两类平均速度的计算公式及应用
两类特殊平均速度的计算公式及应用
我们知道，速度是用来表示物体运动快慢的物理量。对于速度公式t
s v
=，它
不仅适用于匀速直线运动，也适用于变速运动，只不过在变速运动中，它表示物体在通过路程s 中的平均速度．．．．。在各类物理考试与竞赛中，常常有两类特殊的平均速度计算问题出现。然而由于学生对“平均速度”概念内涵理解的不准确，缺乏深入的认识，往往导致一些“想当然”的错误。为了加深对“平均速度”的理解与应用，弄清知识的来龙去脉，下面就对这两类问题采用“由一般到特殊”的思维方法进行公式推导，并对公式作简要数学分析，从中寻求规律性的结论，以便我们灵活应用。
第1类问题 某物体以平均速度v 1行驶路程s 1，紧接着又以平均速度v 2行驶路程s 2。求该物体全程的平均速度全v 。
解：∵ 1
11
v s t =，2
22
v s t =
∴
全
v =
2
21
1212
121v s v s s s t t s s t
s ++=++=
2
1122121)(v s v s v v s s ++=
即
全
v =
21122121)(v s v s v v s s ++ （*）
若设m=
s
s 1=
2
11
s s s +，n=
s
s 2=2
12s s s +，则0 变形为 全 v = 2 121mv nv v v + ① 特别地，当s 1=s 2，即m=n=2 1时，公式①变形为全v = 2 1212v v v v + ② 至此，如果已知物体以不同的（平均）速度运动了两段相等的路程，用公式②计算全程的平均速度就能简化解题过程，提高解题效率。（见例1） 第2类问题 某物体在t 1时间内以平均速度v 1行驶，紧接着又在t 2时间内以 平均速度v 2行驶。求该物体全程的平均速度' 全v 。 解：∵ 111 t v s =，2 22t v s = ∴ ' 全 v = 2 12 2112 121t t t v t v t t s s t s ++= ++=2 12 211t t v t v t ++= 即 ' 全 v = 2 12 211t t v t v t ++ （**） 若设p=t t 1= 2 11t t t +，q=t t 2=2 12t t t +，则0 变形为 全 v =2 1 qv pv + ③ 特别地，当t 1=t 2，即p=q= 2 1时，公式③变形为' 全v = 2 2 1v v + ④ 所以，当已知物体以不同的（平均）速度在相等的时间内运动了两段不同的 路程，可以用公式④迅速计算出全程的平均速度。（见例2） 从公式①②③④可以看出，上述两类平均速度的计算问题中，全程的平均速度均与全程s 的具体数值无关。下面对公式①②③④作简要数学分析： 若假设0 （1）对于公式①②③④，均有v 1<全v 全v （2）对于公式②④，有全v <'全v 。 ⑥ 证明：（1）中的结论根据“平均”的概念可以很直观地得到。 （2）∵ 全v -' 全v = 2 1212v v v v +- 2 2 1v v += ) (2)(212 21v v v v +--<0 ∴ 全v <' 全v 公式⑤⑥对于解与两类特殊平均速度有关的选择题非常有用，应用它们能对 解答进行范围估计，从而可用筛选或排除法进行选择。（见例1） 公式应用举例： 例1、小红骑车上学，当她以4m/s 的速度骑完前一半路程时发现时间紧张，为了不迟到，她改用6m/s 的速度通过后一半路程，则她通过全程的平均速度是（ ） A 、5m/s B 、4.8m/s C 、5.2m/s D 、条件不足，无法判断 分析：此题属于第1类问题，由公式②易算得全v =4.8m/s ，故选B ；或由公式 ③算出' 全v =5m/s ，又由公式⑥可知全v <5m/s ，而选项中只有B 符合，故选B 。 例2、甲、乙两处相距1500．．．．m ．，小李从甲地出发，前一半时间内步行，速度为1.2m/s ，后一半时间内跑步，速度为2.4m/s ，求全程的平均速度。 分析：此题属于第2类问题，用公式③可以很快计算出' 全v =1.8m/s 。 注：计算过程中，我们根本没有使用数据“1500m ”，因为我们知道'全v 与全路 程s 无关，可给可不给，属多余条件或称为干扰条件。（思考：练习题中哪些数据是多余条件？） 例3、一人骑自行车从甲地到乙地，全程的平均速度为12km/h ，在前2/3路程上的平均速度为10km/h ，求后1/3路程上的平均速度是多少？（1998年四川省初二物理竞赛复赛试题） 分析：此题可用公式①来计算，其中全v =12km/s ，v 1=10km/h ，m=2/3，n=1/3，求v 2，即12= 2 2 32103110v v + ?，从而解得v 2=20km/h 。 练习： 1、汽车在平直的公路上从甲地开往乙地，它前一半时间内速度是v 1，后一半时间内速度是v 2，则在全程中的平均速度为（ ） A 、 2 121v v v v + B 、 2 2 1v v + C 、 2 1212v v v v + D 、 2 121v v v v + 2、甲、乙两地相距s ，小车以不变的速度v 1由甲地驶往乙地，又以更大的速度v 2驶回甲地，则小车往返甲、乙两地之间的平均速度为（ ） A 、 2 2 1v v + B 、 2 121v v v v + C 、 2 1212v v v v + D 、 2 121)(2v v v v + 3、一辆汽车从甲地驶往乙地的过程中，前一半路程内的平均速度是30km/h ，后一半路程内的平均速度是60km/h ，则在全路程内汽车的平均速度为（ ） A 、35km/h B 、40km/h C 、45km/h D 、50km/h 4、李明的家距学校600m ，某天他上学时，在前3/4时间内以1m/s 的速度走完前一段路程，为了不迟到，在后1/4时间内，他改用1.5m/s 的速度走完后一段路程，他上学走路的平均速度是（ ） A 、1.2m/s B 、1.125m/s C 、2m/s D 、2.5m/s 5、某滑冰运动员，滑一段斜坡，前半段的平均速度是v ，后半段的平均速度是前半段的一半，则他在全斜坡滑行的平均速度是（ ） A 、 v 3 1 B 、 v 4 3 C 、 v 3 2 D 、 v 3 4 6、甲、乙两同学从跑道一端前往另一端，甲在全程时间一半内跑，另一半时间内走；乙在全程的一半路程内跑，另一半路程内时间走，如果他们走和跑的速度分别都相等，则（ ） A 、甲先到终点 B 、乙先到终点 C 、同时到达终点 D 、无法判断 7、一辆汽车在平直的公路上行驶500m ，汽车通过前一半路程的平均速度为15m/s ，通过后一半路程的平均速度为10m/s ，则汽车在全程的平均速度是（ ） A 、12.5m/s B 、20m/s C 、15m/s D 、12m/s 8、一艘船在两地之间航行，顺水时船以速度v 1航行，逆水时船以速度v 2航行，那么一个来回船的平均速度是不是v = 2 2 1v v +?