高一数学知识点与习题讲解
高一数学知识点与习题讲解
第一章集合与函数基础知识点整理 第1讲 1.1.1 集合的含义与表示 知识要点:
1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set ),其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,基本形式为123{,,,,}n a a a a ???,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ,适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集N ,正整数集*N 或N +,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R .
4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not
belong to ),分别用符号∈、?表示,例如3N ∈,2N -?.
例题精讲:
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合; (2)大于2且小于7的整数.
解:(1)用描述法表示为:2{|(23)0}x R x x x ∈--=; 用列举法表示为{0,1,3}-. (2)用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<;
用列举法表示为{3,4,5,6}.
【例2】用适当的符号填空:已知
{|32,}
A x x k k Z ==+∈,
{|61,}B x x m m Z ==-∈,则有:
17 A ; -5 A ; 17 B . 解:由3217k +=,解得5k Z =∈,所以17A ∈; 由325k +=-,解得73
k Z =?,所以5A -?;
由6117m -=,解得3m Z =∈,所以17B ∈.
【例3】试选择适当的方法表示下列集合:(教材P 6 练习题2,
P 13 A 组题4)
(1)一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合; (2)二次函数24y x =-的函数值组成的集合; (3)反比例函数2y x
=的自变量的值组成的集合.
解:(1)3
{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+?=?
=-+?
.
(2)2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. (3)2{|}{|0}x y x x x
==≠.
点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4},也注意对比(2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细心.
【例4】已知集合2{|
1}2
x a
A a x +==-有唯一实数解,
试用列举法表示集合A .
解:化方程
2
12
x a x +=-为:2
(2)0x x a --+=.应分以下三种情况:
⑴方程有等根且不是由 △=0,得9
4a =-
,此时的解为12
x =,合.
⑵方程有一解为
,而另一解不是
x =
代入得a =
此时另一解1x =-
⑶方程有一解为
:将x =
a
此时另一解为1x =
,合.
综上可知,9{,4
A =-.
点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
第2讲 1.1.2 集合间的基本关系
知识要点:
1. 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素,则说两个集合有包含关系,其中集合A 是集合
B 的子集(subset ),记作A B ?(或B A ?),读作“A 含于B ”(或“B
包含A ”).
2. 如果集合A 是集合B 的子集(A B ?),且集合B 是集合A 的子集(B A ?),即集合A 与集合B 的元素是一样的,因此集合A 与集合
B 相等,记作A B =.
3. 如果集合A B ?,但存在元素x B ∈,且x A ?,则称集合A 是集合
B 的真子集(proper subset ),记作A ≠?
B (或B ≠?A ).
4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set ),记作?,并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质:A A ?;若A B ?,B C ?,则A C ?; 若A B A =,则A B ?;若A B A =,则B A ?.
例题精讲:
【例1】用适当的符号填空:
(1){菱形} {平行四边形}; {等腰三角形} {等边三角形}.
(2)? 2{|20}x R x ∈+=; 0 {0}; ? {0}; N {0}.
解:(1), ; (2)=, ∈, ,.
【例2】设集合1,,}2
2
{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ,则下列图形
能
表示A 与B 关系的是( ).
解:简单列举两个集合的一些元素,3113{,1,,0,,1,,}2
2
2
2
A =???---???,
3113
{,,,,,}2222
B =???--???,
易知B ≠?
A ,故答案选A .
另解:由21,}2
{|n x n B x +=∈=Z ,易知B ≠?
A ,故答案选A .
【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=,且N M ?,求实数
a 的值.
解:由26023x x x +-=?=-或,因此,{}2,3M =-.
A B
B
A A
B A B A . B .
C .
D .
(i )若0a =时,得N =?,此时,N M ?;
(ii )若0a ≠时,得1{}N a
=. 若N M ?,满足1123a
a
==-或,解得
1123
a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12
或13
-.
