用坐标表示对称轴

用坐标表示轴对称

旧州中学卢积新

教学目标

1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．

2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y?轴对称的图形．

3．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，?发展学生数形结合的思维意识．

4．在同一坐标系中，?感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.

教学重点

1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．教学难点

用坐标表示轴对称．

教学方法

探索发现法．

教具准备

课件，坐标纸．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[活动1]

1．如图：

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．

你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？

2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．

（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？

（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？

设计意图：

通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，?使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究．

师生行为：

[生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称．

（2）我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），?嘴角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A

1

关于y

轴对称，则A

1到y轴的距离和A?到y轴的距离相等，A

1

、A到x轴的距离也相

等，∵A 1在第二象限，∴A 1的坐标为（-2，3）．

同理，B 1、C 1、D 1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）．

2．师生共同完成

[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A （2，2），B （4，

2），?C （4，4），D （2，4）．

（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A 1（-2，2），B 1（-4，

2），C 1（-4，4）?，D 1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发

现它们是关于y 轴对称的．

（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A 2（2，-2），B 2（4，-2），C 2（4，-4），D 2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可

得它们是关于x 轴对称的．

[师]A （2，2）与A 1（-2，2）关于y 轴对称，

B （4，2）与B 1（-4，2）关于y 轴对称，

C （4，4）与C 1（-4，4）关于y 轴对称，

D （2，4）与D 1（-2，4）关于y 轴对称．

那么关于y 轴对称的点具有什么规律呢？

A （2，2）与A 2（2，-2）关于x 轴对称，

B（4，2）与B

2

（4，-2）关于x轴对称，

C（4，4）与C

2

（4，-4）关于x轴对称，

D（2，4）与D

2

（2，-4）关于x轴对称．

那么关于x轴对称的点有何规律呢？

这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律．

Ⅱ．导入新课

[活动2]

在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．

已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（1

2

，1），E（4，0）．

关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C?′（?_____，?_____）??D′（____，_____）E′（_____，_____）．

关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（?_____，?_____）??D″（____，_____）E″（_____，_____）．

设计意图：

通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．

师生行为：

教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．

[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），

D（1

2

，1），E（4，0）点．

我们先在坐标系中作出A 点关于x 轴的对称点，即过A 作x 轴的垂线交x 轴于M 点，?M 点的坐标为（2，0）．在AM 的延长线上截A ′M=AM ，则A ′就是A 点关于x 轴的对称点，所以A ′在第一象限，因为A ′M=AM ，所以A ′的纵坐标为3，因为AA ′⊥x 轴，即AA ′∥y 轴，?所以A ′的横坐标为2，即A ′的坐标为（2，3）．

同理可求得B ，C ，D ，E 关于x 轴的对称点B ′，C ′，D ′，E ′的坐标分别为B ′（-1，?-2），C ′（-6，5），D ′（

1

，-1），E ′（4，0）．列表如下：

续表

[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？

[生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．

[师]我们不仿再找几对关于x 轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？

学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律．

[师生共析]

关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．

接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标． [生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标．过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，?且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），

C″（6，-5），D″（-1

，1），E″（-4，0）．列表如下：

续表

[师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？ [生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．Ⅲ．随堂练习

[活动3]

练习：

1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：

（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．

2．如图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．

3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x?轴和y 轴对称的图形．

设计意图：

巩固关于x 轴、y 轴对称的每对对称点的坐标规律．根据已知点，能求出关于x?轴、y 轴对称的点的坐标，并能利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，?作出与已知图形关于坐标轴对称的图形．

师生行为：

学生练习，教师巡视，师生共评．

[生]1．解：根据关于x 轴对称的点的坐标的特点求得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（?-4，-2），（1，0）关于x 轴对称的点的坐标分别为（-2，-6），（1，

2），（-1，-3），（-4，2），（?1，0）．

根据关于y 轴对称的点的坐标的特点可得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（?1，0）关于y 轴对称的点的坐标分别为（2，6），（-1，-2），（1，

3），（4，-2），（-1，0）．

2．△ABC 关于x 轴对称，则A 、B 为关于x 轴的一对对称点，已知A 的坐标为（1，-2），?则B 的坐标为（1，2）．

3．分析：要作出与△ABC 关于x 轴、y 轴的对称图形，只需把A 、B 、C 关于x 轴、y 轴的对称点找到即可．

解：△ABC 各顶点的坐标：A （-4，1），B （-1，-1），C （-3，2）它们关于x 轴对称的点的坐标为A 1（-4，-1），B 1（-1，1），C 1（-3，-2）．在同一直角坐

标系中描出A 1（-4，-1），B 1（-1，1），C 1（-3，-2）连结A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1，则△A 1B 1C 1就是△ABC 关于x 轴对称的图形（如图）．

A （-4，1），

B （-1，-1），

C （-3，2）它们关于y 轴对称的点的坐标为A 2（4，1），B 2（1，-1），C 2（3，2）．在同一坐标系中描出A 2（4，1），B 2（1，-1），C 2（3，2），连结A 2B 2，B 2C 2，C 2A 2，则△A 2B 2C 2就是△A BC 关于y 轴对称的图形（如

图）．

[活动4]

补充练习：

1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：

（1）纵坐标不变，横坐标分别加2．

（2）横坐标不变，纵坐标分别加1．

（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍．

（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍．

（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．

（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．

（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？

设计意图：

进一步让同学们亲身经历点的坐标的变化与图形变换之间的关系．

师生行为：

学生练习，教师指导．

精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，?在平面直角坐标系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．精解：（1）纵坐标不变，横坐标分别加2得三个点依次为（4，1），（7，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（1）所示，与原图形相比三角形的形状、?大小不变，整个三角形向右平移了2个单位长度．

（2）横坐标不变，纵坐标分别加1，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，6）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（2）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形向上平移了1个单位长度．

（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（4，1），（10，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（3）所示，与原图形相比，?整个三角形被横向拉长为原来的2倍．

（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（2，2），（5，2），?（2，10）．将各点依次用线段连结起来，所得图形如图（4）所示，与原图形相比，整个三角形被纵向拉长2倍．

（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，1），（-5，1），

（-2，5）?．将各点依次用线段连结起来，如图（5）所示，与原图形相比，三角形的形状、?大小不变，整个三角形与原三角形关于y轴对称．

（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（2，-1），（5，-1），（2，-5）．将各点用线段连结起来，如图（6）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于x轴对称．

（7）横纵坐标都分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，-1），（-5，-1），（-2，-5）．将各点用线段依次连结起来，如图（7）所示，与原图形相比，整个三角形的形状、?大小不变，整个三角形与原三角形关于O点对称．

Ⅳ．课时小结

本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：

1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．

2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体

现了数形结合的数学思想．