如果不是，该为多少？ 9、从火车上下来两个旅客，他们沿同一路线走向与车站距离为S 的同一地点，甲旅客一半时间行走的速度是v 1，另一半时间行走的速度是v 2。而乙旅客则用速度v 1走完前半程，用速度v 2走完后半程。若甲、乙两旅客从车站到达同一地点所用时间分别为t 1和t 2，则t 1= ，t 2= 。（1998年四川省初二物理竞赛复赛试题） 10、作变速直线运动的物体，若前一半时间内的平均速度为4m/s ，后一半时间内的平均速度为8m/s ，则全程的平均速度是多少？ 11、甲、乙两辆汽车同时由成都开往重庆。甲车在前一半路程中的速度为v 1，后一半路程中的速度为v 2(v 1≠v 2)；乙车在前一半时间内的速度为v 1，后一半时间内的速度为v 2。问：哪辆车先到达重庆？请加以证明。（第十二届全国初中物理知识竞赛初赛试题） 通过以上分析与练习，我们认识到：无论是基本概念还是重、难、疑点，只要在平时的学习过程中，注意对概念或公式的内涵进行深入的理解，抓住概念内在的规律性，我们就能举一反三、触类旁通，提高分析问题、解决问题的能力。 Keys of exercises ： 1、B 2、C 3、B 4、B 5、C 6、A 7、D 8、不是；v = 2 1212v v v v + 9、 12 2S v v +； 1212 2v v S v v + 10、6m/s 11、甲先到达重庆；（证明参照公式⑥ 的证明过程） 说明：第2、3、5、7、8小题均可用公式②求解；第1、10小题用公式④解；第4小题用公式③解；第6、9、11小题用公式②④求解。另外第5、7小题还可用公式④⑤⑥求解。 第七讲速度公式和位移公式应用 一、可逆思路在物理上的应用。 有的时候，物理本身的题型并不复杂，但是如果直观正面去分析它，可能会使题目分析起来比较麻烦，这个时候我们可以把原来的运动倒过来看看，也就是说将原来的初速度看成是末速度，原来的加速运动看成是减速运动，这样可以利用其中运动的一些特点（如初速度为零）等等，将原本复杂的物理思路理顺，这一点在解物理题目的过程中显得非常重要。 1、做匀减速直线运动的物体经过4s 后停下来，若在第1秒内的位移是14m ，则最后1秒的位移是多少？ 二、分段求法在物理上的应用. 当物体的初速度为零时（或自由落体运动时），经常要求如第2秒内的位移，第二个5秒内的位移或求通过第10米所需要的时间等等，这类题如果直接求时间会比较麻烦，因此可以通过分段求法来求相应的位移或时间。 2、一个物体向下做匀加速运动，初速度为零，加速度为10 m/s 2.在到达地面前最后1 s 内通过的位移是整个位移的 25 9，塔高为多少米？ 练习 1．一辆汽车以1m／s2的加速度做匀减速直线运动，经过 6 s(汽车未停下)汽车行驶了102m．汽车开始减速时的速度是多少? 2、火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为l0.8 km／h，1 min后变成54km ／h，再经一段时间，火车的速度达到64.8 km／h．求所述过程中，火车的位移是多少? 3.某物体做匀加速直线运动，经测得从某时刻开始前4 s内的位移为24 m，第二个4 s内的位移是60 m，则物体的加速度是多少？开始时的速度为多少？ 4.汽车由静止出发做匀加速直线运动，用10s时间通过一座长140m的桥，过桥后速度是16m/s，求： （1）它刚开上桥头时速度有多大？ （2）桥头与出发点相距多远？（汽车自身长度忽略不计） 5、做匀减速直线运动的物体经过4s后停下来，若在第1秒内的位移是14m，则最后1秒的位移是多少？ 6．一列火车由车站开出做匀加速直线运动时，值班员站在第一节车厢前端的旁边，第一节车厢经过他历时4 s，整个列车经过他历时20 s，设各节车厢等长，车厢连接处的长度不计，求：（1）这列火车共有多少节车厢？ （2）最后九节车厢经过他身旁历时多少？ 小学数学应用题常用公式大全 1、【和差问题公式】(和+差)÷2=较大数； (和-差)÷2=较小数。 2、【和倍问题公式】 和÷(倍数+1)=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或和-一倍数=另一数。 3、【差倍问题公式】 差÷(倍数-1)=较小数； 较小数×倍数=较大数， 或较小数+差=较大数。 4、【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。 5、【一般行程问题公式】 平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。 6、【反向行程问题公式】 反向行程问题可以分为“相遇问题”(二人从两地出发，相向而行)和“相离问题”(两人背向而行)两种。这两种题，都可用下面的公式解答： (速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程； 相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间； 相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。 7、【同向行程问题公式】 追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间； 追及(拉开)路程÷追及(拉开)时间=速度差； (速度差)×追及(拉开)时间=追及(拉开)路程。 8、【列车过桥问题公式】 (桥长+列车长)÷速度=过桥时间； (桥长+列车长)÷过桥时间=速度； 速度×过桥时间=桥、车长度之和。 9、【行船问题公式】 (1)一般公式： 静水速度(船速)+水流速度(水速)=顺水速度； 船速-水速=逆水速度； (顺水速度+逆水速度)÷2=船速； (顺水速度-逆水速度)÷2=水速。 (2)两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 (3)两船同向航行的公式： 后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度。 (求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目)。 