点评:在考察“A B ?”这一关系时,不要忘记“?” ,因为A =?时存在A B ?. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ,求实数x 的值.
解:若2
2a b ax a b ax
+=??
+=??a +ax
2
-2ax =0, 所以a (x -1)2=0,即a =0或x =1.
当a =0时,集合B 中的元素均为0,故舍去; 当x =1时,集合B 中的元素均相同,故舍去.
若22a b ax a b ax
?+=?
+=??2ax 2
-ax -a =0. 因为a ≠0,所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1,所以只有12
x =-.
经检验,此时A =B 成立. 综上所述12
x =-.
点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.
第3讲 1.1.3 集合的基本运算(一)
知识要点:
集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.
并集
交集
补集
概念
由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集(union set )
由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的交集
(
intersection
set )
对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合,称为集合A 相对于全集U 的补
集
(
complementary
set )
记号 A B (读作“A 并
B ”)
A B (读作“A
交
B ”)
U
A (读作“A 的补
集”)
符号 {|,}A B x x A x B =∈∈或
{|,}A B x x A x B =∈∈且
{|,}U
A x x U x A =∈?且
图形表示
例题精讲:
【例1】设集合,{|15},{|39},,
()U
U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求.
解:在数轴上表示出集合A 、B ,如右图所示:
{|35}A B x x =<≤, (){|1,9}U C A B x x x =<-≥或,
U
A
A
B
【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤,{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==,求:
(1)()A B C ; (2)()A
A
B C .
解:
{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.
(1)又{}3B C =,∴()A B C ={}3; (2)又{}1,2,3,4,5,6B C =, 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.
∴ ()A A
C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.
【例3】已知集合{|24}A x x =-<<,{|}B x x m =≤,且A B A =,求实数
m 的取值范围.
解:由A
B A =,可得A B ?.
在数轴上表示集合A 与集合B ,如右图所示: 由图形可知,4m ≥.
点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且,{2,4,5,8}A =,{1,3,5,8}B =,求
()U C A B ,()U C A B ,()()U U C A C B , ()()U U C A C B ,并比较它们的关系.
解:由{1,2,3,4,5,8}A B =,则(){6,7,9}U C A B =.
由{5,8}A
B =,则(){1,2,3,4,6,7,9}U
C A B =
由{1,3,6,7,9}U C A =,{2,4,6,7,9}U C B =, 则()
(){6,7,9}U U C A C B =,
()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.
由计算结果可以知道,()
()()U U U C A C B C A B =,
()()()U U U C A C B C A B =.
另解:作出Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结果.
-2 4 m x
B A
点评:可用Venn 图研究
()()()
U U U C A C B C A B =与
()()()U U U C A C B C A B = ,在理解的基础记住此结论,有助于今后迅速解
决一些集合问题.
第4讲 1.1.3 集合的基本运算(二)
知识要点:
1. 含两个集合的Venn 图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形,我们还可以发现一些集合性质:()()()U U U C A
B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.
2. 集合元素个数公式:()()()()n A B n A n B n A B =+-.
3. 在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
例题精讲:
【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,若{}9A
B =,求实数
a 的值.
解:由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,且{}9A B =,则有:
当219 a -=时,解得5a =,此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B -,-,不合题意,故舍去;
当29a =时,解得33a =或-.
3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B =时,-,--,不合题意,故舍去;
3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B =-,--,,-,合题意.
所以,3a =-.
【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈,{|(4)(1)0}B x x x =--=,求
A B , A B .(教材P 14 B 组题2)
解:{1,4}B =. 当3a =时,{3}A =,则{1,3,4}A B =,A B =?; 当1a =时,{1,3}A =,则{1,3,4}A B =,{1}A B =; 当4a =时,{3,4}A =,则{1,3,4}A
B =,{4}A B =;
当3a ≠且1a ≠且4a ≠时,{3,}A a =,则{1,3,4,}A
B a =,A B =?.
