正弦定理余弦定理基础练习

正弦定理、余弦定理

基础练习

1．在△ABC 中：

（1）已知?=45A 、?=30B 、35=a ，求b ； （2）已知?=75B 、?=45C 、6=a ，求c ． 2．在△ABC 中（角度精确到1°）：

（1）已知15=b 、c ＝7、B ＝60°，求C ； （2）已知6=a 、b ＝7、A ＝50°，求B ． 3．在△ABC 中（结果保留两个有效数字）：

（1）已知a ＝5、b ＝7、C ＝120°，求c ；

（2）已知33=b 、c ＝7、A ＝30°，求a ． 4．在△ABC 中（角度精确到1°）： （1）已知6=a 、b ＝7、9=c ，求A ； （2）已知33=a 、4=b 、79=c ，求C ． 5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）： （1）56037=?=?=a B A ，，； （2）74540=?=?=c B A ，，； （3）3549==?=b a B ，，； （4）C ＝20 ，a ＝5，c ＝3； （5）?===8074C b a ，，； （6）141310===c b a ，，． 6．选择题：

（1）在△ABC 中，下面等式成立的是（ ）．

A ．A bc C ab cos cos =

B ．A bc

C ab sin sin = C ．A c C a cos cos =

D ．B b A a cos cos =

（2）三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大角是（ ）．

A ．60°

B ．120°

C ．135°

D ．150°

（3）在△ABC 中，12+=+c b ，?=45C ，B ＝30°，则（ ）．

A ．1=b ，2=

c B ．2=b ，1=c

C ．，

D ．，

（4）在△ABC 中?=45B 、25=c 、5=b ，则=a （ ）． A ．25 B ．35 C ．5 D ．10 7．填空题：

（1）△ABC 中1=AB 、、面积，则=A _______；

（2）在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是_______．

8．在△ABC 中，B C B A A 2

22sin sin sin sin sin -=+，求角C ．

综合练习

1．设方程0sin sin 2sin 2

=++C B x A x 有重根，且A 、B 、C 为△ABC 的三内角，则△ABC 的三边a 、b 、c 的关系是（ ）．

A ．b ＝ac

B ．a ＝bc

C ．c ＝ab

D ．ac b =2

2．在△ABC 中?=90C 、?=75A ，AB CD ⊥，垂足为D ，则

AB

CD

的值等于（ ） A ．

21 B ．31 C ．4

1

D ．23

3．等腰三角形的底角正弦和余弦的和为

2

6

，则它的顶角是（ ）． A ．30°或150° B ．150或75° C ．30° D ．15°

4．在△ABC 中)sin sin (sin 3)sin sin (sin 2

2

2

2

C B A C B A ++=++，则这个三角形是（ ）三角形．

A ．锐角

B ．钝角

C ．直角

D ．等边 5．在△ABC 中1tan tan 0

C ．钝角三角形

D ．无法确定其形状

6．在△ABC 中，B A >是B A 22

cos cos <的（ ）条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分

C ．充要

D ．既不充分也不必要 7．在锐角△ABC 中，若B C 2=，则

b

c

的范围为（ ）． A ．)3,2( B ．)2,3( C ．（0，2） D ．)2,2(

8．已知A 为三角形的一个内角，函数6)sin 4()(cos 2

+-=x A x A y ，对于任意实数x 都有0>y ，则（ ）．

A ．

B ．

C ．0cos =A

D ．0cos 1<<-A

9．已知锐角三角形的边长为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）． A ．51<

10．在△ABC 中，若面积2

2)(c b a S ABC --=?，则cos A 等于（ ）．

A ．

21 B ．23 C ．1312 D ．17

15

11．在△ABC 中7=a 、10=b 、15=c ，则=A tan ________．

12．在△ABC 中，若C B A cos cos sin ?=，则C B tan tan +________．

13．在△ABC 中，若A C B cos 1cos cos 2-=?，则△ABC 的形状是________． 14．△ABC 的面积和外接圆半径都是1，则C B A sin sin sin ??＝________． 15．在△ABC 中，，则△ABC 的形状是________．

16．如图5-8，∠A ＝60°，∠A 内的点C 到角的两边的距离分别是5和2，则AC 的长为________．

图5-8 17．已知A 为锐角三角形一个内角，且m A =+)sin 1lg(，，则A cos lg 的值为________． 18．在△ABC 中，若?=60A ，1=b ，3=?ABC S ，则的值为________．

19．在△ABC 中，已知A C B sin cos sin 2=?，?=120A ，1=a ，求B 和ABC ?的面积．

20．在△ABC 中，已知B A C B A C B A sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++，求角C ．

