初三《圆》知识点及定理

《圆》知识点及定理

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

２、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；

（补充）２、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线)；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

５、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内?d r

２、点在圆上?d r

=?点B在圆上;

3、点在圆外?d r

>?点A在圆外;

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离?d r

>?无交点；

2、直线与圆相切?d r

=?有一个交点;

３、直线与圆相交?d r

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）?无交点?d R r

>+;

外切(图２)?有一个交点?d R r

=+；

相交（图3）?有两个交点?R r d R r

-<<+；

内切(图4)?有一个交点?d R r

=-;

内含（图５）?无交点?d R r

<-；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论

1:(1）平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

(2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;

(3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中

2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②AB CD

⊥③CE DE

=④弧BC=弧BD⑤弧

AC=弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

A

图4

图5

D

--

--

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,

只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD

七、圆周角定理

１、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：

推论１：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；

即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中, ∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠

九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2)性质定理:切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理:

即：①过圆心;②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠

十一、圆幂定理

（1)相交弦定理:圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ?=?

B

A

B

A

O

D

(2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例

中项。

即：在⊙O中，∵直径AB CD

⊥，

∴2

CE AE BE

=?

（3）切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,

切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比

例中项。

即：在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线

∴2

PA

PC PB

=?

（４）割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线

段长的积相等(如上图）

。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线

∴PC PB PD PE

?=?

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆

的的公共弦。

如图：

12

O O垂直平分AB。

即：∵⊙

1

O、⊙

2

O相交于A、B两点

∴

12

O O垂直平分AB

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式:

（１)公切线长:

12

Rt O O C

?

中,22

1

AB CO

==

(2）外公切线长：

2

CO是半径之差；内公切线长:

2

CO是半

径之和。

十四、圆内正多边形的计算

(1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD

?中进

行:::2

OD BD OB=;

(2)正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE

?中进

行,::

OE AE OA=

（3)正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB

?中进行，

::2

AB OB OA=．

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

１、扇形：（1）弧长公式:

180

n R

l

π

=;

(２）扇形面积公式：

21

3602

n R

S lR

π

==

n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2

S S S

=+

侧

表底

＝2

22

rh r

ππ

+

（2)圆柱的体积:2

V r h

π

=

l

O

C1

D1

--

（2）圆锥侧面展开图

(1）S S S =+侧表底＝2

Rr r ππ+

（２）圆锥的体积：2

1

3

V r h π= 十六、圆中常见的辅助线

１）.作半径,利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3)．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算. ４)．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角． 5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. ６)．遇到切线,作过切点的弦，构造弦切角． 7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.

８).欲证直线为圆的切线时，分两种情况:（1)若知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径.

9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.

10）.遇到三角形的内心，常作:(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆,常作:（1)公共弦；(２)连心线. 12）.遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

1３）.求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

十七、圆中较特殊的辅助线

1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． ２）．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆.

例1如图2３-１1，CA 为⊙O 的切线，切点为A,点B 在⊙O 上,如果∠CAB ＝55°，那么∠AO Ｂ等于（ ) Ａ.35°?Ｂ．90° C ．110°

D.1２0°

例2 如果圆柱的底面半径为4c ｍ,母线长为5cm ，那么侧面积等于( ) A ．

B ．

C ．

D ．

例３ 如图23－１2,在半径为4的⊙O 中，AB 、ＣD 是两条直径,Ｍ为OB 的中点，延长CM 交⊙O 于E,且ＥM>MC ，连结OE 、DE ，

.

求：EM 的长．

例４如图23－13，AB 是⊙O 的直径,PB 切⊙O 于点Ｂ,PA 交⊙O 于点C,PF 分别交AB 、B Ｃ于E 、D,交⊙Ｏ于F 、Ｇ，且BE 、BD 恰好是关于x 的方程(其中m 为实数)

的两根．

(1）求证：BE ＝B Ｄ； （2）若

，求∠A 的度数．