2013年全国初中数学竞赛试题 (含答案)
2013年全国初中数学竞赛试题
（考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分）
答题时注意：
1. 用圆珠笔或钢笔作答；
2. 2.解答书写时不要超过装订线；
3. 3草稿纸不上交。
一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1.设非零实数a 、b 、c 满足?
??=++=++0432032c b a c b a ，则2
22c b a ca
bc ab ++++的值为（ ） (A) －
21 ( B) 0 (C) 2
1
(D) 1 2.已知a 、b 、c 是实常数，关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 有两个非零实根，则下列关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 中，以
211x ，22
1
x 为两个实根的是（ ） (A) 0)2(2222=+-+a x ac b x c ( B) 0)2(2
2
2
2
=+--a x ac b x c (C) 0)2(2
2
2
2
=--+a x ac b x c (D) 0)2(2
2
2
2
=+--a x ac b x c
3，如图，在Rt △ABC 中,已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ,垂足为D ，DE 垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD 、OE 、AC 的长度中，不一定．．．
是有理数的为（ ） (A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC
F
4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 上，且BC =4AF ，DCFE 是平行四边形，则图阴影部分(△BDE +△ADE )的面积为（ ）。 (A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8
5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：60
)1()1(45
33*3
33223-++++++=y x xy y x x y x ，且z y x z y x *)*(**=，则2013*2012*……*3*2的值为（ ）
(A)
967
607
( B) 9671821 (C) 9675463 (D) 96716389
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6.设33=a ，b 是2
a 的小数部分，则3)2(+
b 的值为
７.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5则四边形AEFD 的面积是 。
８.已知正整数a 、b 、c 满足0222=--+c b a ，0832
=+-c b a ，则a b c 的最大值
为 。
９.实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程02
=++d cx x 的两根为a ，b ，一元二次方程02
=++b ax x 的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为 。
10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11.如图，抛物线32
-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线x 与轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC =3OA 。直线13
1
+-=x y 与y 轴交于点D ， 求∠DBC －∠CBE .
12.设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求 ∠BAC 所有可能的度数。
13.设a ，b ，c 是素数，记a c b x -+=，b a c y -+=，c b a z -+=，当y z =2
，
2=-y x 时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论。
14.如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔
术数），求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数n a a a ,21 ?，满足任意一个正整数m ，在n a a a ,21
?中都至少有一个为的m 魔术数。