21．在△ABC 中，内角A 最大，C 最小，且C A 2=，若b c a 2=+，求此三角形三边之比．

22．已知三角形的三边长分别为12

++x x 、12

-x 、12+x ，求这个三角形中最大角的度数．

拓展练习

1．三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的2倍，则最小角的余弦等于（ ）．

A ．43

B ．107

C ．32

D ．14

9

2．在ABC ?中，P 表示半周长，R 表示外接圆半径，下列各式中：

①bc

c P b P A ))((2sin

--= ② ③A b B a c cos cos += ④

R C

c

B b A a ===sin sin sin 正确的序号为（ ）．

A ．①、④

B ．①、②、④

C ．①、②、③

D ．②、③、④ 3．在△ABC 中，若)(2

c b b a +=，则有（ ）．

A ．

B A = B ．B A 2=

C ．B A 3=

D ．A B 2=

4．在△ABC 中，，则此三角形为（ ）．

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

5．在△ABC 中，若2lg sin lg lg lg -==-B c a ，且B 为锐角，则△ABC 的形状是________．

6．设A 是△ABC 中的最小角，且，则a 的取值范围是_______． 7．如图5-9，在平面上有两定点A 和B ，3=

AB ，动点M 、N 满足

1===NB MN AM ．记△AMB 和△MNB 的面积分别为S 、T ，问在什么条件下，2

2T S +取得最大值？

图5-9

8．在△ABC 中，已知C ＝2B ，求证：ab b c =-2

2

．

图5-10

9．圆O 的半径为R ，其内接△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若

)2(sin )sin (sin 222b a B C A R -=-，求△ABC 面积的最大值．

10．若ABC 是半径为r 的圆的弓形，弦AB 长为r 2，C 为劣弧

上一点，AB CD ⊥

于D ，当C 点在什么位置时△ACD 的面积最大，并求此最大面积（如图5-10）．

参考答案 基础练习 1．（1） （2）62=c ． 2．（1）?≈24C ， （2）??≈11763或B ． 3．（1）10≈C ， （2）6.3≈a ． 4．（1）．?=42A ， （2）150=C ． 5．（1）?=83C ，2.7≈b ，2.8≈c ； （2）?=95C ，5.4≈a ，0.5≈b ； （3）?≈20A ，?≈111C ，9.10≈c ；

（4）?≈35A ，125≈B °，2.7=b 或?≈145A ，?≈15B ，3.2≈b ； （5）4.7≈c ，?≈32A ，?≈68B ；

（6）?≈43A ，?≈63B ，?≈74C ．

6．（1）B ．B ca A bc C ab S sin 2

1

sin 21sin 21===

?； （2）B ．三角形中大边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的?120．

（3）A ．由正弦定理，得230sin 45sin sin sin =?

?==B C b c ，将b c 2=代入12+=+c b 解得b 、c 的值；

（4）C ．由余弦定理，B ac c a b cos 22

2

2

-+=，即a a 1050252

-+=，解关于a 的方程025102

=+-a a ，得5=a ．

7．（1）

4π或4

3π

，由面积公式：，即A sin 22621431??+=+，解得，从而求出A ； （2）等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得ac

b c a b bc a c b a 222

22222-+=-+??，整

理得0))((2

2

2

2

2

=---b a c b a ，则022=-b a 或02

22=--b a c ，所以，b a =或

222b a c +=．

8．

3π2．由正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin ===，可将已知的三个角的正弦关系转化为三边关系：2

