平面向量的加减法运算和数乘运算

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷 一、填空题 1、向量的两个要素是： 和 。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。 二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

平面向量数乘运算及其意义试题

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向

是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b =u u u r ，则 EF u u u r = （ ） A ．1()2 a b + B ．1()2 a b -+ C ．1()2 a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），

则AP u u u r = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．().AB B C λλ+∈u u u r u u u r C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ． ().(0,2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．

7.5平面向量的数乘运算-教学设计公开课

【课题】7.1.5平面向量的数乘运算 江夏职业技术学校吴婷 【教学目标】 （1）理解向量的数乘运算的定义 （2）掌握共线向量的基本定理 【教学重点】数乘运算的定义 【教学难点】对向量线性表示的理解和运用 【课时安排】2课时 【教学过程】 一、创设情境兴趣导入 观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 二、新授知识 1.数乘运算的定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa 大小：||||||a a λ=λ（7．3） a a a a O A B C

方向：若||λ≠a 0，则 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同， 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反． 一般地，有0a =0,λ0=0． 2.共线向量的基本定理：对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ?=a b a b ∥（7．4） 3.向量的数乘运算法则： ()()111a a a a ，　；=-=-()()()()2a a a ； λμλμμλ== ()()3a a a λμλμ+=+ ；()a b a b （4）．λλλ+=+ 4.向量的线性表示：一般地，λa ＋μb 叫做a ,b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如 果l ＝λa ＋μb ，则称l 可以用a ，b 线性表示． 5.向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 三、注意：向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． 四、巩固知识典型例题 例6在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ,b 表示向量AO 、OD ． 分析因为12AO AC =,12 OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .

平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算 知识点一：向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr ． ① a a λλ=r r ； ②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当 0λ=时，0a λ=r r ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③() a b a b λλλ+=+r r r r ． ⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r ． 知识点二：向量共线定理：向量 ( )0 a a ≠r r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ． 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ， 其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、() 0b b ≠r r r 共线． 知识点三：平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、 2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底） 知识点四：分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， () 22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++?? ?++?? ．（当 时，就为中点公式。）1=λ 知识点五：平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=r r r r ．②当a r 与b r 同向时， a b a b ?=r r r r ； 当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或a =r ．③ a b a b ?≤r r r r ． ⑶运算律：①a b b a ?=?r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ；③() a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r ．

平面向量加减法练习题(精.选)

向量概念加减法·基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥, b∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）

a b A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． a =“向东走4km ”,b =“向南走3km ”,则｜a +b ｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和 四边形法则） （2）b a

高三数学平面向量的概念及运算

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有

向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x y x a 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 零向量a ＝0 ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于 任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记

《平面向量的加法教案》

《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；

③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—

第二章平面向量数乘及基本定理习题

平面向量的数乘、共线向量作业 姓名： 班级： 1、1 2(4a ＋b )－3(b －a )＝________. 2、13(4a ＋3b )－12(3a －b )－3 2b ＝________. 3、2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c ) ＝________. 4、在四边形ABCD 中，若AB →＝－12 CD → ，则此四边形是____． 5、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋????1－5 2k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________. 6、设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB →＝2a ＋k b ，BC →＝a ＋b ，CD → ＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为________． 7、若2????y －13a －1 2(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 8、如右图，已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0， 则OA →＝________OD →. 9、已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA → ＋yOB → ，则x ＋y ＝________. 10、已知向量a ，b 不共线．实数x ，y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，则x ＝________，y ＝________. 11、已知两个非零向量a ，b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ．则实数k =________时，k a ＋b 与a ＋k b 共线． 12、已知两个非零向量a ，b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC → ＝a ＋3b ． (1)证明A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线． 13.已知角α的终边上有一点()1,2p ， （1）求tan 4πα?? + ?? ? 的值； （2）求5sin 26 πα? ? + ?? ? 的值． 平面向量的基本定理作业

平面向量加减法练习题

向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+

a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）

平面向量的加减法测试题

一、选择题 1、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向量只能与零 向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量①速度①位移①力①加速度①路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、①ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B．C．D． 6、如图.点M是①ABC的重心,则MA+MB－MC为（） C．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（）

A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a =－b 是|a | = |b |的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是①ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且= 31 , =31 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知： = a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是①ABC 的重心，求证： + + = 0 .

平面向量及其加减运算练习

练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法 姓名 学号 成绩 一、选择题 (每小题3分，共18分) 1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、长方形 D 、正方形 2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A 、是平行四边形 B 、是梯形 C 、是平行四边形或梯形 D 、不是平行四边形，也不是梯形 3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( ) A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 4．下列说法中不正确的是 ( ) A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 5．下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、()A B CD B C ++ B 、()()A D MB BC CM +++ C 、A D AD BM +- D 、OC AO CD ++ 6．下列说法中，正确的有 ( ) ① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =± ③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

二、填空题 (每小题4分，共40分) 7．规定了方向的线段叫做 8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示 9．AB BA + = ；a a - = 第10题到15题的图 10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有 11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有 12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有 13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有 14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有 15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有 16．设a 表示“向东走1km ”，b ”，则a b +表示 三、简答题 (每小题6分，共24分) 17．判断下列命题是否为真命题 (1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★ 向量b 的长度记作||b ( ) (3)★ 用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( ) 18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例；并写出此命题的逆命题 D

教案 平面向量的数乘运算

【教学过程】 *揭示课题 7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入 有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量 OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 *引入新知 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为 （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。 由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 （7．4） 容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ，　； ()()()()2a a a λμλμμλ== ； ()()3a a a λμλμ+=+ ； ()()a b a b λλλ+=+４　． 【做一做】 请画出图形来，分别验证这些法则． 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数 a a a a O A B C

