极限的有界和局部有界性
第二章第十讲３.４. 2极限的有界性
第四节极限的性质（有界性）３.４.2 性质2
（数列极限的有界性）
有极限的数列是有界数列.
事实上：
注
] 第四节极限的性质（有界性）
性质2’（函数极限的局部有界性）
——若函数有极限，则在极限
过程下，函数是有界的。
.—
局部有界性
例1
N
例2
12-函数与极限习题与答案(选择题)
高等数学 一、选择题（共 191 小题，） 1、 下列函数中为奇函数的是 ； ； ； 答（ ） ()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x ==+== --2 2 4 22 π 2、 [][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是； ；； 答（ ） x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π22 3、 关于函数的单调性的正确判断是 当时，单调增；当时，单调减； 当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。 答（ ） y x A x y x B x y x C x y x x y x D x y x x y x =- ≠=-≠=-<=->=-<=- >=- 1010101010101()()()() 4、 答（ ） ；； ； 的是 下列函数中为非奇函数 7 373)( 1arccos )()1lg()( 1 2 12)(2 2 2 2 +--++= +=++ =+-= x x x x y D x x x y C x x y B y A x x 5、
函数 是 奇函数； 偶函数； 非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ） f x a x a x a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0 6、 f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是 有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。 答（ ） 7、 设，，，则此函数是 周期函数； Ｂ单调减函数；奇函数 偶函数。 答（ ） f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤?????3 3 0ππ 8、 设，，，则此函数是 奇函数； 偶函数；有界函数； 周期函数。 答（ ） f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤?????3330 02 9、 f x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333 23 2 在其定义域，上是 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为 的周期函数； 非周期函数。 答（ ） πππ 10、 f x x x A B C D ()cos()()()()()()= ++-∞+∞212 在定义域，上是 有界函数； 周期函数；奇函数； 偶函数。 答（ ）
单调有界
单调有界定理 2.4.3实数的连续性 实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。 定理2.4.3（单调有界定理）若数列{a n}单调增加且有上界，则数列{a n}收敛。 证明：我们不妨假设a n≥0，否则，存在某个有理数c>0，使a n′= a n+c≥0，从而由讨论数列{ a n}变为讨论数列{ a n′}。 由引理2.4.1知，数列{ a n}稳定于某个实数a＝，下面证明，a就 是数列{ a n}的极限。 ＞0，n0N，当n≥n0时，＜。由引理2.4.1知， 事实上， a n 0…，a n k…， 对于充分大的n0，当n＞n0时，有 a n＝， ︱a n-a︱=︱- ︱ ≤<， 即=a 推论4.1若数列｛a n｝单调减少（即a n≥a n+1），且有下界M（a n≥M），则数列｛a n｝收敛。 证明：令a n′＝-a n。由于a n≥a n+1且有下界M′，则可得a n′≥a n+1 ′且a n′≤M＝- M′，由 定理2.4.3知′＝a′。从而有= a = - a n′ 例1设a0＞0，b>0，a n＝（），n=1，2，…，证明数列｛a n｝收敛，并求其极限。 证明：不难看出，n N，有a n＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，有 a n＝（）≥（）＝b， 即数列｛a n｝有下界。 n N，有
a n+1-a n＝（）- a n＝（b-a n2）≤0， 即数列｛a n｝单调减少。 根据推论4.1，数列｛a n｝收敛，设＝a，由极限的单调性，有a≥>0。 对等式a n+1＝（）两端取极限得a=（a+），因a>0，得a=。 注4.4当b=2时，是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛a n｝ 收敛于无理数。 求极限的方法小结 阮正顺 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种： 一、利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。 例 1. 2. 二、利用两个重要极限 两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。 例 1.