点评:集合A 含有参数a ,需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时,需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x |240x x +=}, B ={x |222(1)10x a x a +++-=,
a R ∈},若
A B =B ,求实数a 的值.
解:先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ,则B ?A ,可知集合B 可为
?,或为{0},或{-4},或{4,0}-.
(i )若B =?,则224(1)4(1)0a a ?=+--<,解得a <1-; (ii )若0∈B ,代入得2a 1-=0?a =1或a =1-, 当a =1时,B =A ,符合题意; 当a =1-时,B ={0}?A ,也符合题意.
(iii )若-4∈B ,代入得2870a a -+=?a =7或a =1, 当a =1时,已经讨论,符合题意; 当a =7时,B ={-12,-4},不符合题意. 综上可得,a =1或a ≤1-.
点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题时,特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =?的情形,从
而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A 与B ,若定义{|,}A B x x A x B -=∈?且,当集合
*{|8,}A x x x N =≤∈,集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时,有A B -= .
(由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为
{|,}U C A x x x A =∈?且”而拓展)
解:根据题意可知,{1,2,3,4,5,6,7,8}A =,{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈?且,则
{1,3,4,7,8}A B -=.
点评:运用新定义解题是学习能力的发展,也是一种创新思维的训练,关键是理解定义的实质性内涵,这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ,则A B -也相当于()U A
C B .
第5讲 1.2.1 函数的概念
知识要点:
1. 设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作y =()f x ,x A ∈.其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域(domain ),与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域(range ).
2. 设a 、b 是两个实数,且a
{x |a ≤x
无穷大”. 则
{|}(,)x x a a >=+∞,{|}[,)x x a a ≥=+∞,{|}(,)x x b b <=-∞,{|}(,]x x b b ≤=-∞,(,)R =-∞+∞.
3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数.
例题精讲:
【例1】求下列函数的定义域: (1)1
21
y x =
+-;(2
)y =
.
解:(1)由210x +-≠,解得1x ≠-且3x ≠-, 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.
(2
)由3020
x -≥??≠,解得3x ≥且9x ≠,
所以原函数定义域为[3,9)
(9,)+∞.
【例2】求下列函数的定义域与值域:(1)3254x y x
+=-; (2)
22y x x =-++.
解:(1)要使函数有意义,则540x -≠,解得54
x ≠. 所以原函数的
定义域是5{|}4
x x ≠.
32112813(45)2332333
05445445445444
x x x y x x x x ++-+=
=?=?=-+≠-+=-----,所以值域为3{|}4
y y ≠-.
(2)22192()2
4
y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ,值域
是9(,]4
-∞.
【例3】已知函数1()1x f x x
-=+. 求:(1)(2)f 的值; (2)()f x 的表
达式
解:(1)由121x x
-=+,解得13
x =-,所以1(2)3
f =-.
(2)设11x t x
-=+,解得11t x t
-=+,所以1()1t f t t
-=+,即1()1x f x x
-=+.
点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.
【例4】已知函数2
2
(),1x f x x R x
=∈+. (1)求
1
()()
f x f x
+的值;(2)计算:
111
(1)(2)(3)(4)()()()234
f f f f f f f ++++++.
解:(1)由
2
22
2
2222
2
1111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.
(2)原式11117(1)((2)())((3)())((4)())32
3
4
2
2
f f f f f f f =++++++=+= 点评:对规律的发现,能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键.
第6讲 1.2.2 函数的表示法
知识要点:
1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值);图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势);列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可看出函数值).
2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的x ,对应法则不同).
3. 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →”.
判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则
f .
例题精讲:
【例1】如图,有一块边长为a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____,这个函数的定义域为_______.
解:盒子的高为x ,长、宽为2a x -,所以体积为V =2(2)x a x -. 又由20a x >-,解得2
a x <.
所以,体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =-,定义域为
{|0}2
a x x <<.
【例2】已知
f (x )=333322
x x x x
-?++??+?? (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞,求
f [f (0)]的值.
