2018年湖南普通高中会考数学真题及答案

2018年湖南普通高中会考数学真题及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知等差数列{n a }的前3项分别为2、4、6，则数列{n a }的第4项为 A ．7 B ．8 C ．10 D ．12

2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A ．球 B ．圆柱 C ．圆台 D ．圆锥 3．函数)2)(1()(+-=x x x f 的零点个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．已知集合}2,0,1{-=A ，}3,{x =B ，若}2{=B A I ，则x 的值为 A ．3 B ．2 C ．0 D ．-1

5．已知直线1l ：12+=x y ，2l ：52+=x y ，则直线1l 与2l 的位置关系是 A ．重合 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行

6．下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是 A ．（0，0） B ．（2，4） C ．（-1，4） D ．（1，8）

7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为

A ．14

B ．23

C ．33

D ．43

8．如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是 A ．0=?CB CA B ．0=?AB CD C ．0=?CD CA D ．0=?CB CD

（第2题图） 俯视图

（第8题图）

C A

B

D

9．将函数x y sin =的图象向左平移

3

π

个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为 A ．)3sin(π+=x y B ．)3sin(π

-=x y

C ．)32sin(π+=x y

D ．)3

2sin(π

-=x y

10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为

A ．

32 B ．54

C ．56

D ．3

4

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．比较大小：5log 2 3log 2 （填“＞”或“＜”）．

12．已知圆4)(2

2=+-y a x 的圆心坐标为)0,3(，则实数=a ．

13．某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为 ．

14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（

2

3,21），则αcos = ． 15．如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105o，∠ACB=45o，则A 、B 两点之间的距离为 米．

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）

（第10题图）

（第13题图）

（第15题图）

已知函数)(x f y =（]6,2[-∈x ）的图象如图．根据图象写出： （1）函数)(x f y =的最大值； （2）使1)(=x f 的x 值．

17．（本小题满分8分）

一批食品，每袋的标准重量是50g ，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图）．

（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；

（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．

18．（本小题满分8分）

如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D 1D=2． （1）求直线D 1B 与平面ABCD 所成角的大小； （2）求证：AC ⊥平面BB 1D 1D ．

4 5 6 6 9

5 0 0 0 1 1 2

（第17题图） （第18题图）

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

（第16题图）

19．（本小题满分8分）

已知向量a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），∈x R ． （1）当4

π=

x 时，求向量a + b 的坐标；

（2）若函数=)(x f |a + b |2

m +为奇函数，求实数m 的值．

20．（本小题满分10分）

已知数列{n a }的前n 项和为a S n

n +=2(a 为常数，∈n N *

)．

（1）求1a ，2a ，3a ；

（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；

（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-?-?=++n n a a n f λλ，若0)(

参考答案

一、选择题（每小题4分，满分40分）

二、填空题（每小题4分，满分20分） 11．＞； 12． 3； 13．4； 14． 2

1

； 15． 2100． 三、解答题（满分40分）

16．解：（1）由图象可知，函数)(x f y =的最大值为2； …………………3分

（2）由图象可知，使1)(=x f 的x 值为-1或5． ……………6分 17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g ）， ………………2分 因为这10袋食品重量的平均数为

4910

52

515150505049464645=+++++++++（g ）

， 所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g ）； ……………4分

（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g 的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为

103，故可以估计这批食品重量的合格率为10

7

． 8分 18．（1）解：因为D 1D ⊥面ABCD ，所以BD 为直线B D 1在平面ABCD 内的射影，

所以∠D 1BD 为直线D 1B 与平面ABCD 所成的角， …………………2分 又因为AB=1，所以BD=2，在Rt △D 1DB 中，1tan 11==

∠BD

D

D BD D ， 所以∠D 1BD=45o，所以直线D 1B 与平面ABCD 所成的角为45o； 4分 （2）证明：因为D 1D ⊥面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，所以D 1D ⊥AC ， 又底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， …………………6分 因为BD 与D 1D 是平面BB 1D 1D 内的两条相交直线，

所以AC ⊥平面BB 1D 1D ． …………………………8分 19．解：（1）因为a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），4

π=

x ，

所以a + b )2,2()2,cos (sin =+=x x ； …………………4分 （2）因为a + b )2,cos (sin x x +=，

所以m x m x x x f ++=+++=52sin 4)cos (sin )(2

， ……………6分 因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，

即m x m x ---=++-52sin 5)2sin(，解得5-=m ． ……………8分 注：由)(x f 为奇函数，得0)0(=f ，解得5-=m 同样给分．

20．解：（1）211+==a S a ， ……………………1分 由212a a S +=，得22=a ， ……………………2分 由3213a a a S ++=，得43=a ； …………………3分

（2）因为21+=a a ，当2≥n 时，1

12--=-=n n n n S S a ，

又{n a }为等比数列，所以11=a ，即12=+a ，得1-=a ， …………5分

故1

2-=n n a ； …………………………………6分 （3）因为12-=n n a ，所以3242)(2-?-?=n

n n f λλ， ………………7分

令n

t 2=，则2≥t ，34)2(34)(2

2---=-?-?=λλλλt t t n f ，

设34)2()(2

---=λλt t g ，

当0=λ时，03)(<-=n f 恒成立， …………………8分

当0>λ时，34)2()(2

---=λλt t g 对应的点在开口向上的抛物线上，所以0)(

当0<λ时，34)2()(2---=λλt t g 在2≥t 时有最大值34--λ，所以要使0)(

n 恒成立，只需034<--λ，即43->λ，此时04

3

<<-λ，

综上实数λ的取值范围为04

3

≤<-λ． …………………………10分

说明：解答题如有其它解法，酌情给分．