(完整版)同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系.

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数.

4、 会求分段函数的导数.

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数. 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；

3、基本初等函数的导数公式；

4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点：

1、复合函数的求导法则；

2、分段函数的导数；

3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数.

§2. 1 导数概念 一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),

求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值

000)

()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践

中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值

0)

()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即

0)

()(lim

t t t f t f v t t --=→,

这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题

设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.

设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0

000)

()(tan x x x f x f x x y y --=

--=

?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存

在, 设为k , 即

00)

()(lim 0x x x f x f k x x --=→

存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的

倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.

二、导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

00)

()(lim 0x x x f x f x x --→.

令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0

0)

()(lim 0

x x x f x f x x --→

成为 x y

x ??→?0lim

或x

x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000.

定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即

x

x f x x f x y

x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim

)(00000,

也可记为0|x x y =',

0 x x dx dy =或0

)

(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.

导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 h

x f h x f x f h )

()(lim

)(000

0-+='→,

00)

()(lim

)(0

x x x f x f x f x x --='→.

在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim

000

不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.

如果不可导的原因是由于∞=?-?+→?x

x f x x f x )

()(lim

000

,

也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.

如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ', dx dy , 或dx

x df )

(. 导函数的定义式:

x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim 0=h

x f h x f h )

()(lim 0-+→.

f '(x 0)与f '(x )之间的关系:

函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.

导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:h x f h x f x f h )

()(lim )(000

0-+='-

→-

;

f (x )在0x 的右导数:h

x f h x f x f h )

()(lim )(000

0-+='+

→+

.

如果极限h x f h x f h )

()(lim 000

-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.

如果极限h

x f h x f h )

()(lim

000

-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.

导数与左右导数的关系 2．求导数举例

例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: h

x f h x f x f h )

()(lim )(0

-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.

例2. 求x

x f 1

)(=的导数.

解: h x h x h x f h x f x f h h 1

1lim )

()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数. 解: h

x h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00

lim )

()(lim

)( x

x h x x h x h h h h 211lim )(lim

00=++=++=→→.

例2．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f a

x --=→)

()(lim

a x a x n n a x --=→lim a

x →=lim (x n -1+ax n -2+ ? ? ? +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1. (C )'=0, 21

)1(x x -=', x

x 21)(=', 1)(-?='μμμx x .

更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.

例3．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )h

x f h x f h )

()(lim 0

-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2

sin )2cos(21lim

0h

h x h h +?=→ x h h

h x h cos 2

2sin )2

cos(lim 0=?+=→.

即 (sin x )'=cos x .

用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例4．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )h x f h x f h )

()(lim

-+=→h

a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim

0-=→t a h =-1令)

1(log lim

0t t a a t x +→

a a e

a x a x

ln log 1==. 特别地有(e x )=e x .

例5．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: h

x h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )

()(lim

)(00

-+=-+='→→ h x

a h a h a h x

h x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→

a x e x a ln 1log 1==. 解:h x

h x x f a a h log )(log lim

)(0-+='→)1(log 1lim 0x

h h a h +=→

h x a h x h x )1(log lim 10+=→a

x e x a ln 1log 1==. 即 a x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 x

x 1

)(ln ='.

a x x a ln 1)(log =', x x 1)(ln ='.

3．单侧导数: 极限h

x f h x f h )

()(lim 0

-+→存在的充分必要条件是

h

x f h x f h )()(lim 0

-+-

→及h x f h x f h )

()(lim 0-++→ 都存在且相等.

f (x )在0x 处的左导数:h x f h x f x f h )

()(lim )(0

0-+='-

→-

,

f (x )在0x 处的右导数:h

x f h x f x f h )

()(lim )(0

0-+='+

→+

.

如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.

例6．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数. 解: 1|

|lim )0()0(lim )0(00

-==-+='--

→→-

h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00

==-+='++

→→+

h h h

f h f f h h ,

因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.

四、导数的几何意义

函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即

其中α是切线的倾角.

如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为

过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)

(10x f '-, 从而法线方程为 )()

(10

00x x x f y y -'-

=-.

例8. 求等边双曲线x

y 1

=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法

线方程.

解: 21

x

y -=', 所求切线及法线的斜率分别为

4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .

所求切线方程为)21

(42--=-x y , 即4x +y -4=0.

所求法线方程为)2

1

(412-=-x y , 即2x -8y +15=0.

例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为

02

12302

323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )

(2300

00x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(23400

00x x x x -=--,

解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42

344-=-x y , 即3x -y -4=0.

四、函数的可导性与连续性的关系

设函数y =f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f x

y

x '=??→?存在. 则

00)(lim lim lim

lim 00

000

=?'=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x .

这就是说, 函数y =f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该

点必连续.

另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.

例7． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大

h

f h f h )

0()0(lim

0-+→+∞=-=→h h h 0lim 3

0. §2. 2 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为

零的点外)都在点x 具有导数, 并且 [u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;

[u (x )?v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );

)()

()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='??????. 证明 (1)h

x v x u h x v h x u x v x u h )]

()([)]()([lim ])()([0±-+±+='±→

??

?

??

?

-+±

-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x )±v '(x ). 法则(1)可简单地表示为 (u ±v )'=u '±v ' . (2)h

x v x u h x v h x u x v x u h )()()()(lim

])()([0-++='?→

)]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h

h -+++-++=→

??

?

-+++???

-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()

()()()(lim 0 h

x v h x v x u h x v h x u h x u h h h )

()(lim )()(lim )()(lim

000-+?++?-+=→→→

=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ),

其中0

lim →h v (x +h )=v (x )是由于v '(x )存在, 故v (x )在点x 连续.

法则(2)可简单地表示为 (uv )'=u 'v +uv '.

(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()

()()(lim )()(00

++-+=-

++='??????→→

h

x v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]

()()[()()]()([lim

0+-+--+=→

)

()()

()()

()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→

)

()

()()()(2x v x v x u x v x u '-'=

.

法则(3)可简单地表示为 2

)(v v u v u v u '

-'='.

(u ±v )'=u '±v ', (uv )'=u 'v +uv ', 2

)(v v u v u v u '

-'='.

定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u (x )、v =v (x )、

w =w (x )均可导, 则有

(u +v -w )'=u '+v '-w '.

(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '

=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '. 即 (uvw )' =u 'vw +uv 'w +uvw '.

在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有

(Cu )'=Cu '.

例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '

解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2?3x 2-5?2x +3=6x 2-10x +3.

例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.

解: x x x x x f sin 43)2

(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,

44

3)2 (2-='ππf .

例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.

解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.

解: x

x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '

-'=

'='='

x x

x x x 2222

2sec cos 1cos sin cos ==+=.

即 (tan x )'=sec 2x .

例5．y =sec x , 求y '.

解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '?-'='='='x

x

2cos sin ==sec x tan x .

即 (sec x )'=sec x tan x .

用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,

(csc x )'=-csc x cot x .

二、反函数的求导法则

定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且 )

(1])([1y f x f '='-. 或dy

dx dx dy

1=.

简要证明: 由于x =f (y )在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f (y )的反函数y =f -1(x )存在, 且f -1(x )在I x 内也单调、连续.

任取x ∈I x , 给x 以增量?x (?x ≠0, x +?x ∈I x ), 由y =f -1(x )的单调性可知 ?y =f -1(x +?x )-f -1(x )≠0, 于是

y

x

x y ??=??1. 因为y =f -1(x )连续, 故 0lim 0

=?→y x

从而

)

(11lim lim

])([001y f y

x x y

x f y x '=??=??='→?→?-.

上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例6．设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开

区间)2

,2 (ππ-内单调、可导, 且

(sin y )'=cos y >0.

因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有 2

211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='=

'. 类似地有: 2

11

)(arccos x x --

='. 例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在

区间)2

,2 (ππ-内单调、可导, 且

(tan y )'=sec 2 y ≠0.

因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 2

2211tan 11sec 1)(tan 1)(arctan x y y y x +=

+=='=

'. 类似地有: 2

11

)cot arc (x x +-='.

例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且

(a y )'=a y ln a ≠0.

因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 a

x a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？

三、复合函数的求导法则

定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为

)()(x g u f dx

dy

'?'=或dx du du dy dx dy ?=.

证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成

立.

当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 此时有

x

x g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ?-?+?

-?+-?+=?-?+=??)

