双曲

线C交于A,B两点，求F AB

的面积.

19.（本大题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A B C

1 1 1中，C C

平面ABC，D，E，F，G分别为AA

，AC，AC

1 1

，B B

的中点，AB=BC=5，AC=AA=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角BCD-C 的余弦值；

（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

20.（本小题满分12分）

简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片。当初向各地作了广告推广，同时广

告对销售收益也有影响。在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢

失，但可以确定横轴是从0开始计数的．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销

售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x（单位：万元）1 2 345

销售收益 y （单位：百万元）

2 3 2 7

表中的数据显示， x

与 y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y

关于

的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

x y n x y i i

i 1 x 2

n x i

i 1

, a y b x ．

21．（本小题满分 12 分）

已知以坐标原点 O 为圆心的圆与抛物线 C ： y 2

2 px ( p 0)

相交于不同的两点 A , B ，

与抛物线 C 的准线相交于不同的两点 D , E ，且 | AB |

|D E |4

（Ⅰ）求抛物线

的方程；

（Ⅱ）若不经过坐标原点

的直线 l

与抛物线

相交于不同的两点

M , N

，且满足

OM ON .证明直线 l 过 x 轴上一定点 Q ，并求出点 Q 的坐标.

22.（本小题满分 12 分）

椭圆

C : x 2 y 2

1(a b 0) a 2 b 2

的离心率是，点 P (0,1) 在短轴 CD 上，且

PC PD

（Ⅰ）求椭圆 C

的方程；

（Ⅱ）设

为坐标原点，过点 P

的动直线与椭圆交于

A 、B

两点.是否存在常数，使得

OA OB

PA PB

为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

n 2

数学（理）试卷参考答案一、选择题

1-5:CCDDA6-10:BCACA11-12:AC

二、填空题

13．2a 214．y24x或x21

y15.4016．6

三、解答题

17.（1）由分层抽样可得C班人数为：10043

40（人）；

（2）记从A班选出学生锻炼时间为x，B班选出学生锻炼时间为y，则所有x，y 为6，6，6，7，6，8， 6.5，6， 6.5，7， 6.5，8，7，6，7，7，7，8

共9种情况，而满足x y的 6.5，6，7，6有2种情况，所以，所求概率P

y2x2

18.解：（1）设所求双曲线C方程为622 9 .

代入点

2,3得

3222

，即

所以双曲线C方程为y2x21y2

，即x21 6223

（2）F(2，0),F(2，0)

12.直线AB的方程为y

x 2

.设A(x,y),B(x,y)

1122

y (x 2)

联立y

得2x24x 70满足0.

由弦长公式得AB 1(1)2(

)24()2326 22

点F(2，0)到直线AB:x y 20的距离d 1202

22.

所以S

F AB 11

AB d 6226 2. 22

x 1

19.解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A B C 中，∵CC⊥平面ABC，

1 1 11

∴四边形A ACC为矩形．又E，F分别为AC，A C的中点，

1 1 1 1

∴AC⊥EF．∵AB=BC．

∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC．又CC⊥平面ABC，

1 1

∴EF⊥平面ABC．

∵BE 平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．

由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．uuu r uur

∴C D=(2，0，1)，CB=(1，2，0)，

设平面BCD 的法向量为n (a，b，c)，∴

uu ur

n CD 0

uur

n CB

，∴2a c 0

a 2

b 0

，

令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量n (2，1，4)，

uu r

uur uu r

又∵平面CDC的法向量为EB=(0，2，0)，∴cos n EB uu r =

|n||EB|21

．

由图可得二面角B-CD-C为钝角，所以二面角B-CD-C的余弦值为

1 1

21 21

．

（Ⅲ）平面BCD的法向量为n (2，1，4)，∵G（0，2，1），F（0，0，2），uuu r uuu r uuu r

∴G F=(0，2，1)，∴n GF 2，∴n与G F不垂直，

∴GF与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF与平面BCD相交．

20．（12分）解:（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)m0.5m 1，故m 2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，

其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，

故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045；（Ⅲ）空白栏中填5．

由题意可知，x 12345

3，y

23257

3.8，

n EB21

i 1

5 x y

122 332 4 557 69

， x 1 2 3 4 5 55 i i

i 1

，

根据公式，可求得

69 5 3 3.8 12

1.2 55 5 32 10

， a 3.8 1.2 3 0.2

，

即回归直线的方程为 y

1.2x 0.2 ．

21.解：（1）由已知，

| AB ||D E |4

，则

A , B

两点所在的直线方程为

则

| AB |

2 p 4

，故

p 2

∴抛物线

的方程为 y

4 x

（2）由题意，直线l 不与 y 轴垂直，设直线l 的方程为

my n (n 0)

，

M ( x , y ), N ( x , y ) 1 1 2 2

.联立

x m y n y 2 4 x

消去 x ，得 y 2

4m y 4n 0

∴

16 m 2

16 n 0 ， y

4m ， y y

4n 1

1 2

，

∵ O M ON ，∴ x x

y y

0 ，又 y 2

1 2

4 x , y 1

4 x ，∴ x x

2 1

y 2 y 2

1 2 16

∴

x x y y

1 2 1

y 2 y 2

1 2

y y

n 1 2

4n 0 ；解得 n 0 或 n 4

而

n 0

，∴

n 4

（此时

16 m 2

16 n 0

）∴直线 l

的方程为

x my 4

，

故直线 l 过 x 轴上一定点

Q (4,0)

22.解：（1）由已知，点 C , D 的坐标分别为 (0,

b ) ， (0, b ) .又点 P 的坐标为 (0,1) ，且

PC PD

，

于是

b 2 1

，

c 2

a 2

，

a 2

b 2

c 2

，解得

a 2

，

b 2

.所以椭圆

方程为

x 2 y 2 1 4

（2）当直线

的斜率存在时，设直线

的方程为

kx 1

，

A , B

的坐标分别为

2 2 2 2 2 2 16

( x , y ) 1 1

，

( x , y ) 2 2

x 2 y 2 1

.联立 4 2 y kx

1 ，得 (

2 k 2 1)x 2 4k x 2 0

.其判别式

(4 k )2 8(2k 2 1) 0 ，所以 x

， x x

.从而，

2k 2 1 2k 2

OA OB

PA PB x x

y y

1 2

[x x

( y

1)(y

1)]

1 2 1

)(1k 2

) x x k ( x

x ) 1 1 2

4)k 2 (21)

2k 2 1

1 22k 2

所以，当 1 时，

12k 2

3.此时， OA OB

PA PB

为定值.

当直线 AB

斜率不存在时，直线 AB

即为直线 CD

，此时

OA OB

PA PB OC OD PC PD

213

，

故存在常数 1 ，使得 OA

PA PB

为定值-3.

1 2