中南大学高等数学问题详解
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学(专科)
一、填空题： 1.函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。
2.若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62
-x 3.sin lim
x x x
x
→∞-= 。
答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4.已知22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，
又由234
12lim 2lim 22
22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)
1)((lim
0x a x b
e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a
b
e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数?????
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01
sin
lim 00
==+=+-→→f x x
x x x
所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，
又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()
=+1n y
(1)!n +
8.2
)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 答案：2
)12(+x 或1442
++x x 9.
函数22ln(1)
x y z
--=
的定义域为 。
解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
???
????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ? 的定义域为：{
10|),(22<+ 10.已知2 2 ),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f . 解：令x y u +=，x y v -=，则,22 u v u v x y +-= =，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4 222),(22v u u u v u v u v u f -=-+= ，22(,)()4x f x y x y =- 11.设22),(y x x xy y x f ++ =,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+= 20 00(,1)(0,1) 1(0,1)lim lim 2x x x x x f x f x f x x ?→?→??+ -?-?+'===?? 0 0(0,1)(0,1)00 (0,1)lim lim 0y y y f y f f y y ?→?→?+--'===??。 12.设,,cos ,sin 3 2 t y t x y x z ==+=则t z d d ＝ 。 解：22sin 3cos dz x t t y dt =-+ 13. =?? dx x f d d dx d )( 。 解：由导数与积分互为逆运算得， )()(x f dx x f d d dx d =?? 。 14.设)(x f 是连续函数，且 x dt t f x =? -1 3)(，则=)7(f 。 解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713 =-x ，得2=x ，所以12 131)7(2 2 = = =x x f . 15.若 2 1 d e 0 = ? ∞ +-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 210 0kx k x b kx b kx --==??-+∞→∞+- k k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→ ∴2=k 16.设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ， 其中,:2 22a y x D ≤+则f(x,y)=______. 解：.4 44 2 x a y π+ 记??= D d y x f A σ),(，则2 ),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：????+= D D d y Axd A σσ2 ，其 中??=D xd A 0σ（由对称性） ，????= =a D a d d d y 0 4 2 3 20 2.4 sin πρ?ρ?σπ 即 4 4 a A π= ，所以，.4 ),(4 2 x a y y x f π+ = 17.求曲线2 ,42 2ay x ax y = =所围成图形的面积为 ，（a>0） 解：22 3 a 18. ∑ ∞ =--1 2 2212n n n x n ； 解：令2 x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数 ∑∞ =--1 1 212n n n y n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11 =+-=+?-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222<≤?<<-x y ， 故22< <-x . 当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞ =-1)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为 )2,2(-. 19.()02 ='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为3 21121?? ? ??-=x y 。 20.微分方程03='-''y y 的通解为x e c c y 321+=. 21.微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c e y x 2sin 2cos 213+=-。 22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |= . 答案：() 3 1 1n - 23.1 11 1 11 1 1 x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2; 24.f (x )= 是 次多项式，其一次项的系数是 。 解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。 25.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 26.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = . 解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B ) ∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6 27.A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= . 解：A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8 28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 . 解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标 可表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++) =P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36 29.已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝ ； P （A B －）＝ ； 解：P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9 P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3 30.