一、平均速度公式的巧用均速度公式 v平＝（v0＋v）/2 x=vt 欧阳歌谷（2021.02.01） 1、一辆汽车在4 s内做匀加速直线运动，初速为2 m/s，末速为10 m/s，在这段时间内 （1）汽车的加速度为多少？ （2）汽车的位移为多少？ （3）汽车的平均速度为多少？ 2、从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。则汽车的最大速度为多少？3．一辆车以10 m/s的速度匀速行驶，在距车站25 m时开始制 动，使车匀减速前进，到车站时恰好停下．求：车从制动到停下来经历的时间． 4、汽车从静止起做匀加速运动，速度达到v时立即做匀减速运动，最后停止，全部时间为t，则汽车通过的全部位移为多少？ 二、v－t图象的物理意义及应用 1．某质点沿一直线运动，其v－t图象如图所示，则下列说法中正确的是() A．第1 s内和第2 s内质点的速度方向相反 B．第1 s内和第4 s内质点的速度方向相同 C．第1 s内质点向前运动，第2 s内质点向后运动，2 s末质点回到出发点 D．第一个2 s内质点向前运动，第二个2 s内质点向后运动，4 s 末质点回到出发点 2、甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度时间图象如图所示，则下列说法中正确的是 A. 两物体两次相遇的时刻是2s末和 6s末 B. 4s末甲在乙前面 C. 在内，两物体相距最远的时刻 是1s末D. 乙物体先向前运动2s，随后向后运动 3、甲、乙两个物体在t=0时的 位置如图a所示，它们沿x轴正 方向运动的速度图象分别如图b 中图线甲、乙所示，则（） A．t=2s时甲追上乙 一、年均增长率的概念分析 我们首先必须区分开年增长率、年均增长率以及年平均增长率这三个概念，年增长率是我们最常见的，是考试的重点，它指的是末期增加值与基期的比值，表示的是相邻年份的增长情况，通常针对的是某一年，如2006年某省地区生产总值的年增长率，对应的公式就是年增长率=增加量/基期=（末期-基期）/基期。 年平均增长率与年均增长率在近几年行测考试中的区分性已经很小，在这里我们也就不做区分了，免得更加混乱，在下面的讲解我们就将这两者统一为年均增长率。 年均增长率，表示的是一段时间的某个指标的增长情况，我们用专业术语表达的话应该是这样的，如果第1年为M，第n+1年为N，且N/M=（1+r）n，则称r为第1~n+1年的年均增长率，如2006~2011年某省地区生产总值的年平均增长率，对应的公式就是年均增长率=。我们先看个例题。 【例题】2001年以来，中央重点新闻网站的访问量，以平均每月递增12%的速度上升。目前中国互联网产业对GDP的贡献达到7%，而未来三年有可能达到15%。求：2001年以来，中央重点新闻网站访问量的年平均递增速度是（）。 A．1.1212 B．1.1212-1 C．0.1212 D．0.12 【分析】这个试题就是考察的年均增长率，题目变化一下就是2001~2002年的年均增长率。假设2000年12月的访问量为1，那么2001年12月就是1×（1+12%）12，那么年均增长率就1×（1+12%）12÷1-1=1.1212-1。 二、年均增长率解题技巧 年均增长率，在求解的时候，涉及到多次方数，相对比较复杂，在解题时，如果没有什么思路，可以选择放弃，否则肯定会浪费时间，但是对于年均增长率，并不是没有方法解答，下面我们讲解几种比较常用的解题方法。 （一）二项式定理的应用 什么是二项式定理呢，它就是我们高中学到的多次方的展开式，我们先看看这个展开式是什么样的，。 一般年均增长率有（1+r）n=N/M，计算式和二项式定理很相似吧，那好，我们就用这个来分析，也就是a=1，b=r，此时二项式就可以化为，当r很小，在10%以内的时候，r2，r3，…，r n无限趋近于0，此时，有（1+r）n≈1+n×r。这个公式可以应用在两个情况下。 1、已知基期的数值，年均增长率，求末期的数据，此时就采用（1+r）n≈1+n×r；我们 看个例题。 【例】：若南亚地区1992年总人口数为15亿，该地区平均人口增长率为2%，饥饿人口所占比重为22%，那么2002年南亚地区饥饿人口总量为多少亿人？ A．3.30 B．3.96 C．4.02 D．4.82 【分析】我们必须先求出2002年人口总量，然后才能求解饥饿人口，人口年均增长率只有2%，很小，就直接用公式吧。 2002年人口总量将达到15×（1+2%）10≈15×（1+10×2%）=15×1.2=18，饥饿人口数量 第4讲平均速度和瞬时速度公式的辨析 【概念辨析】 一、平均速度与平均速率的区别与联系 跟位移和路程关系相类似，平均速度的大小一般不等于平均速率，只有向直线运动中，平均速度的大小才等于平均速率。在这种情况下也不能说成平均速度就是平均速率，这是因为平均速度有方向，平均速率无方向 二、平均速度与瞬时速度的比较 （1）平均速度是与某一过程中的一段位移、一段时间对应，而瞬时速度是与某一位置、某一时刻对应。 （2）平均速度粗略描述运动的快慢和方向，方向与所对应时间内位移的方向相同；瞬时速度精确描述运动的快慢和方向，方向与物体所在位置的运动方向一致。 （3）在匀速直线运动中，各点的瞬时速度都相等，所以任意一段时间内的平均速度等于任一时刻的瞬时速度。 【对点题组】 1．下面关于瞬时速度和平均速度的说法正确的是( ) A．若物体在某段时间内每时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零 B．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定等于零 C．匀速直线运动中任意一段时间内的平均速度都等于它任一时刻的瞬时速度 D．变速直线运动中任意一段时间内的平均速度一定不等于它某一时刻的瞬时速度 2．三个质点A、B、C同时从N点出发，同时到达M点，三质点的运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（） A．三个质点从N到M的平均速度相同 B．B质点从N到M的平均速度方向与任意时刻瞬时速度方向相同 C．到达M点的瞬时速率一定是A的大 D．三个质点从N到M的平均速率相同 3.成都二十中正在举行班级对抗赛，张明同学是短跑运动员，在百米竞赛中，测得他在6s 末的速度为9.5 m/s，12.5 s末到达终点的速度为9.8 m/s，则他在全程中的平均速度为（） A．9.5 m/s B．9.8 m/s C．10. m/s D．8.0m/s 4.公路上用单点测速仪测车速，但个别司机由于熟知测速点的位置，在通过测速点前采取刹车降低车速来逃避处罚，却很容易造成追尾事故，所以有些地方已开始采用区间测速，下列说法正确的是( ) A．