苏教版高中数学必修四任意角的三角函数教案

第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。

3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法

1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；

3.通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

三、情感、态度与价值观

1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；

2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】：

重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题

用),(αr 与用坐标),(y x 均可表示圆周上点P ，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说，

● 用怎样的数学模型刻画),(y x 与),(αr 之间的关系？

二、研探新知 1.三角函数的定义

【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是

)0(22>+=y x r r 。当α为锐角时，过P 作x PM ⊥轴，垂足为M ，在OPM Rt ?中，

sin y r α=

,cos x r α=,tan y x

α= ● 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？

一般地，对任意角α，我们规定：

（1）比值

y

r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；

（2）比值x

r

叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；

（3）比值y

x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；

【说明】：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及

α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，

所以tan y

x

α=

无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值

y r 、x r 、y

x

、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函

数。

2.三角函数的定义域、值域：

函 数

定 义 域

值 域

sin y α=

R [1,1]- cos y α= R

[1,1]-

tan y α=

{|,}2

k k Z π

ααπ≠

+∈

R

【注意】：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.

(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与OX 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其它三角函数也是这样 (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值

y

r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x

r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

【说明】：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 y y y

+ + - + - + O x O x O x

- - - + + -

sin α αcsc cos α αsec tan α αcot 记忆法则：一全二正弦，三切四余弦

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （教材14P 例1）已知角α的终边经过点()2,3P -，求α的正弦、余弦、正切值

解：因为2,3x y ==-，所以r =

=于是sin

13y r α=

==-

；

cos

13x r α=

==

；3tan 2y x α==-； 【举一反三】

1.变式：若将()2,3P -变为()2,3P a a -，情况又如何？

2.α角终边上一点),3(n P ，且5

4

sin =α，则n 等于_____ 3.已知角α的终边上一点)0)(3,4(≠-m m m P ，则ααcos sin 2+的值为（ ）

.A 1或1- .

B 52或52- .

C 1或5

2- .D 1-或52 4.（1）已知角θ的终边上一点)12,5(a a P ，且00270180,0<<≠θa ，求角θ的四个三角函数值；（2）已知角α的终边在直线x y 2=上，求角α的四个三角函数值。 例2 （教材14P 例2）确定下列三角函数的符号：（1）π127

cos

；

（2）)465sin(0-；（3）π3

11tan 【举一反三】

1.若4-=α，则0____cos α，0_____sin α（用“>”“<”“=”填空）

2.在ABC ?中，若0cos sin

3.设θ是第三象限角，且2

sin

|2

sin

|θ

θ

-=，则

2

θ

是第_____象限角 【触类旁通】

例1 （1）函数|sin |sin x x y -=的值域是_____

让学生学会学习

（2）求函数x x y sin lg cos +=的定义域 四、巩固深化，反馈矫正

1.已知角α的终边经过点)9,(m ，且4

3

tan =

α，则αsin 的值为______ 2.若角α的终边过点)30cos ,30(sin 00-，则αsin 等于_______

3.不求值，式子0

00

044cot 44tan 44sin 44cos --的值的符号是______

4.已知0)3

cos(=+

π

x ，则x 等于______

5.函数||1cos 2x x y +-=的定义域为______

6.为第二象限角，其终边上一点为，且，则的值为_____

7.确定下列各三角函数的符号

（1）____750sin 0 （2）____)1310cos(0- （3）____)30600tan('0 （4）___5

12

cot π 8.函数cos sin tan |cot ||sin |cos tan cot x x

x x y x x x x

=

+++

的值域为______ 9.已知1)2

3sin(2=-x π

，且π20<≤x ，则______=x

10.若0cos sin

（2）已知角α的终边经过点)3,(x ，且10

10

3sin =

α，求x 及αtan （3）已知角α的终边经过点)0)(4,3(≠x x x ，求αcos ,αtan

12.求2

cot

50tan 323sin 523cos 5tan 23cot

5cos 22sin

6ππππ

π

ππ

+---+-的值 五、归纳整理，整体认识

1．任意角的三角函数的定义；

2．三角函数的定义域、值域、符号。

3.数学思想方法：数形结合思想；类比法。 六、承上启下，留下悬念

让学生学会学习

1. 确定下列三角函数值的符号：

（1）cos 250o

； （2）sin()4

π-

； （3）tan(672)-o ； （4）11tan

3

π

． 2. 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°． 3. 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′ (2)49cos π （3）)6

11tan(π

-

4.求下列函数的定义域：（1）y = （2）2lg(34sin )y x =-

5.（1）求函数x x y cos sin -+=

的定义域

（2）已知x ∈（0，2π），求函数x x y tan sin +-=

的定义域

6.①设(),12P x -是角α终边上一点，如果12

sin 13

α=-

，求x

②设α为第二象限的角，P （x ）是其终边上一点，且cos α=，求sin α 7.（1）求函数x x y cos sin 1=

的定义域； (2)求函数x

x

y sin 1tan +=的定义域

(3)已知α是-360°到360°之间的角，则函数α

cos 1-=

y 的定义域

七、板书设计（略） 八、课后记：