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 . 解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)( 二、单项选择题： 1.函数)1,0(1 1 )(≠>+-=a a a a x x f x x （ ） A.是奇函数 B.是偶函数； C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )(1 1 )1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 2.若函数2 2 1 )1(x x x x f + =+，则=)(x f （ ） A.2 x B. 22 -x C.2 )1(-x D.12 -x 解：因为2)1(212122 2 22 -+=-++=+ x x x x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2 -=x x f ，故选项B 正确。 3.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 解：由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D 4.已知0)1 ( lim 2 =--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ ） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a 解：()()01 1lim )1( lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C 5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e 1x x , ()→∞ B. sin ,()x x x →∞； C.ln(),()11+→x x D. x x x +-→11 0,() 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sin lim =∞→x x x 而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。 6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ） (A))(1 sin ∞→=x x x y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1 cos 1→= x x x y 解：111 sin lim 1sin lim ==∞→∞ →x x x x x x ,故不选(A)。取12+=k m ,则()0121 lim lim 1=+=∞→-∞→k n k n n , 故不选(B)。取2 1π π+ = n x n , 则01 cos 1lim =∞ →n n n x x ,故不选(D)。答案：C 7.设????? ≤>=0 ,0 ,1sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导 解：（B ） 0lim )(lim 0 ==--→→x x f x x ，01 sin lim )(lim 0 ==++→→x x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续 x x x x x f x f f x x x 1sin lim 00 1 sin lim 0 ) 0()(lim )0(000 ++ + →→→+=--=--='，此极限不存在 从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在 8.曲线x x y -=3 在点（1，0）处的切线是（ ）． A.22-=x y B.22+-=x y C.22+=x y D.22--=x y 解：由导数的定义和它的几何意义可知， 1 3)()1(=' -='x x x y 2) 13(1 2=-==x x 是曲线x x y -=3 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 )1(20-=-x y ，即22-=x y 正确答案：A 1 ---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封 线………… 一、填空题（每小题3分，总计15分） 1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为 （ ） 2、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（ ） 3、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ） 4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分 为（ ） 5、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（ ） 2 3分，总计15分） =1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ） 152=z ； （B ）15 42 22=+-z y x ； 152=z ； （D ）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（ ） 2f y x ???； （B ）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； (D) 以上都不对 其中D 由2 y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = xydy ； （B ）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx xydy （D ）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （B ）; （C ; （D ）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）. （B ）12y y -也是方程的解 （D ）122y y -也是方程的解 《高等数学》课程复习资料 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim x x x x →∞-=______。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a ______，=b ______。 6.函数?????≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =______。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y ______。 8.2)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。 9.函数) 1ln(4222 y x y x z ---=的定义域为______。 10.已知2 2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。 11.设2 2),(y x x xy y x f ++ =，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。 12.设2 3 sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则 t z d d ＝______。 13. =?? dx x f d d dx d )(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =? -1 3)(，则=)7(f ______。 15.若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ， 其中,:2 22a y x D ≤+则f(x,y)=______。 -- ○○ ○○ ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封 线………… 一、填空题（每小题分，总计分） 、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为 （ ） 、曲面4222 2 -+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为 （ ） 、设Ω是由曲面2 2 z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ） 、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分 为（ ） 、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（ ） -- =1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ） 152=z ； （）15 42 22=+-z y x ； 152=z ； （）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（ ） 2f y x ???； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx （）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）. （）12y y -也是方程的解 （）122y y -也是方程的解 中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 中南大学2002级高等数学下册 一、填空题（4*6） 1、已知=-=+),(,),(2 2y x f y x x y y x f 则（）。 2、设=???=y x z x y arctg z 2,则（）。 3、设D 是圆形闭区域：)0(2222b a b y x a <<≤+≤，则=+??σd y x D 22（）。 4、设L 为圆周122=+y x 上从点），（到经01-)1,0()0,1(B E A 的曲线段，则=?dy e L y 2 （）。 5、幂级数∑∞ =-1)5(n n n x 的收敛区间为（）。 6、微分方程06'''=-+y y y 的通解为（）。 二、解下列各题（7*6） 1、求)()()cos(1lim 2222220 0y x tg y x y x y x +++-→→。 2、设y x e z 23+=，而dt dz t y t x 求,,cos 2==。 3、设),(2 2 y x xy f z =，f 具有二阶连续偏导数，求dt dz 。 4、计算}10,10|),{(,||2≤≤≤≤=-??y x y x D d x y D 其中σ。 5、计算?++-L y x xdy ydx 22，L 为1||||=+y x 所围成的边界，L 的方向为逆时针方向。 6、求微分方程2''')(12y yy +=满足1)0()0('==y y 的特解。 三、（10分） 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体。 四、（10分） 计算??∑ ++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，其法向量与z 、z 轴正向的夹角为锐角。 五、（10分） 中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学 一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(π y . 3． 极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 12 -+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(2 2y z y z x ?=+，其中?可微，则 y z ??= 。 7.设2 e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 2 2),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=? xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若 21 d e 0 = ?∞ +-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(2 2 15.设D 由22 ,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则 (),D f x y d σ??在直角坐标系下的 中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答 案 《高等数学》（专科） 一、填空题 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 单选题 1. 函数在点处（）． (A) 有定义 且有极 限 (B) 无定义 但有极 限 (C) 有定义 但无极 限 (D) 无定义 且无极 限 参考答案： (B) 2. 下列无穷积分中收敛的是()。 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 3. 若 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 4. 设 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 5. 设函数处（） (A) 极限不 存在； (B) 极限存在 但不连续 (C) 连续但不 可导； (D) 可 导 参考答案：(C) 6. 设函数 (A) (B) (C) (D) ｘ 参考答案：(C) 7. 已知 (A) 1 (B) 任意实数(C) 0.6 (D) -0.6 参考答案： (D) 8. 当 (A) 不取极值 (B) 取极大值 (C) 取极小值 (D) 取极大值 参考答案： (B) 9. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 10. 处的值为（） (A) (B) (C) (D) 1 参考答案： (C) 11. 设其中 的大小关系时（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (A) 12. 设则 (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 参考答案： (A) 13. 若函数 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (B) 14. 下列极限存在的是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (D) 15. 函数 (A) 是奇 函数 (B) 是偶 函数 (C) 既奇函数 又是偶函 数 (D) 是非奇 非偶函 数 参考答案： 中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案 《高等数学》（专科） 一、填空题 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 (一) 单选题 1. 已 知 (A) 1 (B) 任 意实 数 (C) 0.6 (D) -0.6 难度：中 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 2. 下列说法正确的是（） (A) 若 可导 (B) 若不连续 (C) 若极限不存在 (D) 若不可导 难度：中 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 3. 设 (A) 1 (B) 2 (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 4. 函数在点处（）． (A) 有 定 义 且 有 极 限 (B) 无 定 义 但 有 极 限 (C) 有 定 义 但 无 极 限 (D) 无 定 义 且 无 极 限 难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 5. 下列函数中，（） 不是基本初等函 数． (A) (B) (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：D得分： 0.0 6. 若 在 为（）. (A) 上升的凸弧 (B) 下降的凸弧 (C) 上升的凹弧 (D) 下降的凹弧 难度：易 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 7. 设 函 数 (A) 单调减函数 (B) 有界函 数 (C) 偶函数 (D) 周期函 数 难度：易 分值：4.0 参考答案：C 学生答案：C 得分： 4.0 8. 设 记 ，则有（）. (A) (B) (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 9. 