单点测速测的是汽车的瞬时速率 B．单点测速测的是汽车的平均速率 C．区间测速测的是汽车的瞬时速率 D．区间测速测的是汽车的平均速率 5.使公路交通有序、安全，路旁立了许多交通标志．如下图所示，甲图是限速标志，表示允许行驶的最大速度是80 km/h；乙图是路线指示标志，表示到杭州还有100 km.上述两个数据的物理意义是() A．80 km/h是平均速度，100 km是位移 近几年的行测资料分析，试题的难度变大，并且资料分析的试题经常会出现“年均增长率”这个概念，好多考生就会很纳闷，哎，不是增长率或者年增长率吗，怎么出来了“均”呢？这是什么意思呢？怎么有的还有“年平均增长率”，这些都十分的相像啊，有什么差别呢？行测资料分析怎么考这么相像的概念啊！不要着急，咱们慢慢的往下看。 一、年均增长率的概念分析 我们首先必须区分开年增长率、年均增长率以及年平均增长率这三个概念，年增长率是我们最常见的，是考试的重点，它指的是末期增加值与基期的比值，表示的是相邻年份的增长情况，通常针对的是某一年，如2006年某省地区生产总值的年增长率，对应的公式就是年增长率=增加量/基期=（末期-基期）/基期。 年平均增长率与年均增长率在近几年行测考试中的区分性已经很小，在这里我们也就不做区分了，免得更加混乱，在下面的讲解我们就将这两者统一为年均增长率。 年均增长率，表示的是一段时间的某个指标的增长情况，我们用专业术语表达的话应该是这样的，如果第1年为M，第n+1年为N，且N/M=（1+r）n，则称r为第1~n+1年的年均增长率，如2006~2011年某省地区生产总值的年平均增长率，对应的公式就是年均增 长率=。我们先看个例题。 ******************************************************************************* ** 2001年以来，中央重点新闻网站的访问量，以平均每月递增12%的速度上升。目前中国互联网产业对GDP的贡献达到7%，而未来三年有可能达到15%。 例：2001年以来，中央重点新闻网站访问量的年平均递增速度是（）。 A．1.1212 B．1.1212-1 C．0.1212 D．0.12 【分析】这个试题就是考察的年均增长率，题目变化一下就是2001~2002年的年均增长率。假设2000年12月的访问量为1，那么2001年12月就是1×（1+12%）12，那么年均增长率就1×（1+12%）12÷1-1=1.1212-1。 ******************************************************************************* ** 二、年均增长率解题技巧 年均增长率，在求解的时候，涉及到多次方数，相对比较复杂，在解题时，如果没有什么思路，可以选择放弃，否则肯定会浪费时间，但是对于年均增长率，并不是没有方法解答，下面我们讲解几种比较常用的解题方法。 （一）二项式定理的应用 什么是二项式定理呢，它就是我们高中学到的多次方的展开式，我们先看看这个展开式是什么样的，。 一般年均增长率有（1+r）n=N/M，计算式和二项式定理很相似吧，那好，我们就用这个来分析，也就是a=1，b=r，此时二项式就可以化为 ，当r很小，在10%以内的时候，r2，r3，…，r n无 万诚机电工控产品网https://www.360docs.net/doc/981498083.html, 万诚仪器设备网https://www.360docs.net/doc/981498083.html, 加速度公式与应用 重力加速度 地球表面附近的物体因受重力产生的加速度叫做重力加速度，也叫自由落体加速度，用g表示。 重力加速度g的方向总是竖直向下的。在同一地区的同一高度，任何物体的重力加速度都是相同的。重力加速度的数值随海拔高度增大而减小。当物体距地面高度远远小于地球半径时，g变化不大。而离地面高度较大时，重力加速度g 数值显著减小，此时不能认为g为常数 距离面同一高度的重力加速度，也会随着纬度的升高而变大。由于重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供了物体绕地轴作圆周运动所需要的向心力。物体所处的地理位置纬度越高，圆周运动轨道半径越小，需要的向心力也越小，重力将随之增大，重力加速度也变大。地理南北两极处的圆周运动轨道半径为0，需要的向心力也为0，重力等于万有引力，此时的重力加速度也达到最大。 由于g随纬度变化不大，因此国际上将在纬度45°的海平面精确测得物体的重力加速度g=9.80665m/s^2;作为重力加速度的标准值。在解决地球表面附近的问题中，通常将g作为常数，在一般计算中可以取g=9.80m/s^2;。理论分析及精确实验都表明，随纬度提高，重力加速度g的数略有增大， 公式：a＝0.002×D×f2 注：a:加速度值（单位g） 0.002：公式中换算常数. D：设备振动幅值（单位mm） f：设备运行频率（单位Hz） 例：知f＝30Hz D＝0.75mm 求：加速度a a＝0.002×0.75×302 a＝1.35g 例：知：f＝55Hz D＝0.75mm 求：加速度a a＝0.002×0.75×552 a＝4.54g 1 g=9.8 m/s^2（读作米每二次方秒）。 甲 乙 速度计算题 一、比值问题 甲、乙两个运动员爬两个山坡，已知他们的爬山速度比是2：3，两个山坡的长度比是4：3，则他们爬到坡上的时间比是多少？ 二、过桥（山洞或隧道）问题 一列长200米的火车，以12m/s 的速度通过4000米的大桥， （1）要完全通过大桥需要多长时间？ （2）火车全部在大桥上运行的时间？ 三、平均速度 1、已知前段路程和后段路程的平均速度，求整段路程的平均速度 汽车在平直的公路上行驶，前一半路程的速度为6m/s ，后一半路程的速度为4m/s ，求汽车全程的平均速度。 2、已知前半段时间和后半段时间的平均速度，求整段时间的平均速度 汽车在高速公路上做直线运动，前一半时间的平均速度是30m/s ，后一半时间的平均速度是60m/s ，则物体在整段时间中的平均速度为多少？ 四、交通标志牌 1、如图所示为某交通标志牌，（1）请你说出这两个数据的含义， 甲“80”的含义： ， 乙“南京市60km ”的含义： 。 （2）按这样的速度到南京还需的时间至少需要多少小时？ 五、速度计、里程表、里程碑 1、一辆汽车行驶在合肥到南京的高速公路上，汽车上的速度表指针始终指在如图所示的位置.汽车由图中所示的位置A 处行驶到B 处，需要多少时间？ 