2021年中考数学 专题汇编：圆的有关性质(含答案)
2021中考数学 专题汇编：圆的有关性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，已知直径
MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵
；
③AM ︵＝BM ︵
；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 如图，☉O
的直径AB 垂直于弦CD.垂足是点E ，∠CAO=22.5°，OC=6，则
CD 的长为 ( )
A .6
B .3
C .6
D .12
3. 如图，AB 是⊙O
的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED ＝20°，则∠BCD
的度数为( )
A ．100°
B ．110°
C ．115°
D ．120°
4. 2019·葫芦岛
如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数
为( )
A ．70°
B ．55°
C ．45°
D ．35°
5. 2019·赤峰如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为()
A．30°B．40°C．50°D．60°
6. 如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()
A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()
A．2 B．2＋ 2
C．2 3 D．2＋ 3
8. 如图，⊙P与x轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为()
A.13＋ 3 B ．2 2＋ 3
C ．4 2
D ．2 2＋2
9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放
在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )
A ．5 cm
B ．6 cm
C ．7 cm
D ．8 cm
10. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径
OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2
m ，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m ，则此时排水管水面宽为( )
A ．1.4 m
B ．1.6 m
C ．1.8 m
D ．2 m
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 2019·随州如图，点
A ，
B ，
C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵
上．若∠OBA ＝50°，则
∠C 的度数为________．
12. 如图，AB 为⊙O
的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O
的半径为________．
13. 已知：如图，A ，B
是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵
的中点，则四
边形OACB 是________．(填特殊平行四边形的名称)
14. 如图，四边形
ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若
∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.
15. 如图所示，OB ，OC
是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝
30°，则∠A ＝________°.
16. 如图，已知等腰三角形
ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作
∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．
17. 如图，在☉O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥
OC 交☉O 于点D ，则CD 的最大值为 .
18. 已知⊙O
的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵
，直线
AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．
三、解答题（本大题共4道小题）
19.
如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；
(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵
的长．(结果保留π)
20. 如图，在⊙O 中，AB ＝DE ，BC ＝EF .求证：AC ＝DF .
21. 如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度
AB ＝80米，桥拱到水面的最
大高度为20米． (1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
22.
如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.
(1)求证：AC平分∠F AB；
(2)求证：BC2＝CE·CP；
(3)当AB＝43且CF
CP＝
3
4时，求劣弧BD
︵
的长度．
2021中考数学专题汇编：圆的有关性质-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】D
2. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，
∴∠COE=45°，
∵☉O的直径AB垂直于弦CD，
∴∠CEO=90°，CE=DE.
∵∠COE=45°，
∴CE=OE=OC=3，
∴CD=2CE=6，故选A.
3. 【答案】B[解析] 连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝110°.故选B.
4. 【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】D[解析] ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°，
∴∠C＝180°－1
2×135°＝112.5°.
7. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.
8. 【答案】B[解析] 如图，连接PA，PB，PC，过点P作PD⊥AB于点D，PE ⊥OC于点E.
∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°.
∵A(－5，0)，B(1，0)，
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝3，PA＝PB＝PC＝2 3.
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝3，PE＝OD＝3－1＝2，
∴CE＝PC2－PE2＝12－4＝2 2，
∴OC＝CE＋OE＝2 2＋3，
∴点C的纵坐标为2 2＋ 3.
故选B.
9. 【答案】A[解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.
10. 【答案】B[解析] 如图，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OC.
∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，OA＝1 m，∴AE＝0.6 m，∴OE＝0.8 m.
∵排水管水面上升了0.2 m，
∴OF＝0.8－0.2＝0.6(m)．
由题意可知CD∥AB.
∵OE⊥AB，∴OE⊥CD，
∴CF＝OC2－OF2＝0.8 m，CD＝2CF，
∴CD ＝1.6 m ．故选B.
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】40°
12. 【答案】5
[解析] 设圆的半径为x ，则OE ＝x －1.根据垂径定理可知，CE ＝3，
由勾股定理可得32＋(x －1)2＝x2，解得x ＝5. 故答案为5.
13. 【答案】菱形
[解析] 连接OC.
∵C 是AB ︵
的中点， ∴∠AOC ＝∠COB ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，
∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形OACB 是菱形．
14. 【答案】70
[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C
为弧BD 的中点，
∴∠CAB ＝1
2∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.
15. 【答案】50
[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，
∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，
∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.
16. 【答案】8
[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆
的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.
17. 【答案】
[解析]连接OD ，因为CD ⊥OC ，所以CD=，
根据题意可知圆半径一定，故当OC 最小时CD 最大.当OC ⊥AB 时OC 最小，CD 最大值=AB=.
18. 【答案】3
或1 [解析] 如图所示：
∵⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵
， ∴AO ⊥BC ，垂足为D ， 则BD ＝1
2BC ＝ 3. 在Rt △OBD 中， ∵BD2＋OD2＝OB2， 即(3)2＋OD2＝22， 解得OD ＝1.
∴当点A 在如图①所示的位置时，AD ＝OA －OD ＝2－1＝1； 当点A 在如图②所示的位置时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋1＝3.
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OD ，(1分) ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，
解图
∴OD ⊥DF ，
∴∠ODF ＝90°，(2分) ∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，
∴OD 是△ABC 的中位线，(3分) ∴OD ∥AC ，
∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°， ∴DF ⊥AC.(4分)
(2)解：∵∠CDF ＝30°， 由(1)得∠ODF ＝90°， ∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°， ∵OB ＝OD ，
∴△OBD 是等边三角形，(7分) ∴∠BOD ＝60°，
∴lBD ︵＝n πR 180＝60π×
5180＝53π.(8分)
20. 【答案】
证明：∵AB ＝DE ，BC ＝EF ， ∴AB ︵＝DE ︵，BC ︵＝EF ︵， ∴AB ︵＋BC ︵＝DE ︵＋EF ︵， ∴AC ︵＝DF ︵
，∴AC ＝DF .
21. 【答案】
解：(1)如图①，设点E 是桥拱所在圆的圆心，连接AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵
于点D.
根据垂径定理知F 是AB 的中点，D 是AB ︵
的中点，DF 的长是桥拱到水面的最大高度，
∴AF ＝FB ＝1
2AB ＝40米，EF ＝DE －DF ＝AE －DF. 由勾股定理，知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE －DF)2. 设桥拱的半径为r 米，则r2＝402＋(r －20)2， 解得r ＝50.
答：桥拱的半径为50米．
(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由如下：
如图②，由题意，知DE ⊥MN ，PM ＝1
2MN ＝30米，EF ＝50－20＝30(米)． 在Rt △PEM 中，PE ＝EM2－PM2＝40米， ∴PF ＝PE －EF ＝40－30＝10(米)．
∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
22. 【答案】
(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ， 又∵AF ⊥PC ， ∴AF ∥CD ，
∴∠OCA ＝∠CAF ， ∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠CAF ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠F AB ；
(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠DCP ＝90°，
∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°， 又∵∠BAC ＝∠D ， ∴△ACB ∽△DCP ， ∴∠EBC ＝∠P ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠BEC ＝90°， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC ＝90°， ∴∠CBP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CBP ， ∴△CBE ∽△CPB ， ∴BC PC ＝CE CB ， ∴BC 2＝CE ·CP ；
(3)解：∵AC 平分∠F AB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ， ∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，
设CE ＝3k ，则CP ＝4k ， ∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，
∴BC ＝23k ，
在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝3
2，
∴∠EBC ＝60°，
∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，
∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.