函 数 (A) 是 奇 函 数 (B) 是 偶 函 数 (C) 既 奇 函 数 又 是 偶 函 数 (D) 是 非 奇 非 偶 函 数 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 10. 函 数处（） (A) 不 取 极 值 (B) 取 极 小 值 (C) 取 极 大 值 (D) 是 否 取 极 值 与a 有 关 难度：易分值：4.0参考答案：A学生答案：A得分： 4.0 单选题 1. 设个电子管的寿命独立同分布，且 ，则个电子管的平均寿命的方差（） (A) A (B) 0.1A (C) 0.2A (D) 10A 参考答案： (B) 2. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示选出的学生是男生，B表示选出的学生 是三年级学生，C表示选出的学生是篮球运动员，则ABC的含义是（） (A) 选出的学生是三年级男生； (B) 选出的学生是三年级男子篮球运动员； (C) 选出的学生是男子篮球运动员； (D) 选出的学生是三年级篮球运动员； 参考答案： (B) 3. X的分布函数为。 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (A) 4. 设随机变量X服从正态分布，则下列函数中，可以是X的密度函数的是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (B) 5. 设随机变量，则随机变量U与V 必然（）。 (A) 不独 立 (B) 独 立 (C) 相关系数 不为零 (D) 相关系 数为零 参考答案： (D) 6. 设随机变量。 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 参考答案： (C) 7. 设随机变量X的分布函数为则 （） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 8. 设随机变量X服从参数为 且 (A) 5/27 (B) 7/27 (C) 8/27 (D) 10/27 参考答案： (C) 9. 设随机变量 服从() (A) (B) (C) (D) 参考答案： (D) 10. 设相互独立的随机变量X ，Y 具有同一分布，且X 的分布律为 ， ，则下列式子中正确的是（ ） (A) X=Y (B) P{X=Y}=1 (C) P{X=Y}=1/2 (D) P{X=Y}=5/9 参考答案： (D) 11. 设X 是连续型随机变量，X 的密度函数为 ，则下列说法正确的是( ) (A) (B) 右连续但不一定左连续 (C) 是非负可积函数 (D) 处处可导 《大学数学》 （高起专） 学习中心： 专业： 学号： 姓名： 完成时间： 第一章函数作业（练习一） 一、填空题: 1.函数x x x f -+-=5) 2ln(1)(的定义域是_]5,3()3,2( 2.函数392--= x x y 的定义域为),3(]3,(+∞?--∞ 3.已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4.函数1142-+ -=x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 5.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x 二、单项选择题： 1.若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是 ［ C ］ A .),0(∞+ B .),1[∞+ C .]e ,1[ D .]1,0[ 2.函数x y πsin ln =的值域是 ［ D ］ A .]1,1[- B .]1,0[ C .)0,(-∞ D .]0,(-∞ 3.设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -?是 ［ C ］ A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数 4.函数)1,0(1 1)(≠>+-=a a a a x x f x x ［ B ］ A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 5.若函数221)1(x x x x f + =+，则=)(x f ［ B ］ A.2x B.22-x C.2)1(-x D.12 -x 6.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f = ［ D ］ A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 《高等数学》作业参考答案第一章函数作业（练习一）一、填空题: 1函数的定义域是________。 解：对函数的第一项，要求且，即且；对函数的第二项，要求，即。取公共部分，得函数定义域为。函数的定义域为________。 22有意义，必须满足且，即成立，解不等 式方程解：要使或，故 得出函数的定义域为。组，得出已知，则的定义域为________。解：令, 则, 即故的定义域为 1函数的定义域是________。解：若函数，则________。解：二、单项选择题：若函数的定义域是[0，1]，则的定义域是 ［ C ］ 函数的值域是［ D ］ 设 函数的定义域是全体实数，则函数是［ C ］ A.单调减函数B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数解：A、B、D三个选项都不一定满足。 1 x设，则对任意有 F(x)即是偶函 数，故选项C正确。 4.函数 ［ B ］ A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶 函数 D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B 正确。 5. 若 函 数 ， 则 ［ B ］ x A. B. C. D.。 解：因为 所以 则，故选项B 正确。 6.设 ，则 = ［ D ］ A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 解：由 于， 得＝ 将代入 得= 7.下列 函数中，( )不是基本初等函数。 ［ B ］ 532 A ． B ． C ． D ． 解： 因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数。 8.设函数，则= ［ C ］ A ．= B ． 44 2 C ． D ．= 24 2 解：因为，故 且， 所以 9.若函数，则= ［ C ］ x A. B. C. D. 10. 下列函数中( )是偶函数. ［ B ］ 2 A. B. C. D. 三、解答题： (一) 单选题 1. 下列正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 难度：中 分值：4.0 参考答案：B 学生答案：B 得分： 4.0 2. 设 相互独立的（） (A) 充分 条 件 (B) 必要条 件 (C) 充要条 件 (D) 既不 充分又 不必要 难度：较难 分值：4.0 参考答案：C 学生答案：C 得分： 4.0 3. 掷两颗均 匀的骰子，事件点数之和为3的概率是（）. (A) (B) (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 4. 设X的分布律 为则 其分布函数为（） (A) (B) (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 5. 若离散型随机变量 (A) 1/9 (B) 1/10 (C) 1/11 (D) 1/12 难度：较难 分值：4.0 参考答案：B 学生答案：B 得分： 4.0 6. 设 随 机 变 量 必然（）。 (A) 不独立 (B) 独 立 (C) 相关 系数不为零 (D) 相关系数 为零 难度：较难 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 7. 设随机变量(X,Y)的分布密度函数 为 则 E(X)=（） (A) 1 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 0 难度：中 分值：4.0 参考答案：C 学生答案：C 得分： 4.0 8. 设 的分布函数，则下列是分布函数的为（）。 (A) (B) (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 9. 对任意二事件A,B，等式（）成立． (A) (B) (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：D学生答案：D得分： 4.0 10. 