六、图像问题 1、甲乙两同学沿平直路面步行，他们运动的路程随时间变化的 规律如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A ．甲同学比乙同学晚出发4s B ．4s ﹣8s 内，甲乙同学都做匀速直线运动 C ．0﹣8s 内．甲乙两同学运动的路程相等 D ．8s 末甲乙两同学速度相等 2. 如图是甲、乙两辆同时从同一地点出发的小车的s ﹣t 图象，由图象可知（ ） A ．7～20秒钟乙车做匀速直线运动 B ．在0～5秒时间内，乙车的速度比甲车的速度大 C ．第10秒钟时，甲、乙两车速度相同 D ．经过5秒钟，甲车通过的路程比乙车大 ?平均速度公式: V=。 某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度: 。 某段位移的中间位置的瞬时速度公式: 。无论匀加速还就是匀减速,都有。 匀变速直线运动中,在任意两个连续相等的时间T内的位移差值就是恒量,即ΔS=S n+l–S n=aT2=恒量。 ?初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系推导: 初速度为零的匀加速直线运动(设其为等分时间间隔): ①t秒末、2t秒末、……nt秒末的速度之比:(V t=V0+at=0+at=at)V1:V2:V3…… V n=at:a2t:a3t…:ant=1:2:3…:n ②前一个t秒内、前二个t秒内、……前N个t秒内的位移之比:S1=v0t+at2=0+at2= at2;S2=v0t+a(2t)2=2at2;S3=v0t+at2=a(3t)2=at2;S n=v0t+at2=a(nt)2= at2。S1:S2:S3……、S n=at2:2at2:at2……at2=1:22:32…、N2 ③第1个t秒内、第2个t秒内、……-第n个t秒内的位移之比: (初速度为0) (初速度为at) (初速度为2at) S n=(初速度为) 所以第一个t内、第二个t内、第三个t内……的位移之比为:sⅠ:sⅡ:s Ⅲ:……:sN=1:3:5:……:(2N-1); ④前一个s、前两个s、前三个s……所用的时间之比为: 因为初速度为0,所以 因此前一个s、前两个s、前三个s……所用的时间之比 为:t1:t2:t3:……:tn=1:……: ⑤第一个s、第二个s、第三个s……所用的时间之比为tⅠ、tⅡ、tⅢ:……: 第一个s、第二个s、第三个s……所用的时间之比为tⅠ、tⅡ、t Ⅲ:……:tN=1:……: 。 基期为负数时的增长率计算 此公式应用广泛，基本应用于所有比例类数据的计算，如：工资总额、人均工资、利润人力等增长率的计算应用。这个计算有其不足，无法体现统计期间的波动，即假如：2008年100万，2009年250万，2010年100万，其计算增长率为零。 如果要体现波动，建议还是用逐年比率波动来表达。 一、利润增长率计算 应用于逐年利润增长率计算 1、当基期数据为正数时，公式：利润增长率=（报告期水平/基期水平-1）*100%，应用于企业非亏损状态。 2、当基期数据为负数时，公式：亏损增长率=[1-(报告期水平/基期水 平)]*100%，应用于企业亏损状态或亏转盈状态。 举例1： 说明基期报告期增长率公式套用 年度2003 2004 利润1 1000 1200 20% =（1200/1000-1）*100% 利润2 1000 -500 -150% =（-500/1000-1）*100% 举例2： 说明基期报告期增长率公式套用 年度2003 2004 利润1 -1000 -500 50% =[1-(-500/-1000)]*100% 利润2 -1000 25 102.5% =[1-(25/-1000)]*100% 二、年均利润增长率的计算 应用于连续几年平均利润增长率计算，注意了，年均增长率不是单纯的各年增长率平均值也不是总增长率除年数，而是有公式计算的。 基本公式：利润增长率=[（报告期/基期）^（1/n）-1]×100% ，n=年数,这是个可以copy至excel使用。 公式解读：报告期/基期为期间总增长率，报告期与基期跨越年份数进行开方，如7年则开7次方，7年资产总增长指数开方（指数平均化），再-1计算其实际年均增长率。 1、当基期数据为正数时，n年数据的利润增长率=[（报告期/基期） ^(1/n)-1]×100% 2、当基期数据为负数时，n年数据的亏损增长率=[1-（报告期/基 数）]^(1/n）]×100% 说明基期报告期n 增长率公式套用 年度2003 2010 7 利润1 1000 2000 7 10% =[(2000/1000）^(1/7)-1]×100% 利润2 1000 -500 7 -191% =[(-500/1000）^(1/7)-1]×100% 举例2： 说明基期报告期n 增长率公式套用 年度2003 2010 7 利润1 -1000 -100 7 99% =[1-（-100/-1000）]^(1/7）]×100% 利润2 -1000 1000 7 110% =[1-（1000/-1000）]^(1/7）]×100% 另外要注意的是年数。有的说2003年到2010年应该是8年,其他我们说的 应用公式的速度计算题 一.路线垂直(时间相同)问题 1．子弹在离人17m处以680m／s的速度离开枪口,若声音在空气中的速度为340m／s,当人听到枪声时,子弹己前进了多少? 2.飞机速是声速的1.5倍飞行高度为2720m,,当你听到飞机的轰鸣声时,抬头观看飞机已飞到你前方多远的地方?(15℃) 二.列车(队伍)过桥问题(总路程=车长+桥长) 3.长130米的列车,以16米/秒的速度正在速度正在行驶,它通过一个隧道用了48秒,这个隧道长多少米？ 4.长20m的一列火车，以36km/h的速度匀速通过一铁桥，铁桥长980m．问这列火车过桥要用多少时间？ 三.平均速度问题(总路程/总时间) 5.汽车先以4米/秒的速度开行20秒,接着又以7.5米/秒的速度开行20秒,最后改用36千米/小时的速度开行5分种到达目的地,求:(1)汽车在前40秒内的平均速度；（2）整个路程的平均速度。 6.汽车从A站出发,以90Km/h的速度行驶了20min后到达B站,又以60Km/h 的速度行驶了10min到达C站,问（1）两站相距多远？（2）汽车从A站到C站的平均速度? 四.回声问题(时间相同) 7.一辆汽车以15m/s的速度正对山崖行驶,鸣笛后2s听到回声,问: （1）鸣笛处距山崖离多远? （2）听到回声时,距山崖多远？ 8.一辆匀速行驶的汽车在离高楼500m处鸣笛,汽车直线向前行驶20m后,司机刚好听到鸣笛的回声,求汽车的速度(15℃ 五.