2

2

b c ab a -=+，即ab c b a -=-+2

2

2

，再利用余弦定理：

2

1

22cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ，所以，．

综合练习

1．D ． 方程有重根，∴

0sin sin 4)sin 2(2=-=??C A B ，即

C A B sin sin sin 2?=．由正弦定理，得ac b =2．

2．C ．设AB ＝a ，则?=?75cos a AC ，?=?75sin a BC ．由面积关系式：，得

a a a CD 4

1

150sin 2175sin 75cos =?=??=．

3．A ．设等腰三角形顶角为α、底角为β，则，两边平方，解得，即．∴

2

1

2sin )2πsin(sin =

=-=ββα．又∵ α 为顶角，∴ ?=30α或?150． 4．D ．由正弦定理得)(3)(2

2

2

2

c b a c b a ++=++，即=++bc ac ab 222++2

222b a

22c ，∴ 0)()()(222=-+-+-a c c b b a ．∴ c b a ==．

5．C ．∵ A 、B 、C 为三角形的内角，又1tan tan 0<A ，0tan >B ，

0tan tan 1tan tan )tan()πtan(tan <-+-

=+-=--=?B

A B

A B A B A C ，∴ C 为钝角．

6．C ．B A B A B A 2

2

2

2

2

2

sin sin sin 1sin 1cos cos >?-<-?<，

∵ A 、B 为三角形的内角，∴ 0sin 0sin >>B A ，．

∴ B R A R B A B A sin 2sin 2sin sin sin sin 2

2

>?>?>（R 为ABC ?外接圆半径）．

由正弦定理，B R b A R a sin 2sin 2==，． ∴ b a B A >?>sin sin B A b a >?>．

∴ B A B A >?<2

2

cos cos ． 7．A ．B B

B B

C b c cos 2sin 2sin sin sin ===

， 又

??

?

?

?

?

???

<+-=<<=<<<，，

，2π)(πA 02π202π0C B B C B ∴ ，∴ ．即

)32(3cos 22.，∈<<∴

b

c

B ． 8．B ．由条件知??

?<-=?>，，

0cos 24sin 160cos 2

A A A 即??

?<-->，

，

0cos 3)cos 1(20cos 2

A A A

??

???>-<>∴21cos 2cos 0

cos A A A 或 ∴ ．

又∵ 又∵ A 为三角形的一个内角，∴ 1cos ≠A ，∴ ．

9．B ．设三边2、3、x 所对的三个角分别为A 、B 、C ，根据三角形任意两边之和大于第三边和余弦定理，有：

???

?

?

?

???

>??-+=

>??-+=+<<-．，

，032232cos 02232cos 23232

22222x C x x B x 即∴ ∴ 135<

10．D ．由三角形面积公式：．∴

A bc c b a sin 2

1

)(22=

--．∴ )sin 4

1

1(22

2

2

A bc a c b -=-+．∴

A bc a c b sin 4112222-=-+．由余弦定理，

)cos 1(4sin sin 4

1

12cos .222A A A bc a c b A -=-=-+=∴∴ 22)cos 1(16sin A A -=．

∴ A A A 2

2

cos 16cos 3216cos 1+-=-，即015cos 32cos 172

=+-A A ．解得或

A A ．1cos =为三角形的内角， ∴ 17

15

cos 1cos =

≠∴A A ，． 11．236

4．由余弦定理，25

231510271510cos 222=??-+=A ．

23

6

4cos sin tan 2564)25231)(25231(cos 1sin .2

===-+

=-=∴A A A A A ．

12．1．C B A cos cos sin ?= ，∴ C B C B cos cos )sin(?=+．∴

C B C B C B cos cos sin cos cos sin ?=+．∴ 1cos cos sin cos cos sin =+???C

B C

B C B ．即

1tan tan =+C B ．

13．等腰三角形，A C B cos 1cos cos 2-=? ，∴ --=?πcos[1cos cos 2C B

)](C B +．

∴

1)cos(cos cos 2=+-?C B C B ．∴ 1sin sin cos cos =+?C B C B ，

1)cos(=-C B 即．∴ 0=-C B ，即B ＝C ．

14．

2

1

．设ABC ?外接圆半径为R ，则R ＝1． 由正弦定理8

222sin sin sin abc R c

R b R a C B A ==????．

设ABC ?的面积为S ，则S ＝1．由面积公式

B ca A bc

C ab S sin 2

1

sin 21sin 21===，

2)

(8222sin sin sin abc ab S

ca S bc S C B A ==

????．∴ ．∴

4=abc ．∴

2

1

8sin sin sin ==

??abc C B A ． 15．直角三角形．由正弦定理、余弦定理，∴+=

+，C

B

A B A sin sin sin cos cos

c

b a a

c b c a bc a c b +=-++-+22222222．∴ +=-++-+a ab b c a b a c b a (2)()(2

22222

)b ．

整理，得0))((2

2

2

=-++c b a b a ．∵ a >0，b >0，∴ 02

22=-+c b a ．∵

222b a c +=．

16．132，由于A 、E 、C 、F 四点共圆，?=∠∴120ECF ，连结EF ，在CEF ?中，由余弦定理：3939120cos 25225222

==????-+=∴EF EF

，．又由正弦定理可

得AECF 的外接圆直径1322

3

39

120sin ==?=

EF AC ．

图答5-7

17．

n A

m A n m =-=+-∴sin 11lg )sin 1lg()(21.，，两式相减， n m A A -=-+)sin 1)(sin 1lg(．n m A -=-∴)sin 1lg(2，即n m A -=2cos lg ．

n m A -=∴cos lg 2．

． 18．．由三角形面积公式，，?=

???∴

60sin 121

3c ，4=∴c ．由余弦定理，132

1

41241cos 222222=???-+=-+=A bc c b a ，13=∴a ．由正弦定理，

339

260sin 13sin sin sin =?===C c B b A a ．

由

等

比

定

理

可

得

：

3

39

2sin sin sin =++++C B A c b a ．

19．．A C B sin cos sin 2=? ，由正弦定理、余弦定理，

222222222a c b a a ab

c b a b =-+=-+∴?，，∴

c b =，?=120A ，∴

?==30C B ．由正弦定理，

．.3

130sin 120sin 1

=??=?∴b

12

330sin 3

112

1sin 21

=

??