2016考研高等数学函数与极限必背定理
2016考研高等数学函数与极限必背定理考研数学我们在学习的时候接触过很多定理和定义，这些定理和定义是我们学好高分的关键，这样我们才能够更好地解题，下面我们为大家带来了2016考研高等数学函数与极限必背定理，希望帮助大家高数的复习备考。 1、函数的有界性 在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限 定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系) 如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小; 定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则 两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
函数与极限练习题
第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln
高数 数学极限总结
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0)()()()()(0000lim x f x f x f x f x f x x ==?=+ -→)(x f 0x x →)()()(lim 0 00x f x f x f x x →+ -==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →
用单调有界原理证明确界存在定理
用单调有界原理证明确界存在定理 证明: 设E R ?是有上界的非空数集且M 是E 的上界，若max E 存在则s u p m a x E E =，现设max E 不存在，于是取0x E ∈，将区间0[,]x M 二等分，若右半区间包含E 的点，则取右半区间记作11[,]a b ，否则将左半区间记为11[,]a b ，于是11[,]a b 中含有E 的点，且1b 是E 的上界，如此下去得到闭区间[,]n n a b 中含有E 中的点n a 单调增加，n b 单调减少且 lim()0n n n b a →∞ -=. 数列{}n a 单调增加有上界，从而有极限ξ。于是lim n n b ξ→∞=， 而n b 是E 的上界lim n n b →∞是E 的上界，ξ∴是E 的上界, 0,N ε?>?当n N >时 n a ξε-<, 于是ξε-不是E 的上界sup E ξ∴= 证明：已知实数集A 非空。存在a 属于A,不妨设a 不是A 的上界，另外，知存在b 是A 的上界，记a1= a ，b1=b ，用a1 ，b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ，b1 ]，如果(a1+b1)/2属于B ，则取a2 =a1 ，b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ，则取a2 =（a1+b1)/2 ，b2 =b1 ；……如此继续下去，便得两串数列 。其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ），{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） 。由单调有界定理，知存在 r ，使liman = r (n-->无穷）。由 lim （bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷） 因为{bn}是A 的上界，所以对任意x 属于A ，有x<=bn （n=1，2，……）， 令n-->无穷 ，x<=lim(n-->无穷）bn = r 所以 r 是A 的上界。 而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r 知任意c>0知存在N ，当n>N 有r-c 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～ 第一章 实数和数列极限 第六节 单调有界原理与 闭区间套定理 我们知道，有界数列不一定收敛。我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。 在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。 一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递增数列； （2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列； （3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+ }{n a 是递增数列； （2）121211-+++=n n a ， *N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）! 1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。 （4）}1{n 是递减数列， }{2n 是递增数列， }1 {+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。 例 设21=x ，并定义 n n x x +=+21，*N n ∈ 则}{n x 是递增数列。 事实上 222+=x ，,,2223 ++=x 可以从中观察出来有 1321+<<<< 第一章：函数与极限 第一节：函数 1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。（重点在于单调性与奇偶性） 单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x ?<∈?单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈?>?)(,,0 无界性：M x f X x M >∈?>?)(,,0 奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。奇函数0点一定为0（重点） 周期性：)()(T x f x f +=，如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为a T 第二节：极限 1、数列极限 定义： εε<->>?>??=∞ →A x N n N A x n n n ,,0,0lim M x N n N M x n n n >>>?>??∞=∞ →,,0,0lim b y n n n ∞→（2、函数极限 定义： εε<->>?>??=∞ →a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当 εδδε<-<-<>?>??=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当 性质： 1) 唯一性，左极限等于右极限。 2) 局部有界性（重点）：极限存在，则某一空心邻域内有界（注意，一定是空心邻域，该点不一定存在） 3) 有序性：同数列极限 4) 局部保号性（重点）：0)(lim 0 >=→a x f x x ，则0)(>x f （空心邻域），同理小于也是。 运算性质： 同数列的运算性质，同时还有 )(lim )](lim[x f c x cf =，n n A x f =)](lim[ 数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨 利用单调有界准则的解题步骤 （1）由数列{}n u 的通项确定递推关系式：1()n n u f u += （2）利用递推关系式证明该数列单调增加（或减少）有上界（或下界）；再设 lim n n u A →∞ =（3）在递推关系式两边取极限得到关于未知数A 的方程1()n u f u +=n ()A f A = （4）解此方程求出符合题意的A 的值 （5）可先猜出（求出）数列的极限值，再用数列极限的N ε?定义证明该值即为的极限（对不单调的题，上面方法失效，但该法仍可行） n u n u 数列有界性和单调性的证明方法： （1）一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明 （2）判定数列单调性主要有三种方法 ①计算，若，则数列1n u u +?n 10n n u u +?≥{}n u 单调增加 若，则数列10n n u u +?≤{}n u 单调减少 ②当时，计算0n u >1n n u u +，若11n n u u +≥，则{}n u 单调增加 若 11n n u u +≤，则{}n u 单调减少 ③利用导数证明的单调性，则()(1)f x x ≥()n u f n =与()f x 有相同的单调性 （3）有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时调整证明次序（证明单调性时需用有界性，从而必先证明数列有界；或证明有界性时需用单调性，从而必先证明数列的单调性） 例 设数列{}n x 满足110,sin (1,2,n n x x x n )π+<<==" ①证明lim n n x →∞存在，并求该极限；②计算极限2 1 1lim n x n n n x x +→∞?????? 。 