声速问题 9.一门反坦克炮瞄准一辆坦克,开炮后经过0.6s看到炮弹在坦克上爆炸,经过2.1s听到爆炸的声音,求:(1)大炮距坦克多远？（2）炮弹的飞行速度多大？ 10.甲同学把耳朵贴在长铁管的某一端,乙同学在长铁管的另一端敲一下这根铁管,甲同学先后听到两次响声,其时间差0.7s,试计算铁管有多长(声音在铁中速度为5100m/s,空气的速度为340m/s)? 六.声速测距问题 11.已知超声波在海水找能够传播速度是1450米/秒,若将超声波垂直想海底发射出信号,经过4秒钟后收到反射回来的波,求海洋深度是多少? 12.在一次爆破中,用一根长1m的导火线引爆炸药,导火线以0.5cm/s的速度燃烧,点火者点着导火线后以4m/s的速度跑开,他能否在爆炸前跑到离爆炸地点600m的安全地区？ 速度的计算 1、场地自行车赛的赛道是圆形的，该圆形赛道的半径为R，甲、乙两运动员沿赛道骑自行车的速度为V1和V2，且V1>V2，两同学在同一起点开始沿相同方向骑自行车，则两人第一次相遇的时间是（用题中字母表示结果） 2、如图所示，甲、乙两人同时从A地出发．其中，甲沿直线AB朝正北方向匀速运动，乙沿直线AC朝正东方向匀速运动．甲运动的速度是乙的2倍，经过3分钟，甲到达B地后，立即改变运动方向并保持速度大小不变，马上沿直线向C地运动，恰好在C地与乙相遇．则乙从A地运动到C地的时间为多少分钟？ 3、有甲、乙两村，分别在同一座山的山南山北，两村之间全是上下山路。某人上山速度4km/h，下山速度是8km/h，从甲村到乙村要走7h，从乙村到甲村要走5h,问两村之间的路程有多长？ 4、一列长为s的队伍以速度V沿笔直的公路匀速前进。一个传令兵以较快的速度V’从队末向队首传递文件，又立即以同样速度返回到队末。如果不计递交文件的时间，那么这传令兵往返一次所需时间是多少 5、声音在金属中的传播速度比在空气中大。已知声音在空气中传播距离s和在某金属管道内传播同样距离所需时间之差为t，且已知声音在空气中的传播速度为v，则声音在该金属管道内的传播速度是（） 6、一人站在匀速运动的自动扶梯上，经时间20s到楼上，若自动扶梯不动，人沿扶梯匀速上楼需要时间30s，当自动扶梯匀速运动的同时，人沿扶梯匀速(相对扶梯的速度不变)上楼，则人到达楼上所需的时间为______ 7、水平人行道上的路灯离地5.25m高，身高1.75m的人从路灯正下方匀速通过，若他头部在路面上的影子向前移动的速度为1.5m/s，求此人走路的速度？ 两类特殊平均速度地计算公式及应用 s 我们知道，速度是用来表示物体运动快慢地物理量 .对于速度公式 v s ，它不 仅适用于匀速直线运动，也适用于变速运动，只不过在变速运动中，它表示物体 在通过路程 s 中地平．均．速．度．.在各类物理考试与竞赛中，常常有两类特殊地平均速 度计算问题出现 .然而由于学生对“平均速度”概念内涵理解地不准确，缺乏深入 地认识，往往导致一些“想当然”地错误 .为了加深对“平均速度”地理解与应用， 弄清知识地来龙去脉，下面就对这两类问题采用“由一般到特殊”地思维方法进 行公式推导，并对公式作简要数学分析，从中寻求规律性地结论，以便我们灵活 应用. 第 1 类问题 某物体以平均速度 v 1 行驶路程 s 1，紧接着又以平均速度 v 2 行驶路程 s 2.求该物体全程地平均速度 v 全 .b5E2RGbCAP 解：∵ t1 s1 ， t2 s2 v 1 v 2 s s 1 s 2 s 1 s 2 (s 1 s 2 )v 1v 2 ∴ v 全 = t t 1 t 2 s 1 s 2 s 2v 1 s 1v 2 v 1 v 2 即 v 全= (s 1 s 2)v 1v 2 (*) s 2v 1 s 1v 2 若设 m= s 1 = s1 ，n=s 2 = s2 ，则 0 一、平均速度公式的巧用均速度公式v平＝（v0＋v）/2 x=vt 1、一辆汽车在4 s内做匀加速直线运动，初速为2 m/s，末速为10 m/s，在这段时间内（1）汽车的加速度为多少？ （2）汽车的位移为多少？ （3）汽车的平均速度为多少？ 2、从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。则汽车的最大速度为多少？ 3．一辆车以10 m/s的速度匀速行驶，在距车站25 m时开始制动，使车匀减速前进，到车站时恰好停下．求：车从制动到停下来经历的时间． 4、汽车从静止起做匀加速运动，速度达到v时立即做匀减速运动，最后停止，全部时间为t，则汽车通过的全部位移为多少？ 二、v－t图象的物理意义及应用 1．某质点沿一直线运动，其v－t图象如图所示，则下列说法中正确的是() A．第1 s内和第2 s内质点的速度方向相反 B．第1 s内和第4 s内质点的速度方向相同 C．第1 s内质点向前运动，第2 s内质点向后运动，2 s末质点回到出发点 D．第一个2 s内质点向前运动，第二个2 s内质点向后运动，4 s末质点回到出发点 2、甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度时间图象如图所示，则下列说法中正确的是 A. 两物体两次相遇的时刻是2s末和6s末 B. 4s末甲在乙前面 C. 在～内，两物体相距最远的时刻是1s末 D. 乙物体先向前运动2s，随后向后运动 3、甲、乙两个物体在t=0时的位置如图a所示，它们沿x轴正方向运动的速度图象分别如图b中图线甲、乙所示，则（） A．t=2s时甲追上乙 B．t=4s时甲追上乙 C．甲追上乙前t=1s时二者相距最远 D．甲追上乙前t=3s时二者相距最远 4、A．B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v﹣t 图象如图所示．在t=0时刻，B在A的前面，两物体相距9m，B物体在滑动摩擦力作用下做减速运动的加速度大小为2m/s2，则A物体追上B物体所用时间是（） A．3s B．5s C．7.5s D．8.5s 一元一次方程的应用公式 Prepared on 22 November 2020 一元一次方程的应用公式 【和差问题公式】（和+差）÷2=较大数；（和-差）÷2=较小数。 【和倍问题公式】和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数，或和-一倍数=另一数。 【差倍问题公式】差÷（倍数-1）=较小数； \ 较小数×倍数=较大数，或较小数+差=较大数。 【平均数问题公式】总数量÷总份数=平均数。 【一般行程问题公式】平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。 