立体几何二 垂直.

二、垂直关系

一．线线垂直的判定

①相交时，边长关系比较明显时，利用勾股定理或等腰三角形的高的垂直关系； ②转化为线面垂直；

③垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

二．线面垂直的判定

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 注：性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

三．面面垂直

①定义：两个平面相交成直二面角。

②判定定理： （线面垂直?面面垂直）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线。 注：性质定理：（面面垂直?线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

1：如图,在三棱锥P -ABC 中，AB =BC =CA ，P A ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点．

求证：CD ⊥PB ；

2：已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1

的中点，G 是A 1C 1的中点．求证平面BFD 1E ⊥平面BGD 1；

3：四边形ABCD 中．AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°，将

△ABD 沿对角线BD 折起，记折起点A 的位置为P ，且使平面PBD ⊥平 面BCD ．(1)求证：CD ⊥平面PBD ；(2)求证：平面PBC ⊥平面PDC ；

S

4：在三棱锥S -ABC 中，已知SA =4，AB =AC ，BC =3 6 ,∠SAB =∠SAC =45°,

SA 与底面ABC 所的角为30°.求证：SA ⊥BC ；

5. 在四棱锥P -ABCD 中，已知PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形,且∠DAB =60°， AB =2CD ，∠DCP =45°，设CD =a ．求证：AD ⊥PB ．

6. 如图，正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角，且∠BCD =90°，∠CBD =30°. 求证：AB ⊥CD ；

6.（全国卷）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，=∠PA DAB ,90

底面ABCD ，且PA=AD=DC=2

1

AB=1，M 是PB 的中点证明：面PAD ⊥面PCD ；

B

A P

D

C

E

C C

B

A

A

A

B

C

D

A C

D

P

M

7.（全国卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；

（Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．

8.（全国卷1）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底 面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =3SA SB ==．

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB

9.（全国卷2）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底 面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，

求二面角A EF D --的大小．

10.（全国一）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面底面，2BC =，2CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．

11.（全国二）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在

1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大

小．

12．（北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，

AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．

13.（四川卷）如，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

090,BAD FAB BC

∠=∠=//=

1

2

AD ，BE //=

1

2

AF （Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面； （Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小；

A

B C

D E A 1

B 1

C 1

D B

C

A

S

A C

F

S

D H G

M

C D E

A

B A

B

C

D E A 1

B 1

C 1

D 1 A

C

B

P

N

M

A B

D

C

O

14. （天津卷）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．

15.（安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线 MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面

OCD 的距离。

16. （山东卷）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为6

2

，求二面角E —AF —C 的余弦值.

17、（江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点.（1）求证：;AC GN ⊥（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明。