解:∵ 0(,1)∈-∞, ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1,
∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12
=52
,即f [f (0)]=52
.
【例3】画出下列函数的图象: (1)|2|y x =-; (教材P 26 练习题3) (2)|1||24|y x x =-++.
解:(1)由绝对值的概念,有2,2
|2|2,2x x y x x x -≥?=-=?
-
.
所以,函数|2|y x =-的图象如右图所示.
(2)33,1
|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>??=-++=+-≤≤??--<-?
,
所以,函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示. 点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象.
【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数,例如
[3.5]4-=-,[2.1]2=,当( 2.5,3]x ∈-时,写出()f x 的解析式,并作出函数的
图象.
解:
3, 2.522,211,10()0,01
1,122,233,3
x x x f x x x x x --<<-??--≤<-?--≤
=≤?≤≤
=?. 函数图象如右: 点评:解题关键是理解符号[]m 的概念,抓住分段函数的对应函数式.
第7讲 1.3.1 函数的单调性
知识要点:
1. 增函数:设函数y =f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量
x 1,x 2,当x 1 在区间D 上是增函数(increasing function ). 仿照增函数的定义 可定义减函数. 2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数,就说f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数的图象从左向右是下降的(如右图2). 由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤:设x 1、x 2∈给定区间,且x 1 例题精讲: 【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1 x f x x =-在区间(0,1)上的单调性. 解 : 任 取 12 ,x x ∈(0,1),且 12 x x <. 则 1221121212222() ()()11(1)(1) x x x x f x f x x x x x --= -= ----. 由于1201x x <<<,110x -<,210x -<,210x x ->,故12()()0f x f x ->,即 12()()f x f x >. 所以,函数2()1 x f x x = -在(0,1)上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性. 解:设任意12,x x R ∈,且12x x <. 则 22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()() a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++. 若0a <,当122b x x a <≤- 时,有120x x -<,12b x x a +<-,即12()0a x x b ++>,从而12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在(,]2b a -∞- 上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b a - +∞上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间: (1)|1||24|y x x =-++;(2)22||3y x x =-++. 解:(1)33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>??=-++=+-≤≤??--<-? ,其图象如右. 由图可知,函数在[2,)-+∞上是增函数,在(,2]-∞-上是减函数. (2)22 223,02||323,0x x x y x x x x x ?-++≥? =-++=?--+? ,其图象如右. 由图可知,函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数,在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数. 点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性,先作y 轴右侧的图象,并把y 轴右侧的图象对折到左侧,得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性,关键在于正确作出函数图象. 第8讲 1.3.1 函数最大(小)值 知识要点: 1. 定义最大值:设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:对于任意的x ∈I ,都有()f x ≤M ;存在x 0∈I ,使得0()f x = M . 那么,称M 是函数()y f x =的最大值(Maximum Value ). 仿照最大值定义,可以给出最小值(Minimum Value )的定义. 2. 配方法:研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大(小)值,先 配方成2 24()24b ac b y a x a a -=++ 后,当0a >时,函数取最小值为 2 44ac b a -;当 0a <时,函数取最大值 2 44ac b a -. 3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以 先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. 例题精讲: 【例1】求函数2 6 1 y x x =++的最大值. 解:配方为2613()24 y x = ++ ,由2133()2 4 4 x ++≥,得26 0813 ()24 x < ≤++ . 所以函数的最大值为8. 【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时,每天可售出100件. 现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价1元,其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润. 解:设他将售出价定为x 元,则提高了(10)x -元,减少了10(10)x -件,所赚得的利润为 (8)[10010(10)]y x x =---. 即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时,max 360y =. 所以,他将售出价定为14元时,才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3 】求函数2y x =+ . 解:此函数的定义域为[)1,+∞,且函数在定义域上是增函数, 所以当1x = 时,min 22y =+ ,函数的最小值为 2. 