【反向行程问题公式】 反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。 这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差； （速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 【列车过桥问题公式】（桥长+列车长）÷速度=过桥时间； （桥长+列车长）÷过桥时间=速度；速度×过桥时间=桥、车长度之和。【行船问题公式】 （1）一般公式：静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度； 船速-水速=逆水速度； （顺水速度+逆水速度）÷2=船速；（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。 （2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。 （求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。 【工程问题公式】 （1）一般公式：工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时。 （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。 （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。） 【盈亏问题公式】 （1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式： （盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 （2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。 实验八平均速度与瞬时速度的关系 实验目的 掌握“瞬时速度就是平均速度极限”的概念。 实验原理 选取物体运动过程中的某一段位移s并测量该物体在s内的平均速度v。如果使s逐渐减小，则v将逐渐趋近于某一定值，该定值（平均速度的极限）即为物体运动的瞬时速度。 实验器材 朗威DISLab、计算机、DISLab力学轨道及配套小车、挡光片等。 实验装置图 同实验七。 实验过程与数据分析 1．使用DISLab力学轨道附件中的“I”型支架将两只光电门传感器固定在力学轨道一侧，将光电门分别接入数据采集器的第一、二通道； 2．将轨道的一端调高，小车上安装宽度为0.020m的“I”型挡光片，调整光电门的位置使小车及挡光片能够顺利通过并挡光； 3．打开“计算表格”，点击“变量”，启用“挡光片经过两个光电门的时间”功能，软件默认变量为t12。定义“变量s”为两光电门传感器之间的距离； 4．点击“开始”，令小车从轨道的高端下滑，使挡光片依次通过两光电门； 5．保持靠近小车起点的光电门位置不变，逐次移动另一只光电门向其靠近，手动输入两只光电门之间的距离s，令小车从同一位置下滑，测量多次后点击“停止”； 6．点击“公式”，选择力学公式库中的“平均速度”，正确选择公式变量，得出实验结果（图8-1，单位m/s）； 图8-1 s逐渐减小时平均速度向定值的趋近 7．观察可见，随着s或t12值的减小，速度越来越趋近于某个定值，该定值即为小车通过第一只光电门时瞬时速度； 8．点击“绘图”，选取X轴为位移“s”，Y轴为平均速度“v”，点击“拟合”，选取“线性拟合”，得拟合图线（图8-2）。由该图线的直线方程：“y=0.2947x+0.5334”，得其在Y轴上的截距为0.533。该截距的物理意义即为小车通过第一只光电门时的瞬时速度。 图8-2 测量数据的线性拟合 建议： 本实验亦可使用朗威?DISLab教材专用软件来作，此时使用一只光电门即可。详见《用户手册》“瞬时速度的测定”实验。 行程问题解题技巧 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。 求解平均速度的三种方法 平均速度是初中物理中的重点与难点知识，许多学生不容易理解与掌握，常常出现错误，这部分内容常与数学紧密联系在一起，综合性较强，为了帮助同学们正确掌握这部分知识点，现将求解平均速度的一般方法总结出来，供大家参考． 方法一、直接运用公式 计算平均速度的一般方法是用公式υ=t S ，式中的s 是指运动物体的总路程，t 是指运用物体所经历的总时间，总路程与总时间的比值就是运动物体的平均速度。 例1 一个运动物体在2h 内运动了36km 路程，则这个运动物体的平均速度是 m/s 。 解析 由平均速度的计算公式υ=t S 可得υ=t S =s m 3600236000?=5m/s ． 小结 要求出一个运动物体的平均速度就是要知道这个运动物体的路程与它运动的时间，将单位转化统一后再运用求解平均速度的公式υ= t S 来求解． 方法二、时间分解法 所谓时间分解法，就是将运动物体的时间进行分解为两个相等的部分再进行计算，从而得出正确答案来的一种方法．如果已知某个运动物体的运动时间共分多个相等的部分来进行计算，t 1、t 2与t ，最后将几个时间加起来成总时间t ．再运用求解平均速度的公式υ=t S 来计算． 例 2 一辆汽车从甲地拉一批货物到丙地，途经乙地，已知汽车前一半时间从甲地到乙地的速度为40 km/h ，而后一半时间从乙地到丙地的速度为50km/h ，求汽车全程的平均速度是多少？ 解析 汽车整个运动时间是t ，前一半时间为t 1=2t ，后一半时间也为t 2=2 t ，则由平均速度公式的υ=t S =t t t 2221?+?υυ=21×（1υ+υ2）=2 1×（40 km/h+50km/h ）=45 km/h ． 小结 所谓时间分解法就是在已知将总时间t 时，将运动物体各个阶段的时间进行分解，再结合速度的计算公式来进行计算的一种方法,上述的例子是将时间分解成两个阶段，如果有更多的时间则同样采用这个方法来计算． 方法三、路程分解法 所谓路程分解法，就是将运动物体所运动的路程进行分解成相等的两个或多个来进行计算的方法。 例 3 一辆汽车从甲地拉一批货物到丙地，途经乙地，已知汽车前一半路程中的速度为40从甲地到乙地的速度为40 km/h ，而后一半路程的速度为50km/h ，求汽车全程的平均速度是多少？ 解析 由平均速度的计算公式 υ=t S =2 12 121υυS S S +=2 1212υυυυ+=h km h km h km h km /50/40/50/402+??