()()()()]([)]([)]([)]([ x

x g x x g u u f u u f ?-?+??-?+=)

()()()(,

x

x g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ?-?+??-?+=??=→?→?→?)

()(lim )()(lim lim 000= f '(u )?g '(x ).

简要证明:

x u u y x y dx dy x x ?????=??=→?→?00lim lim )()(lim lim 00x g u f x

u u y

x u ''=?????=→?→?. 例9 3x e y =, 求

dx

dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此

322

33x u e x x e dx

du du dy dx dy =?=?=. 例10 212sin x

x y +=, 求dx dy

.

解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的,

因此

2

222222212cos

)1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +?+-=+-+?=?=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dx

dy

. 解:

)(sin sin 1)sin (ln '?='=x x x dx dy

x x x

cot cos sin 1=?=. 例12．3221x y -=, 求dx

dy

. 解:

)21()21(31])21[(2322312'-?-='-=-x x x dx dy 32

2)21(34x x --=.

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =?(v ), v =ψ(x ),

则

dx

dv dv du du dy dx du du dy dx dy ??=?=. 例13．y =lncos(e x ), 求

dx

dy .

解:

])[cos()

cos(1])cos([ln '?='=x x x e e e dx dy

)tan()()]sin([)

cos(1x x x x x e e e e e -='?-?=

.

例14．x

e y 1sin =, 求

dx

dy . 解:

)1(1cos )1(sin )(1sin

1sin 1sin '??='?='=x

x e x e e dx dy x x x x

e x x 1cos 11sin

2??-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.

解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以

(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ?(μ ln x )'= e μ ln x ?μ x -1=μ x μ-1.

四、基本求导法则与导数公式

1．基本初等函数的导数: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ?tan x , (8)(csc x )'=-csc x ?cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) a x x a ln 1)(log =',

(12) x x 1)(ln =',

(13) 211

)(arcsin x x -=

', (14) 2

11

)(arccos x x --

='. (15) 211

)(arctan x x +=',

(16) 2

11

)cot arc (x x +-='.

2．函数的和、差、积、商的求导法则

设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '?v +u ?v ', (4)2

)(v v u v u v u '

-'='.

3．反函数的求导法则

设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且

)

(1])([1y f x f '='-. 或dy

dx dx dy

1=.

4．复合函数的求导法则

设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为

dx

du

du dy dx dy ?=或y '(x )=f '(u )?g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数. 解: 因为)(2

1sh x x e e x --=, 所以

x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,

即 (sh x )'=ch x .

类似地, 有

(ch x )'=sh x .

例17. 求双曲正切th x 的导数. 解: 因为x x x ch sh th =, 所以

x

x x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1

=.

例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数. 解: 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 2

2211)11(11)arsh (x x x x x x +=++?++=

'.

由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得1

1

)arch (2-=

'x x . 由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (x

x -='.

类似地可得1

1)arch (2-=

'x x , 211)arth (x x -='.

例19．y =sin nx ?sin n x (n 为常数), 求y '.

解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ? (sin n x )'

= n cos nx ?sin n x +sin nx ? n ? sin n -1 x ?(sin x )'

= n cos nx ?sin n x +n sin n -1 x ? cos x =n sin n -1 x ? sin(n +1)x .

§2. 3 高阶导数

一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或2

2dx y

d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' ,

)(22dx

dy

dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.

类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ? ? ?, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作

y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或

33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n

n dx y

d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶

导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.

y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ? ? ?, y (n )都称为高阶导数. 例1．y =ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.

例2．s =sin ω t , 求s ''.

解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .

例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0. 证明: 因为2

2212222x x x x x x y --=--=

', 22222222)1(2x x x x x

x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32

321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.

例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得 y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .

例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,

)2

sin(cos π+=='x x y ,

)2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,

)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ?+=+?+=?+='''x x x y , )2 4sin()2 3cos()4(ππ?+=?+=x x y , 一般地, 可得

)2 sin()(π?+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π?+=n x x n .

用类似方法, 可得)2 cos()(cos )(π?+=n x x n .

例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数

解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2, y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, 一般地, 可得

y (n )=(-1)(-2)? ? ?(-n +1)(1+x )-n n

n x n )1()!

1()1(1+--=-, 即 n

n n x n x )1()!