点评:形如y ax b cx d =+± +的函数最大值或最小值,可以用 单调性法研究,也可以用换元法研究. 【另解】令 1x t -=,则 t ≥, 21 x t =+,所以 22115 222()48 y t t t =++=++,在0t ≥时是增函数,当0t =时,min 2y =, 故函数的最小值为2. 【例4】求下列函数的最大值和最小值: (1)253 32, [,]22 y x x x =--∈-; (2)|1||2|y x x =+--. 解:(1)二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a =-,即1x =-. 画出函数的图象,由图可知,当1x =-时,max 4y =; 当32 x =时, min 9 4 y =- . 所以函数253 32, [,]22 y x x x =--∈-的最大值为 4,最小值为94 -. (2) 3 (2) |1||2|2 1 (12)3 (1) x y x x x x x ≥??=+--=--<?-≤-?. 作出函数的图象,由图可知,[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3. 点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. 含绝对值的函数,常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出. 第9讲 1.3.2 函数的奇偶性 知识要点: 1. 定义:一般地,对于函数()f x 定义域内的任意一个x ,都有 ()()f x f x -=,那么函数()f x 叫偶函数(even function ). 如果对于函 数定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=-),那么函数()f x 叫奇函数(odd function ). 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于y 轴轴对称. 3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系. 例题精讲: 【例1】判别下列函数的奇偶性: (1)31()f x x x =-; (2)()|1||1|f x x x =-++;(3)23()f x x x =-. 解:(1)原函数定义域为{|0}x x ≠,对于定义域的每一个x ,都有 3311 ()()()()f x x x f x x x -=-- =--=--, 所以为奇函数. (2)原函数定义域为R ,对于定义域的每一个x ,都有 ()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=,所以为偶函数. (3)由于23()()f x x x f x -=+≠±,所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且1 ()()1 f x g x x -= +,求()f x 、()g x . 解:∵ ()f x 是奇函数,()g x 是偶函数, ∴ ()()f x f x -=-,()()g x g x -=. 则1()()11()()1f x g x x f x g x x ?-=??+??---=?-+?,即1()()11()()1f x g x x f x g x x ? -=??+? ?--= ?-+? . 两式相减,解得2 ()1x f x x = -;两式相加,解得21()1 g x x =-. 高中数学必修4知识点汇总 第一章:三角函数 1、任意角①正角:按逆时针方向旋转形成的角 ②负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限 对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S 则αr l =,l r C +=2,221 21r lr S α== 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离 是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22 M N M N f x +-- ()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高一上学期数学知识概念法题型易误点技巧总结 一、集合与命题 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设P Q 、为两个非空实数集合,定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{0,2,5}P =,}6,2,1{=Q ,则P Q +中元素的有________个。(答:8)(2)非空集合}5,4,3,2,1{?S ,且满足“若S a ∈,则S a ∈-6”,这样的S 共有_____个(答:7) 2.遇到A B =?I 时,你是否注意到“极端”情况:A =?或B =?;同样当A B ?时,你是否忘记?=A 的情形?要注意到?是任集合的子集,是任非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =U ,则实数a =______.(答: 10,1,2 a =) 3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为,n 2,12-n ,12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 (答:7) 4.集合的运算性质: ⑴A B A B A =??U ; ⑵A B B B A =??I ;⑶A B ?? u u A B ?痧; ⑷u u A B A B =???I 痧; ⑸u A B U A B =??U e; ⑹()U C A B I U U C A C B =U ;⑺()U U U C A B C A C B =U I .如设全集}5,4,3,2,1{=U ,若}2{=B A I ,}4{)(=B A C U I ,}5,1{)()(=B C A C U U I ,则A =_____,B =___.(答:{2,3}A =,{2,4}B =) 5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:(){}|x y f x =—函数的定义域;(){}|y y f x =—函数的值域;(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集, 如设集合{|M x y ==,集合N ={} 2|,y y x x M =∈,则M N =I _ _ (答:[4,)+∞); 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关 于x 的不等式 250ax x a -<-的解集为M ,若3M ∈且5M ?数a 的取值围。 (答:(]519253a ??∈????U ,,) 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”,则逆命题为“若q 则p ”;否命题为“若p 则q ” ;逆否命题为“若q 则p ”。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价; (2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假,这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法?