的运算的意义是不同的． *例题讲解 例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ． 例2 计算： （1）（-3）×4a （2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ） *练习强化 1． 计算：（1）3（a ?2 b ）－2（2 a ＋b ）； （2）3 a ?2（3 a ?4 b ）＋3（a ?b ）． 2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝1 2 （a ＋b ）． *揭示课题 7.4.1 平面向量的内积 *情境导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j cos30sin30=?+?F i F j ， 图7—21 图7－16

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课标要求素养要求 掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用 坐标表示平面向量共线的条件，掌握三 点共线的判断方法. 通过数乘向量的坐标运算，理解平面向 量共线的坐标表示形式，体会数学运算 及数学抽象素养. 教材知识探究 贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过 B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从 A地到E地的行程有多少？”其解答方法是： 贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km). 晶晶：502×4＝2 008(km). 可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便. 问题1当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 提示横纵坐标均不为0时成比例. 问题2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向. 1.平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快 设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2 －x2y1＝0.) 3.中点坐标公式

若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则?????x ＝x 1＋x 2 2，y ＝y 1＋y 2 2， 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式. ,教材拓展补遗 [微判断] 1.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1 ＝x 2 y 2 .(×) 2.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .(×) 3.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .(√) 提示 1.当y 1y 2＝0时不成立. 两向量共线的坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0，故2错，3正确. [微训练] 1.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A.(－2，－4) B.(－3，－6) C.(－4，－8) D.(－5，－10) 解析 由a ∥b 得到m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). 答案 C 2.已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________. 解析 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7). 答案 (5，7) 3.已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________. 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1，3). 答案 (－1，3) [微思考] 1.向量(共线)平行的用途是什么？ 提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题. 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？ 提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A ，B ，P 三

平面向量及其加减运算(基础)知识讲解

平面向量及其加减运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为AB，且AB表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: a b c等. ①小写英文字母表示法: 如,,, AB CD等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如, （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

平面向量的加减法测试题

平面向量的加减法练习题 一、选择题 1、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向 量与任一向量共线,④零向量只能与零向量共线. A．1 B．2 C． 3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程 A．0 B． 1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于 （ ） A．0 B．3 C． 2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设 = a, = b，= c, = d, 则下列不等式中不正确的是 （）

A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、△ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 6、如图.点M是△ABC的重心,则MA+MB－MC为（） A．0 B．4 C．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是 （ ） A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a=－b是|a| = |b|的 （ ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且 = 3 1 , = 3 1 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13 、如图在正六边形ABCDEF 中，已知：= a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是△ABC 的重心，求证： + + = 0 .

平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算 知识点一:向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ① a a λλ=； ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算：设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==. 知识点二：向量共线定理：向量 ( )0 a a ≠与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=. 设()11,a x y =,()22,b x y =，其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、 () 0b b ≠共线． 知识点三：平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+．(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 知识点四:分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， () 22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??．（当时，就为中点公式。）1=λ 知识点五：平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤.零向量与任一向量的数量积为0. ⑵性质：设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时,a b a b ?=；当a 与b 反向时,a b a b ?=-；2 2 a a a a ?==或a a a =?．③a b a b ?≤． ⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()() a b a b a b λλλ?=?=?；③() a b c a c b c +?=?+?. ⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =,则2 2 2 a x y =+,或2a x y = +． 设()11,a x y =，()22,b x y =,则

沪教版 平面向量及其加减运算 教案

平面向量及其加减运算 教案 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB ”符号标记为AB u u u r ，且AB u u u r 表示点B 相对于点A 的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a ）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量 就是相等的向量； （b ）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如,,,a b c r r r L 等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如,AB CD u u u r u u u r 等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

平面向量基本概念及加减数乘

平面向量基本概念及加减数乘 一．选择题（共10小题） 1．下列四式不能化简为的是（） A．B．C．D． 2．已知点P是△ABC内一点，且+=6，则=（） A．B．C．D． 3．四边形ABCD中，设=，=，那么+=（） A．B．C．D．不能确定 4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（） A．B．C．D． 5．已知M为△ABC内一点，=+，则△ABM和△ABC的面积之比为（）A．B．C．D． 6．如图，在△ABC中，已知，则=（） A．B．C．D． 7．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记=，=，则向量=（） A．B．C．D． 8．已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足++=0，则等于（）A．B．C．1 D．2 9．在△ABC中，P是CR中点．若，则m+n等于（）A．B．C．D．

10．在下列命题中，正确的个数是（） ①若||=||，=；②若=，则∥；③||=||；④若∥，∥，则∥．A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题） 11．设点O是面积为6的△ABC内部一点，且有++2=，则△AOC的面积为． 12．设是两个不共线的向量，实数x，y满足，则x+y=． 13．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知， 用表示为． 14．设、是已知向量，若2（+）﹣3（﹣）=0，则=． 15．设O为△ABC的外心，且满足则∠ACB=． 16．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、C分别交于点E、F，=α，=β， 则+的值为． 17．在△ABC中，若|+|=||，则△ABC的形状为． 18．设D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），则λ1+λ2=． 三．解答题（共6小题） 19．设，是两个不平行的向量，且=+k，=+，=2﹣3．若，，三点共线，求k的值． 20．设两个非零向量和不共线． （1）如果=+，=2+8，=3（﹣），求证：A、B、D三点共线； （2）试确定实数k，使k+和+k共线； （3）若、是夹角为的两个单位向量，试确定k的值，使﹣与k+垂直．