设分别为随机变量 是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值 中应取（） (A) (B) (C) (D) 难度：较难分值：4.0参考答案：A学生答案：A得分： 中南大学现代远程教育课程考试( 专科) 复习题及参考答案 《高等数学》 一、 填空题 1．函数1 142-+ -=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f , 则=)(x f ． 解. 62-x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案: 1 正确解法: 101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞ →x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 222=--++→x x b ax x x , 则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x , 则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数 ????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解: 由)(x f 是分段函数, 0=x 是)(x f 的分段点, 考虑函数在 0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01sin lim 00==+=+ - →→f x x x x x 因此函数)(x f 在0=x 处是间断的, 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的, 故函数)(x f 的间断点是 0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()=+1n y (1)!n + 8．2)(x x f =, 则__________)1)((=+'x f f 。 答案: 2)12(+x 或1442++x x 9．函数) 1ln(4222 y x y x z ---=的定义域为 。 解: 函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。 ??? ????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ? 的定义域为: { 10|),(22<+ 中南大学高等数学答 案 中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62-x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， (一) 单选题 1. ,则必有() (A) (B) (C) (D) 难度：较难分值：4.0参考答案：D学生答案：A得分： 0.0 2. 微分方程 的 通解为（） (A) (B) (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：D学生答案：D得分： 4.0 3. M为n阶方阵， 的一个特征值为(). (A) 1 (B) 1/2 (C) 2 (D) 0 难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：A得分： 0.0 4. 设线性方程组有唯一解，则相应 的齐次方程组（）． (A) 无 解 (B) 有 非 解 (C) 只 有 解 (D) 解 不 能 确 定 难度：中分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 5. 设齐次线性方程 组 的系数矩阵记为A，若存 在3阶非零矩阵B，使 AB=0，则（） (A) (B) (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 6. 线性方程组满足结论（）． (A) 可 能 无 解 (B) 只 有 解 (C) 有 非 解 (D) 一 定 有 解 难度：中分值：4.0参考答案：D学生答案：D得分： 4.0 7. 设A、B均为n阶方阵，则 必有（）. (A) (B) AB=BA (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 8. 要断言矩 阵A秩为 r,只须条 件()满足 即可. (A) A中有r 阶子式不为0; (B) A中任何r+1阶子式为0； (C) A中不为0的子式的阶数小于等于r; (D) A中 不 为0 的 子 式 的 最 高 阶 数 等 于 r. 难度：中分值：4.0参考答案：D学生答案：A得分： 0.0 中南大学网络菽宣课程考试.习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1 .函数y = V X2-4+—的定义域是> ? n ------------------------ 解：(—°o, — 2] IJ [2, 4- oo) o 2.若函数/(x +1)=尸 + 2x-5,则/(A)=. 解：%2 -6 -x - sin x 3. Inn --- = ________________ o IF x 答案：1 T涂做】?工-sinx sinx sinx 正确解法：lim ----- = lim(1 一) = lun 1 一lim = 1-0 = 1 A—X I—R X-V—V—X x2 +ax + b c n. f 4.己知lim —s -- = 2 ,贝ij。= _ , b = _____ o —x^-x-2 由所给极限存在知，4 + + /? = 0,得/? = —2。— 4, 一— x2 +ax + b .? x + a + 2 a + 4、L 又由lim —；-- = lim ------ = ---- = 2 , 知“ =2, Z? = —8 12尤_一工_2 I A +1 3 5.己知lim ------- = oo ,则a = ___ , b = ____ 。 D (工一")(工一1) 「” —" nnr (x —")(* —1) “ n . n z , t Inn -------- = s , 即lim -------- = ---- = 0 , ? ? " = 0,。= 1 1。(x — a)(x— 1) 5 e x -b 1 -h .1 6 .函数f(x) = ASin 7 A 《高等数学》作业参考答案 第一章 函数作业（练习一） 一、填空题: 1.函数x x x f -+-= 5) 2ln(1 )(的定义域是________。 解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求 05≥-x ，即5≤x 。取公共部分，得函数定义域为]5,3()3,2( 。 2.函数3 9 2--= x x y 的定义域为________。 解：要使392--= x x y 有意义，必须满足092 ≥-x 且03>-x ，即???>≥33x x 成立，解不等式方程 组，得出? ? ?>-≤≥33 3x x x 或，故得出函数的定义域为),3(]3,(+∞?--∞。 3.已知1)1(2 +=-x e f x ，则)(x f 的定义域为________。 解：令u e x =-1, 则()u x +=1ln , (),11ln )(2++=∴u u f 即(),11ln )(2++=∴x x f 故)(x f 的定义域为()+∞-,1 4.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是________。 解：),2[]2,(∞+--∞ 5.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ________。 解：62 -x 二、单项选择题： 1.若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是 ［ C ］ A .),0(∞+ B .),1[∞+ C .]e ,1[ D .]1,0[ 2.函数x y πsin ln =的值域是 ［ D ］ A .]1,1[- B .]1,0[ C .)0,(-∞ D .]0,(-∞ 3.设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -?是 ［ C ］ A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数 解：A 、B 、D 三个选项都不一定满足。中南大学2015高等数学下期末题及答案
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