如(1) “在△ABC 中,若∠C=900,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 (答:在ABC ?中,若90C ∠≠o ,则,A B ∠∠不都是锐角);(2)已知函数2(),11 x x f x a a x -=+>+,证明程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成 2019高一数学知识点总结 高中是人生中的关键阶段,大家一定要好好把握高中,编辑老师为大家整理了2019高一数学知识点,希望大家喜欢。 第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N表示自然数集,N或N表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集. (3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM,或者aM,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有 任何元素的集合叫做空集 以上就是小编老师为大家准备的高一数学知识点,希望可以帮助到大家! 3、与角 终边相同的角的集合为360,kk 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。如领读,我读一句,让幼儿读一句,边 读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。 4、已知是第几象限角,确定*nn所在象限的方法:先把各象限均分n等份,再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为n 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.口诀:奇变偶不变,符号看象限.公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2k)=sincos(2k)=costan(2k)=tancot(2k)=cot公式二:设为任意角,的三角函数值与的三角函数值之间的关系: sin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cot公式三:任意角与-的三角函数值之间的关系: sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四:利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系: sin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cot公式五:利用公式一和公式三可以得到2与的三角函数值之间的关系: sin(2)=-sincos(2)=costan(2)=-tancot(2)=-cot 公式六:/2及3/2与的三角函数值之间的关系: sin(/2+)=coscos(/2+)=-sintan(/2+)=-cotcot(/2+)=-tansin(/2-)=co scos(/2-)=sintan(/2-)=cotcot(/2-)=tansin(3/2+)=-coscos(3/2+)=si ntan(3/2+)=-cotcot(3/2+)=-tansin(3/2-)=-coscos(3/2-)=-sintan(3/ 【篇一】人教版高一数学知识点整理 考点一、映射的概念 1.了解对应大千世界的对应共分四类,分别是:一对一多对一一对多多对多 2.映射:设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都存在的一个元素y与之对应,那么,就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应,简称“对一”的对应。包括:一对一多对一 考点二、函数的概念 1.函数:设A和B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都存在确定的数y与之对应,那么,就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),xA.其中x叫自变量,x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值,函数值的集合叫做函数的值域。函数是特殊的映射,是非空数集A到非空数集B的映射。 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。 3.区间的概念:设a,bR,且a 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 2. 3.集合的表示:{ …集合的含义 集合的中} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结 一、集合与命题 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设P Q 、为两个非空实数集合,定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{0,2,5}P =,}6,2,1{=Q ,则P Q +中元素的有________个。(答:8)(2)非空集合}5,4,3,2,1{?S ,且满足“若S a ∈,则S a ∈-6”,这样的S 共有_____个(答:7) 2.遇到A B =?时,你是否注意到“极端”情况:A =?或B =?;同样当A B ?时,你是否忘记?=A 的情形?要注意到?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,则实数a =______.(答:10,1,2 a =) 3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为,n 2,12-n ,12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 (答:7) 4.集合的运算性质: ⑴A B A B A =??; ⑵A B B B A =??;⑶A B ?? u u A B ?; ⑷u u A B A B =???; ⑸u A B U A B =??; ⑹()U C A B U U C A C B =;⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ,若}2{=B A ,}4{)(=B A C U ,}5,1{)()(=B C A C U U ,则A =_____,B =___.(答:{2,3}A =,{2,4}B =) 5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:(){}|x y f x =—函数的定义域;(){}|y y f x =—函数的值域;(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集, 如设集合{|M x y ==,集合N ={}2|,y y x x M =∈,则M N =_ _ (答:[4,)+∞); 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关 于x 的不等式 250ax x a -<-的解集为M ,若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 (答:(]519253a ??