高考线性规划题型归纳

线性规划常见题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件??

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值

为。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交

点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??

≤??+≥?

，则z=x+2y 的取值范

围是（）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将

l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值

2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥??

-+≤??--≤?

则22x y +的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已

知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

，则

z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2

C 、13，45

D 、13，

解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到

直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为4

，选C

练习2、已知x ，y 满足??

?≥-+≥≥≤-+0320

,10

52y x y x y x ，则x

y 的最大值为___________，最小值为____________．

2，0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

图2

例

3、在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤??-+≥??≥?

表示的平面区域的

面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤??-+≥??≥?

表示的平面区

域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.2

S BC AO =?=??=从而

选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

习题3、不等式组260302x y x y y +-≥??

+-≤??≤?

表示的平面区域的面

积为（）

A 、4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，

由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A)0003x y x y x -≥??

+≥??≤≤?

(B)

0003x y x y x -≥??

+≤??≤≤?

(D) 2x + y –

x ＋y –

0003x y x y x -≤??

+≥??≤≤?

解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成

一个三角形区域（如图4所示）时有0

03x y x y x -≥??

+≥?

?≤≤?

。点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）

A ．232600y x y x ≥-?

?-+>?

B ．232600y x y x >-??-+≥??≤?

C ．232600y x y x >-??-+>??≤?

D ．232600y x y x >-??-+

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。例

5、在约束条件0

x y y x s y x ≥??≥??

+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目

标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值,

即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和

（－1,1），则m 的取值范围是（） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3）

D 、（-3,3）

解：|2x －y ＋m|＜3等价于230

230x y m x y m -++>??

-+-

由右图可知33

30m m +>??-

,故0＜m ＜3，选C

习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则

m 的取值范围是（）

A ．32<<-m

B ．60<

C ．63<<-m

D ．30<

七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例7、已知变量x ，y 满足约束条件

x y x y ≤+≤??

-≤-≤?。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。解析：如图

5作出可行域，由

z ax y y ax z =+?=-+其表示为斜率为a -，纵截距

为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-?>则a 的取值范围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a

2x – y

2x – y + 3

的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

习题7、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??

-+≤??≤?

，

使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1

解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数

z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题

例8、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和

须满足约束条件??

??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大

值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

解析：如图７，作出可行域，由101010

z z x y y x =+?=-+，它表示为斜率

为1-，纵截距为

10z

的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过

119

(,)22

A z 取得最大值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

九、求可行域中整点个数

例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（）

x + y

x – y +

y x

A、9个

B、10个

C、13个

D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于

2(0,0)

2(0,0) x y x y

x y x y

+≤≥≥

?-≤≥

-+≤≥?

?--≤

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边

界），容易得到整点个数为13个，选C

习题9、不等式3<

x表示的平面区域内的整点个数为（）

A．13个B．10个C．14个D． 17个