?==?∴C ab S ABC ． 20．?60．设R ABC ?外接圆半径，由正弦定理： R

R ab

R c R b R a R c R b R a 223)222)(222(

?=

-+++，

化简得：ab c b a ab c b a c b a 3)(,3))((2

2

=-+=-+++，∴ ab c b a =-+2

22．

再由余弦定理，得：2

1

22cos 222==-+=

ab ab ab c b a C ．∴ ?=60C ． 21．456::::=c b a ．C A 2= ，由正弦定理：

C

C a

C a A a C c cos sin 22sin sin sin =

==，∴ ． b c a 2=+ ，∴ ．由余弦定理：

a

c a c a a C c a a ab

c

b a C 435)()2(

2cos 2

2

22

22-=+-++=

-+=

．

．061042

2

=+-c ac a ，0))(32(=--∴c a c a ．

c a ≠ ，．．4564

5

23::::::==

∴c c c c b a ． 22．?120．12112

2

+-++x x x x ，，

为三角形的三边， 解得，1>x ．?????>-=-=+-++>+=--++，

，

0)1()12()1(02)1()1(222

2x x x x x x x x x x x

12++∴x x 是最大的边长．令其所对的角为α，由余弦定理：

21

)

122(2122)12)(1(2)1()12()1(cos 2323222222-

=--+--+-=+-++-++-=x x x x x x x x x x x x α． ∴

?=120α，即这个三角形中最大角的度数为?120．

拓展练习

1．A ．设三角形三边为1+n 、n 、)(1N ∈-n n ，它们所对的角分别为C 、B 、A ，则

A C 2=．则正弦定理，

A

A n A n C n A n cos sin 21

2sin 1sin 1sin 1+=

+=+=-，．由余弦定理，)

1(24)1(2)1()1(cos 2222++=

+--++=n n n

n n n n n n A ．

．

去

分

母

得

：

n n n n n n n 44222323--+=++．∴ n n 52=，∴ N ∈n ，∴ 5=n ． )15(52545cos 2+???+=∴A ＝．即最小角的余弦值为4

3

．

（法二）如图，ABC ?中，A C 2=，设α=A ，A 、B 、C 三内角所对的三边分别为1-n 、

n 、)(1N ∈+n n ．

在AB 上取一点D ，使α=∠=∠BCD ACD ．∴ α2=∠=∠BCA CDB ． ∴ CAB ?∽DCB ?．设CD 为x ，则DA 为x ，∴ ．∴ ．

∴ 即．∴ 12132

3

+-=++n n n n ．∵ N ∈n ，∴ 5=n ．∴ ABC ?的三边长为

4、5、6．由余弦定理，43

60163625652465cos 222=-+=??-+=A ．∴ 最小角的余弦值为4

3

．

图答5-8

2．C ．①正确．∵ ，由半角公式、余弦定理：

bc

c b a bc a c b bc bc a c b A A 4)(422212cos 12sin 22222222--=+--=-+-

=-= bc

b P

c P bc b P c P bc c b a c b a )

)((4)22)(22(4))((--=--=+--+=

．

②正确．由积化和差公式、正弦定理：

2

sin

2cos 2cos 2sin 2tan 2tan

B A B A B A B A B A B A -+-+=-+?b a b a B A B A -+=

-+=)sin (sin 21

)

sin (sin 21

． ③正确．如图：作AB 边上的高CD ，则B a BD A b AD cos ,cos ==．∴ B a A b c cos cos +=．或A 、B 中有一为钝角，同理可证得．

（法二）由余弦定理，B a A b cos cos +＝ac b c a a bc a c b b 222

22222-++-+??