≈44．4km/h ． 合成增长率 数量分别为A与B的两个部分，分别增长a%与b%，那么A与B整体增长率 R(称为A与B的合成增长率)满足以下关系： 合成增长率= (A×a% + B×b%)(A+B) 混合增长率 如果第2期相对第1期的增长率为R1，第3期相对第2期的增长率为R2，第N+1期相对第N期的增长率为Rn，那么第N+1期相对与第1期的增长率R，称为 R1、R2…Rn的混合增长率。 混合增长率 = （末期数÷ 基期数）-1 = [基期数×（1+R1）×（1+R2）…×（1+Rn）] ÷ 基期数 =（1+R1）×（1+R2）…×（1+Rn） 如：我国1978年度小麦产量为5384万吨，到1992年度小麦产量为10159万吨。求小麦产量在这段时间内的混合增长率。 从1978年到1992年共经历了14年，混合增长率 = （101459-5384）-1 ≈ 89% 平均增长率 如果第1期的值为A1，N期之后的第N+1的值为An+1，那么第1期到第N+1期的平均增长率满足以下关系： An+1 = A1 × （1+ 平均增长率）n或者An+1÷ A1 =（1+ 平均增长率）n 备注：以年为周期的平均增长率，被称为“年平均增长率”或者“年均增长率”、“年均增幅”、“年均增速”。 年均增长率与各年增长率之间的关系 年均增长率≈各年增长率之和÷ 总年数（结果一般比真实值略大一些） 如：某镇人口2007年上涨了5.2%，2008年有上涨了3.8%，则2006年-2008年，该镇的平均人口增长率是多少？ A 4.5% B 4.8% C 4.0% D 9.0% （5.2%+3.8%）/2 = 4.5% 年均增长率与混合增长率之间的关系 混合增长率≈总年数×年均增长率 + [总年数（总年数-1）/2] ×年均增长率的平方（结果一般比真实值略小一些） 混合增长率＞总年数×年均增长率或者年均增长率＜混合增长率/总年数 如：南亚地区1992年总人口数为15亿，该地区平均人口年增长率为2%，那么2002年南亚地区总人口为多少亿人？A 18.00 B 18.28 C 18.54 D 18.94 2002年的增长率= 10×2% + [（10×9）/2] ×2%×2% = 21.8% 2002年的总人口 = 15（1+21.8%） = 18.27 翻番近似公式 速度和平均速度物理教案 教学目标 知识目标： 1．知道匀速直线运动速度的定义、公式． 2．知道速度的单位“米/秒”和“千米/秒”及换算关系． 3．变速运动和变速运动的平均速度． 能力目标： 1．思维能力：从日常生活中比较物体运动快慢来建立速度的概念，并思考比较快慢的两种方法． 2．应用物理知识解决实际问题的能力：应用于实践，并初步了解物理计算的解题思路和规则． 情感目标： 养成良好的学习习惯，规范解题步骤，养成认真细致的学习习惯． 教学建议 "机械运动"教材分析 教材首先通过三个问题使学生领会要比较运动的快慢必须同时考虑运动的时间和通过的路程这两个因素．在此基础上直尺速度的定义．在实验设计中，由学生自行提供三个玩具通过测量时间和路程计算速度，并给出了速度的公式． 教材用实际示例来建立学生一般物体运动速度的大小的观念，并给出了速度的单位，米/秒是国际主单位，而常用单位还有千米/时，并分析它们之间的换算关系． 平均速度的概念还是由实践建立的，因为实际的需求而产生的变速运动和其平均速度，平均速度的公式没有作强调，仍沿用速度的公式，只是其符号的意义发生了变化．最后由想想议议来使学生知道一些物理量是比值物理量． "机械运动"教法建议 速度的概念，应当从一个实际问题入手，为了能区别物体的运动快慢应当如何处理，可以分学生小组讨论得出，教师总结两种方法．快慢用物理量速度表示，进而引出了速度的概念，在此基础上用学生提供的玩具来实际测量速度，并给出了速度的公式．速度公式也可以由学生根据实验的结论得出． 速度的单位，应当联系实际，提供大量的图片，展示不同的物体运动的一般速度，建立 速度的物理图景，并提供一些视频资料，展示现代科技的发展，提高学生的学习兴趣．关于速度单位换算，应当在长度的换算的基础上，用同样的等量代换的方法明确两个单位的换算，并让学生记住两个单位的换算关系． 平均速度，上一节内容是匀速直线运动，本节让学生思考实际情况，实际的运动都不是匀速的，但是我们需要作粗略的计算，所以引进了平均速度，最好让学生自行思考出这个思路．在此基础上用具体的例题来形成学生的解题规范． 教学设计示例 “速度和平均速度”教学设计示例 【教学单元分析】 速度的概念，从日常生活中的实例入手，正确的引出速度的概念，应当先从比较物体运动快慢分析，认识到比较速度的意义进而用单位时间的路程表示速度． 速度的公式和单位，速度的单位是由时间、长度的单位合成的，是物理中第一次遇到的复合单位，速度的计算要认清路程和时间的对应． 【教学过程分析】 一．速度概念的引入 思考教材中提出的三个问题，从这三个问题中分析出比较速度的方法：用相同的时间，看运动的路程；运动相同的路程，看所用的时间．而比较不同的时间和路程的方法是用相同的时间衡量通过的路程． 对于基础较好的学校和学生可以提供图片资料、视频资料，使学生认识到比较速度的必要性，也可以直接由学生想象速度比较的意义，可以提高学生的创造力．说清用速度表示物体运动的快慢，这是速度的物理意义，结合小学的知识，得出速度的概念，可以由学生总结概念． 二．实验：速度的计算 学生在课前就应当准备玩具小车，进行课本上的实验，把实验中的数据添入表格中，就得到了计算速度的公式． 本内容的教学对于基础较好的学生，可以让学生自行设计实验方案，学生可能设计成使小车通过1米的路程，记录下所用的时间，进而比较小车的速度的大小，教师应当予以鼓励． 三．速度的单位第七讲 速度公式和位移公式应用
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平均速度公式的巧用均速度公式之欧阳歌谷创作
行测资料分析之年均增长率解题技巧分析
第讲 平均速度和瞬时速度公式的辨析
行测资料分析之年均增长率解题技巧分析
加速度公式与应用
平均速度的专题计算
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财务数据增长率的计算方法
应用公式的速度计算题
速度公式的应用题
两类平均速度的计算公式及应用
一、平均速度公式的巧用均速度公式
一元一次方程的应用公式
DIS通用实验八平均速度与瞬时速度的关系
行程问题公式应用题与习题
人教版物理八年级上册：求解平均速度的三种方法
增长率(公式)
速度和平均速度物理教案