算数平方根的性质

1.根据算数平方根的意义可知，根号a具有非负性，即：（根号a≥0）

2.求一个正数的算数平方根，就是求平方等于这个正数的正的平方根

3.根号2是一个无限不循环小数，许多正有理数的算数平方根都是无理数

4.用有理数估计一个算数平方根大小的方法是利用与被开放数最接近完全平方数的倍数来估计这个被开放数的大小。

5.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或算术平方），求一个数a的平方根运算叫做开方

6.正数有2个平方根，它们互为相反数

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义

知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（） A.10<

2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（） A.2 B.-1 C.1 D.0

随堂巩固一、选择题. 1. 4的算术平方根是（） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与最接近的是（） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ；（2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0

实数,平方根等知识

实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。例1. （1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。例2. （1）下列说法正确的是（） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±；（ D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是。

课题：平方根和算术平方根

课题：平方根和算术平方根知识梳理 1、什么叫做平方根？如果一个数的平方等于9，这个数是几？ ±3是9的平方根；9的平方根是±3。一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 4的平方根是；149 的平方根是。的平方根是0.81。如果225x =，那么x = 。2的平方根是？ 2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”. 9±表示，9±= 。 2的平方根是；如果22x =，那么x = 。 3、平方根的性性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方。 4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。 5、算术平方根的性质： ⑴ 0a ≥；a 中被开方数0a ≥。 ⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a 【基础知识检测】（满分50分）选择（3分×10=30分）

1、下列说法： ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 2的算术平方根是a ；④（π－4）2的算术平方根不可能是负数；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列说法正确的是（） A 、的平方根是±2 B 、－a 2一定没有平方根 C 、0.9的平方根是±0.3 D 、a 2+1一定有平方根 3、下列各数中：0，（—3）2，—（—9），—︱—4︱，3.14-π，x 2-1,有平方根的数有（） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 4、下列语句正确的是（） A 、－9的平方根是－3 B 、9的平方根是3 C 、9的算术平方根是－3 D 、9的算术平方根是3 5、下列语句正确的是（） A 、1的平方根是1 B 、－4的平方根是±2 C 、（－2）2的平方根是±2 D 、0没有平方根 6、下列说法不正确的是（） A 、0的平方根是0 B 、非负数的平方根互为相反数 C 、－22的平方根是±2 D 、一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 7、下列说法正确的是（） A 、绝对值等于它本身的只有0 B 、倒数等于它本身的只有1 C 、相反数等于它本身的只有0 D 、算术平方根等于它本身的只有1 8、2(5)-平方根为（） A ．－5 B. 5 C. 5± D. 无意义 9、下列各式正确的是（） A 、 B 、 C 、 D 、 10、能使有意义的数a 有（） A 、1个 B 、2个 C 、无数个 D 、不存在 255=2(3)3-=-366±=±10010 -=2a -4

平方根与算术平方根

平方根与算术平方根 1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3. 2.算数平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是 3.即39=. 3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根. 4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数 4.平方根与算术平方根的区别与联系 1、联系： (1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 2、区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a . (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。练习 1．9的平方根是（） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．3 2．下列说法中正确的是（） A ．任何数都有平方根 B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身 C ．只有正数才有算术平方根 D ．不是正数没有平方根 3．下列各式正确的是（） A ．169 1=45 B ．414=22 1 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（） A.5是25的算术平方根 B.±4是16的算术平方根 C.－6是（－6）2的算术平方根 D.0.01是0.1的算术平方根 5．下列各式无意义的是（） A ．－5 B ．25- C ．51 - D ．2 )5(- 6．3－2的算术平方根是（） A ．61 B ．31 C ．3 D ．6 7．（－23）2的平方根是（） A ．±8 B ．8 C ．－8 D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．非正数 9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（） A.n +1 B.n 2+1 C.12 +n D.n +1 10．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：

(完整版)平方根与立方根典型题

(完整版)平方根与立方根典型题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要 1. 平方根、算术平方根的概念与性质 2=），那么这个数x就叫做a的平方根（或二如果一个数x的平方等于a（即x a =±，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即a≥0；例次方根），记作：x a 如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为() a a≥0，例如16的算术平方 =，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a≥0；② 根是164 a≥0。 2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同； ②个数不同； ③表示方法不同； ④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。联系：①它们之间具有包含关系； ②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数； ③0的平方根以及算术平方根均为0。 3. 立方根的定义与性质

3=），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次如果一个数x的立方等于a（即x a =3。方根），记作：x a 立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。二、解题中常见的错误剖析例1.求()-32的平方根。 2 错解：() -= 39 () ∴-32的平方根是-3 2是一个正数，故它的剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-= 39 平方根应有两个即±3。例2. 求9的算术平方根。 2= 错解： 39 ∴9的算术平方根是3 剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。 93 =，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。仿此你能给出64的平方根的结果吗？