证明①用归纳法证明{}n x 单调减少且有下界： 由10x π<<得2110sin x x x π<=<< 设0n x π<<，则10sin n n n x x x π+<=<< 函数极限的存在准则 学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子： 例：符号函数为 对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。 定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当 时的左极限.记： 如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记： 注：只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限 函数极限的存在准则 准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有 ≤≤，且， 那末存在，且等于A 注：此准则也就是夹逼准则. 准则二：单调有界的函数必有极限. 注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限 一： 注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045... 二： 注：在此我们对这两个重要极限不加以证明. 注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们. 例题：求 解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞， 则 注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子： 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为 此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当 时，成立，则称函数当时为无穷大量。 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函 数当x→∞时是无穷大量，记为： 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量. 记作：(或) 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 本科生毕业论文（设计） 题目：单调有界定理及其应用 学生姓名： 学号： 专业班级： 指导教师： 完成时间： 2013年5月10日 目录 0 引言 (3) 1 单调有界定理的内容及其证明 (3) 2 单调有界定理的应用 (4) 2.1 定理在证明区间套定理中的应用 (4) 2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用 (5) 2.3定理在证明致密性定理中的应用 (6) 2.4定理在证明有限覆盖定理的应用 (6) 2.5定理在证明级数的敛散性的应用 (7) 3 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13) 【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之. 【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积. 【Abstarct】Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has extensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its applications in the real number completeness. For example, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number completeness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series , we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as comparable object for each other in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions. 【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable. 0.引言 在现行的《数学分析》教材中, 通常都把确界原理作为公理给出, 用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础, 先证单调有界定理, 用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在, 就要引用柯西准则, 但柯西准则的充分性证明, 却要放到很后的位置, 作为较难的问题专门处理, 与此相关的判别函数极限存在的柯西准则, 以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明, 也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技能，引导师范生开发技能. 1.单调有界定理的内容及其证明 高等数学 三、证明题（共 124 小题，） 1、)1 ()( , 5522)(22t f t f t t t t t f =+++=证明设。 2、 )1()()(,11ln )(yz z y f z f y f x x x f ++=++-=证明设).1,1(< {}{}{}反例。 ，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定： ， 都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x = 16、 n n n n n b n n n n n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞ →∞ →→∞ →++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ 17、 {}．收敛，并求极限，试证数列 ，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞ →+=-=∈lim )21(2)20(2 11ΛΛ 18、 ． 试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0 19、 0)(lim 0)(lim )()(0 0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在 20、 试证明不存在。limcos x x →01 21、 ． ，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0 0x g x f A A x g x f x x x x 22、 []． ，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0 0x g x f A x g x f x x x x 23、 ．是常数），试证明，时，设0) () (lim ()()(0 0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 24、 {}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列 25、 的某去心邻域，使得 试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0 x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f > 26、 第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义 域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？ 一 刘丽 01211209 （徐州师范大学 数学系 徐州221116） 摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列;极限;单调有界定理. 1 引言 求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题. 2 主要内容 本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明. 例[] 11 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设301<考研数学函数与极限部分定理定义汇总
极限计算方法总结(简洁版)
数分第一章第六节单调数列与单调有界原理
高等数学第一章：函数与极限
数列极限的几种求法
利用单调有界准则的解题步骤
函数极限的存在准则
单调有界定理及其应用
(完整版)14-函数与极限习题与答案(证明题)
第一章 函数与极限知识点
单调有界定理求极限