∈????,,) 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”,则逆命题为“若q 则p ”;否命题为“若p 则q ” ;逆否命题为“若q 则p ”。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假,这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法?如(1)“在△ABC 中,若∠C=900,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 (答:在ABC ?中,若90C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角);(2)已知函数2(),11 x x f x a a x -=+>+,证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若 高一数学必修1练习题(四) A 组题(共100分) 一、选择题:本大题共5小题,每小题7分,共35分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。1.函数y =lg (2-x )的定义域是() A .(-∞,2) B .(-∞,2] C .(2,+∞) D .[2,+∞)2.下列与函数y =x 有相同图象的一个函数是() A 2 x y =B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且D x a a y log =3.函数y =log 2 2x +log 2x 2+2的值域是 ( ) A .(0,+∞) B .[1,+∞) C .(1,+∞) D .R 4.三个数6 0.7 0.70.76log 6,,的大小关系为 () A 60.70.70.7log 66< 高一数学知识点总结归纳最新5篇 域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。 高一数学知识点总结2 定义: x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。 范围: 倾斜角的取值范围是0°≤α180°。 理解: (1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向; (2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。 意义: ①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度; ②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角; ③倾斜角相同,未必表示同一条直线。 公式: 2020最全高一数学知识点总结归纳 高一新生刚接触到高中数学时都会很不适应,应为高中数学和以往初中和小学的数学都不一样,高中数学更加灵活多变,思维也更加广阔,而高一数学也是整个高中数学的基础,必须要学好,所以下面就是给大家带来的高一数学知识点总结,希望能帮助到大家! 高一数学知识点总结(一) 1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时,易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互 关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调.例如:. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 高一数学第二学期重要知识点总结①对数部分: ()N M MN a a a log log log+ =N M N M a a a log log log- =M n M a n a log log= 1.换底公式: b log N log N= log a a b (其中a>0,a≠1,b>0,N>0) 变式: b N x a a log log = 对数函数的图像及其性质: 弧长-面积公式r l? =α2 2 1 r S? =α 扇r l S? = 2 1 扇 180 r n l ? = π 三角比 r y = α sin r x = α cos x y = α tan y x = α cot x r = α sec y r = α csc 同角三角比的 关系 1 csc sin= ?α α1 sec cos= ?α α1 cot tan= ?α α α α α cos sin tan= α α α sin cos cot= 1 cos sin2 2= +α αα α2 2sec tan 1= +α α2 2csc cot 1= + 诱导公式、两角和差正弦、余弦、正切公式: 辅助角公式:() 2 22222sin ,cos sin cos sin b a b b a a b a b a += +=++=+βββααα 正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === ()c b a p ++=2 1 ③ 对称性 对称轴为 2 x k π π =+, 对称中心为(,0) kπ,k Z ∈ 对称轴为x kπ =, 对称中心(,0) 2 k π π+k Z ∈ 无对称轴, 对称中心为(,0) 2 kπk Z ∈ 无对称轴, 对称中心为(,0) 2 kπk Z ∈ ()() ()() ()() ()() 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ =++- ?? ?? =+-- ?? ?? =++- ?? ?? =-+-- ?? ?? sin sin2sin cos 22 αβαβ αβ +- += sin sin2cos sin 22 αβαβ αβ +- -= cos cos2sin sin 22 αβαβ αβ +- -=- 高一数学知识点总结归纳5篇最新 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法:https://www.360docs.net/doc/981482561.html, 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集:N_或N+ 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能 (1)A是B的一部分,; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)实 例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即: ①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数: 上学期知识点及解题技巧归纳 一、常见不等式解法 1. 含绝对值不等式的解法 2 (1) 一元二次不等式 ax bx c 0(a 0) 的解为“大两边、小中间”,即“大于大根或小于 小根”,“大 于小根小于大根” . (2) 若 a<0,是什么情况?一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系?望自 行思考 . 3. 分式不等式: 1) fx fx g x 0 ; (2) fx f x g x 0 ; gx gx f x fx g x 0 fx fx g x 0 3) g x gx ; (4) gx gx 4. 