平方根和算术平方根

平方根和算术平方根 1、什么叫做平方根如果一个数的平方等于9，这个数是几 ±3是9的平方根；9的平方根是±3。一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 4的平方根是； 1 49 的平方根是。的平方根是。如果225x =，那么x = 。2的平方根是 2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a - ”。：这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”. 表示，= 。 2的平方根是；如果22x =，那么x = 。 3、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方。 4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；》 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。 5、算术平方根的性质：（双重非负性） ⑴0≥0a ≥。 ⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a

二、【题型分类讲解】题型一、求平方根 1、36的平方根是； 2、的算术平方根是； 3、下列计算正确的是（） : A ．4=±2 B．2(9)81-==9 C.636=± D.992-=- 4、下列说法中正确的有。 ①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根； ③的平方根是； ④ 的算术平方根是； ⑤ 的平方根是-6 ⑥ 5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是； 616平方根是； 25 的平方根是___，4的算术平方根是_____， 7、2)8(-= ；2 )8(= ；若72=x ，则=x _____。 8、2 2)4(+x 的算术平方根是（） A 、 4 2 )4(+x B 、2 2 )4(+x C 、42 +x D 、42+x 9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（） " A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 10、若9,42 2 ==b a ，且0

数的开方知识点

平方根与立方根知识点 1平方根： (1)定义：如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a的平方根，a叫做被开方数 (2)开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 (3)平方根的性质：A 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 (4)平方根的表示：一个正数 a的正的平方根，用符号"”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“—寸疣？？'表示，a的平方根合起来记作“士诟” ？?，其中“旷” ？?卖作“二次根号”，“刼”读作“二次根号下 a?” ？?.当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“二‘ ”读作“正、负根号a” . (5)算术平方根：注： 1)算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2)若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有 0,算术平方根等于本身的数有 0、1. 2•平方根说明：平方根有三种表示形式：土Q a，彳a ,—时a , 它们的意义分别是 :非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数 a的负平方根。要特别注意：a工± a。 3.算术平方根性质：算术平方根、.a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a> 0. ②算术平方根、a本身是非负数，即、.a > 0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： 2、立方根： 1.(1 )定义：如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a的立方根，a叫做被开立方数 (2)开立方：求一个数 a的立方根的运算叫做开平方。

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法,即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分,一般采用估算法〔估算到个位；确定其小数部分的方法是：首先

确实其整数部分,然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-= m ,那么m 的取值范围是〔 A.10<

也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与,则a 的值为〔 A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固一、选择题. 1. 4的算术平方根是〔 A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说法正确的是〔 A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中,与最接近的是〔 A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在〔 A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是〔 A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是〔 A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ,3=b ,则a+b 的值是〔 A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：〔14 1 2 =；〔2 =. 2.大于2且小于5的整数是. 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ,则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数,且n m <<11,则n m +=. 三、解答题 1.求下列各式的值. 〔1225 〔20004.0- <3>4 1 12 ± <4>()21.0-- 3004 .0

数的开方知识点

平方根与立方根知识点 1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”， “”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. （5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零 3a （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等； 2）立方根等于本身的数有0、1、-1.

数的开方知识点

数的开方知识点 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a 本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的 3a 立方根是零（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a≥0,b>0）。 6．开方运算：

平方根与算术平方根

课题平方根与算术平方根【学习目标】掌握平方根和算术平方根的概念、性质及其灵活应用【重点难点】重点：平方根和算术平方根的概念和性质难点：平方根和算术平方根的区别和联系【学习过程】记笔记内容： 1.平方根的定义：如果一个数x的平方等于 a，即 2 x a =，那么x叫做a的平方根,或二次方根。表示为a ±，（读作“正负根号a”）。 2.平方根的性质：（1）正数 a有两个平方根，他们互为相反数。（2）0的平方根是0. （3）负数没有平方根.即 a＜0时，a没有意义（因为任何实数的平方都为非负数---两数

相乘，同号得正）. 3.算术平方根定义：一个正数a 的正平方根就是它的算术平方根。 4.算数平方根的性质：除具有平方根的性质外，特别具有双重非负性。 ( ()0,0≥≥a a ) 3、记忆 141112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 一、平方根的概念： 1、填空： 92=（） 25.02=（） 1625 2=（） 2、定义：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么x 叫做a 的平方根,或二次方根. 3、表示方法：

一个正数a 的正平方根，用” “a 表示，（读作“根号a ”）负平方根，用” “a -表示，（读作“负根号a ”）合起来，一个正数a 的平方根，就用” “a ±表示，（读作“正负根号a ”）例1、、求一个数的平方根运算--开平方（1）-25 9；（2）-0.0001；（3）()0.490.64- 1.44 参考答案： 53 -= =01.0- =28.0 步骤：因为25 953 2=）（，所以259的算术平方根是53，即53259=，从而， 5 3-259-= 练习1、（4）()16100121-；（5）()16919681+÷. 参考答案： =4- =3 4、性质：（1）正数a 有两个平方根，它们互为相反数. （2）0的平方根是0. （4）负数没有平方根.即a ＜0时，a 没有意义（因为任何实数的平方都为非负数---两数相乘，同号得正）. 二、算术平方根的定义及表示方法