1()1()]1[ln(1

)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式. 解: y '=μx μ-1,

y ''=μ(μ-1)x μ-2,

y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,

y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得

y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到

(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .

如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且

(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) . (uv )'=u 'v +uv '

(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',

(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' , 用数学归纳法可以证明

∑=-=n

k k k n k n n v u C uv 0)()()

()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.

例8．y =x 2e 2x , 求y (20). 解: 设u =e 2x , v =x 2, 则

(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ? ? ? , 20),

v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ? ? ? , 20), 代入莱布尼茨公式, 得

y (20)=(u v )(20)=u (20)?v +C 201u (19)?v '+C 202u (18)?v '' =220e 2x ? x 2+20 ? 219e 2x ? 2x !21920?+218e 2x ? 2

=220e 2x (x 2+20x +95).

§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x . 隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.

如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.

把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ? y '+y +xy '=0, 从而 y e

x y

y +-

='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在

x =0处的导数y '|x =0.

解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ?y '+2y '-1-21x 6=0,

由此得 2

521146

++='y x y .

因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 2

1|2521

1|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)32

3 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='?+y y x .

从而 y

x y 169-='.

当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率

43|2-='==x y k .

所求的切线方程为

)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .

解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得

09

2

8='?+y y x . 将x =2, 32

3

=y , 代入上式得

03

141='?+y , 于是 k =y '|x =24

3

-

=. 所求的切线方程为

)2(4

3323--=-

x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y

的二阶导数.

解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=?+-dx

dy

y dx dy , 于是

y

dx dy cos 22-=

. 上式两边再对x 求导, 得

3

222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy

y dx y d --=-?

-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.

设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ), 两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y

,

y '= f (x )?[ln f (x )]'.

对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之 积和商的导数.

例5．求y =x sin x (x >0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ? ln x , 上式两边对x 求导, 得

x x x x y y 1sin ln cos 1?+?=',

于是 )1sin ln (cos x x x x y y ?+?='

)sin ln (cos sin x

x x x x x +?=.

解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:

y =x sin x =e sin x ·

ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +?='?='?.

例6. 求函数)

4)(3()

2)(1(----=

x x x x y 的导数.

解: 先在两边取对数(假定x >4), 得

ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],

上式两边对x 求导, 得

)41312111(211-----+-='x x x x y y ,

于是 )4

1312111(2-----+-='x x x x y

y .

当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=

; 当2

4)(3()

2)(1(x x x x y ----=;

用同样方法可得与上面相同的结果.

注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2

二、由参数方程所确定的函数的导数

设y 与x 的函数关系是由参数方程???==)()

(t y t x ψ?确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参

数方程所确定的函数.

在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =?(t )具有单调连续反函数t =?-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[?-1(x ) ], 若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则

)

()

(1t t dt

dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?ψ''=

?=?=, 即 )

()

(t t dx dy ?ψ''=或dt

dx dt dy dx dy =.

若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则

)

()

(t t dx dy ?ψ''=

. 例7. 求椭圆?

??==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t a b t a t

b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=.

所求切线的斜率为

a

b dx

dy

t -==4

π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π.

切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.

例8．抛射体运动轨迹的参数方程为?????-==2212

1gt t v y t

v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2 解: 先求速度的大小.

速度的水平分量与铅直分量分别为 x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,

所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为

22)]([)]([t y t x v '+'=22

21)(gt v v -+=. 再求速度的方向,

设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为

12)()(tan v gt

v t x t y dx dy -=

''==α. 已知x =?(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''? 由x =?(t ), )()

(t t dx dy ?ψ''=

,

dx

dt

t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22?ψ''== )(1

)()()()()(2t t t t t t ???ψ?ψ'?

''''-'''= )

()

()()()(3t t t t t ??ψ?ψ''''-'''=

.

例9．计算由摆线的参数方程?

??-=-=)cos 1()

sin (t a y t t a x 所确定

的函数y =f (x )的二阶导数.

解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'

-=

2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数).

dx

dt t dt d

dx dy dx d dx y d ?==)2(cot )(22 22

)cos 1(1)cos 1(12

sin 21

t a t a t --=-?

-

= (t ≠2n π, n 为整数). 三、相关变化率

设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dt

dx 与dt dy

间也

存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个

变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？

解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则

500

tan h =α.

其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得