指数不等式与对数不等式 f (x) 0 log a f (x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g( x) (1) 当 a 1 时 , a a f(x) g(x) ; f (x) g(x) f (x) 0 log a f(x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g( x) (2) 当 0 a 1时, a a f(x) g(x) ; f (x) g( 5. 经典例题及易混易错题型 略. 二、与集合相关的知识 1. 集合间的基本关系 提示】 (1)A A (1) 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 子集AB (或 B A) A 中的任一元素都 属于B (2) A (3) 若 A B且 B C,则AC (4) 若 A B且B A ,则AB (2) 任何一个集合是它本身的子集, A A. 只有一个子集,就是它本身. (3) 集合是子集和真子集具有传递性,若 A B且 B C,则 A C. (4) 已知集合A有n(n 1)个元素,则它有2n个子集,它有2n 1个真子集,它有2n 1个非空子 集,它有2n 2 非空真子集. 2. 集合的基本运算 真子集 AB (或B A) A (1) (A 为 非空子集) A B,且 B 中至少 有一元素不属于A (2) 若A C,则 AC 集合 相等AB A 中的任一元素都 属于B,B 中的任 一元素都属于A (1)A B (2)B A 易错点拔】 (1) A B包含A=B和 A B两种情况. A B分A= ?和A≠ ?两种情况. (2) 与∈的区别. (3) ? 与{?} 的区别:前者代表空集,后者代表一个集合,这个集合的元素的空集,属于集中集?∈{?} 、? {?} 均正确. 【解题思路点拔】 学好集合间基本关系须熟记四个结论:名称记号意义性质韦恩图 (1) A I A A 交集AI B{x|x A,且(2) AI A A B B x B} (3) AI B A A B= B A AI B B (1) AUA A (2) A U A 并集AUB{x| x x B} A, 或 (3) A UB A A B AUB B A B=B A (CuA)(CuB)= Cu (A B) 德摩根公式 补集CuA{x|x U,且x A}(CuA)(CuB)= Cu(A B) 德摩根公式 A (CuA)=U A (CuA)= Φ 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ …} 如:{我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A 注意:B 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子 集,记作A B(或B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) 高一数学必修1各章知识点总结————第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如{我校篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆ 注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c ……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x 2 =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:B A ?有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?/B 或B ?/A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x 2 -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合,含有2n 个子集,2n-1 个真子集 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集.记作A I B (读作‘A 交B ’),即A I B={x|x ∈A ,且x ∈B }. 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作:A Y B (读作‘A 并B ’),即A Y B ={x|x ∈A ,或x ∈B}). 设S 是一个集合,A 是S 的一个子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集) 记作A C S ,即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 性 质 A I A=A A I Φ=Φ A I B=B I A A I B ?A A I B ?B A Y A=A A Y Φ=A A Y B=B Y A A Y B ?A A Y B ?B (C u A) I (C u B) = C u (A Y B) (C u A) Y (C u B) = C u (A I B) A Y (C u A)=U A I (C u A)= Φ. A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x 2 -2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0},则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=} {12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A ∩C=Φ,求m 的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ◆ 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) 2.值域 : 先考虑其定义域1)观察法 (2)配方法(3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点P (x ,y)的集合C ,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x ,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ,y),均 在C 上 . (2) 画法: 描点法 图象变换法 常用变换方法有三种:平移变换 伸缩变换 对称变换 4.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间 的数轴表示. .映射:一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f (对应关系):A (原象)→B (象)” 对于映射f :A →B 来说,则应满足: (1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数:如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 二.函数的性质1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数:设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个 自变量x 1,x 2,当x 1高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
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