c c

c c b c a a c b ==-++-+=

2222

222222． ④错误．由正弦定理：

R R C

c B b A a ≠===2sin sin sin ． 3．B ．由正弦定理，得：C B B A sin sin sin sin 2

2

?+=．

∴ C B B A B A sin sin )sin )(sin sin (sin =-+． ∴ C B B A B A B

A B A sin sin 2

sin 2cos 22cos 2sin

2??=-+-+． ∴ BinC B A B A sin )sin()sin(=-+．

∴ B B A sin )sin(=-．即0sin )sin(=--B B A ．∴ ． ，∴ ，

∴ B A 2=．

4．D ．由正弦定理，．

∴ 2

cos 2sin 22sin

2cos 2sin sin sin sin 2cos 2sin

2

tan B

A B A B

A B A B A B A B A B A B A -+-+=+-=--=

-??． ∴ 2

sin 2cos 2sin 2sin B A B A B A B

A -+=+-?．

∴ 或．

当时，A ＝B ； 当时，， ∴ ．

∴ B A =或．

5．等腰直角三角形．∵ 2lg sin lg lg lg -==-B c a ，∴ ．∴ ，又B 为锐角，∴ ?=45B ．又，由正弦定理，有．∵ ?=-?=+135180B C A ， ∴ C A -?=135．∴ )135sin(2sin 2C C -?=．

∴ )sin 135cos cos 135(sin 2sin C C C ?-?=

?，即C C C cos sin sin +=．∴

0cos =C ．∴ ?=90C ，∴ ?==45B A ．∴ ABC ?是等腰直角三角形．

6

．

)

,3[+∞．∵ A 是

ABC ?中的最小角，∴

?

≤

???????≥+---<+-???????

?≥+-<+-0)

1(21220122111111a a a a a a a a ，，????≥-<->????

??≥+-->?31101

31a a a a a a 或，

3≥a ．

7．当BAM ?为等腰三角形时，2

2

T S +取得最大值．由余弦定理，

图答5-10

A A A

B AM AB AM MB cos 324cos 2222-=-+=??，

N N NB MN NB MN MB cos 22cos 2222-=-+=??．

∴ N A cos 22cos 324-=-．∴ 1cos 3cos -=A N ．

2222)sin 112

1

()sin 3121(N A T S ???+???=+

[]

22)1cos 3(14

1

sin 43--+=

A A A A A cos 23cos 43sin 4322+-=

A A cos 2

3cos 23432+-=

2

22)3

21(23)321(cos 33cos 2343?+??????+--=A A

．

∵ 211=+=+

2T S +取得最大值．此时33

213242

=?

-=MB ，即AB MB ==3，∴ 当BAM ?为等腰三角形

时，2

2T S +取得最大值．

8．B C 2= ，∴ B B C =-．又∵ π=++C B A ，∴ A C B sin )sin(=+． 设ABC ?的外接圆半径为R ，由正弦定理：

)

2

2cos 122cos 1(4)sin (sin 4)sin 2()sin 2(22222222B

C R B C R B R C R b c ---=-=-=- )sin()sin(4)2cos 2(cos 22

2

C B C B R C B R -+-=-= )sin()sin(42B C C B R -+=

ab B R A R B A R =?==)sin 2()sin 2(sin sin 42． ∴ ab b c =-2

2

．

9．．∵

)2(sin )sin (sin 222b a B C A R -=-，由正弦定理：

)2(2)44(22222b a R b R c R a R -=-．∴ 2222b ab c a -=-．∴ ab c b a 2222=-+．

由余弦定理，2

2

222cos 222==-+=ab ab ab c b a C ．又∵ 0

∴ ＝4

πsin sin 2sin 221

???B R A R B A R sin sin 22?=

＝[])cos()cos()2

1(22

B A B A R

--+-?

＝

[])πcos()cos(2

22

C B A R --- ?????

?+-=

22)cos(222B A R ∴ 当1)cos(=-B A ，即8

π324π

π2

π=-

=-=

=C

B A 时，． 10．2

8

1r ．设)450(?<

5-11

∵ r OB OA ==，r AB 2=

，

∴ ?=∠90AOB ．∴ ?=?

-

?=∠1352

90180ACB ． ∴ θθ-?=-?-?=∠45135180CBA ．∵ ABC ?内接于圆O ，由正弦定理，

)45sin(2θ-?=r AC ．

在ACD ?Rt 中，．θθθcos )45sin(2cos ??-?==r AC AD ∴ θsin 2

1

??=

?AD AC S ACD θθθsin cos )45(sin 22

2

??-?=r θθ2sin 2

)290cos(12

-?-=?r

)4

1412sin 2sin (222+-+-=θθr

8

)212(sin 22

22r r +--=θ

∴ 当时，．

由，又?<

?=15θ．

∴ 当?=∠15CAB 时，ACD ?面积最大，最大面积为2

8

1r ．