高中数学含参集合分类讨论问题

含参集合分类讨论问题

重点知识梳理

1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．

2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：

(1)明确讨论的对象；

(2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：

①分类应按同一标准进行；

②分类应当没有遗漏；

③分类应是没有重复的；

(3)逐类讨论，分级进行；

(4)归纳并作出结论．

3．集合中引起分类讨论的原因：

(1)由元素的特性引起的讨论；

(2)由空集引起的讨论；

(3)由方程的有解性引起的讨论．

典型例题剖析

例1同时满足：(1)M?{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合．

【解析】按集合M中元素个数分类讨论：

M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}；

M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}；

M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}；

M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}；

M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}，

所以适合条件的集合M共有7个．

变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为()

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，

若a－3＝－3，则a＝0，此时M＝{0,1，－3}，N＝{－3，－1，1}，则M∩N＝{－3,1}，

故不适合．

若2a－1＝－3，则a＝－1，此时M＝{1,0，－3}，N＝{－4，－3,2}，M∩N＝{－3}，

满足题意．

若a2＋1＝－3，此方程无实数解．

故选A.

【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性．

例2已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a＝0}，若B?A，求实数a的取值范围．【解析】A＝{0，－4}．

①B＝?时，Δ＝a2－4a<0，即0

②B≠?时，即B＝{0}或B＝{－4}或B＝{－4,0}．

当B＝{0}时，a＝0满足题意；

－4或B＝{－4,0}时，均不满足题意．

当B＝{}

综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ＜4}．

变式训练已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；

(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．

【解析】(1)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0化为－3x ＋2＝0，解集非空；当a ≠0时，要使A 是空集，则Δ＝(－3)2－8a ＜0，解得a ＞9

∴使A 是空集的a 的取值范围是{a |a >9

8}．

(2)当a ＝0时，集合A 中有一个元素；

当a ≠0时，若A 中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a ＞0，解得a ＜9

综上，使A 中至多只有一个元素的a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥9

8}．

例3 已知集合A ＝{x |1

1－m >2m 2m ≤11－m ≥3

，

得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}． (2)由A ∩B ＝?得：

①若2m ≥1－m 即m ≥1

3，B ＝?，符合题意；

②若2m <1－m 即m <1

，需????? m <131－m ≤1

或?????

m <132m ≥3

得0≤m <13或?，即0≤m <1

综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}．变式训练设集合P ＝{}x |x 2－x －6＜0， Q ＝{}x |2a ≤x ≤a ＋3.

(1)若P ∪Q ＝P ，求实数a 的取值范围； (2)若P ∩Q ＝?，求实数a 的取值范围；【解析】(1)由题意知P ＝{}x |－2＜x ＜3， ∵P ∪Q ＝P ，∴Q ?P .

①当Q ＝?时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；

②当Q ≠?时，得－2＜2a ≤a ＋3＜3，解得－1＜a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是{a |－13}． (2)①当Q ＝?时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；

综上，实数a 的取值范围是{a |a ≤－5或a ≥3

}．

跟踪训练

1．由实数a ，－a ，|a |所组成的集合里，所含元素个数最多有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

2．在集合A ＝{1，a 2－a －1，a 2－2a ＋2}中，a 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2

3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为( )

A．0 B．1 C．0或1 D．－1

4．设P、Q为两个非空实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()

A．6 B．7 C．8 D．9

5．集合M＝{1,2}，N＝{1,2,3}，P＝{x|x＝ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为()

A．3 B．4 C．5 D．6

6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()

A．2 B．3

C．0或3 D．0,2,3均可

7．设集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2,4}，定义集合S＝{(a，b)|a∈A，b∈B，a＋b＞ab}，则集合S中元素的个数是()

A．5 B．6 C．8 D．9

8．已知集合A＝{a，a2＋2a－2,3}，且1∈A，则a＝______.

9．若集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，且B?A，则实数a取值的集合为________．

10．设集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，则实数a的值为______．

11．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的取值集合．

12．已知A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，

(1)若A?B，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．

13．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B?A，求实数a的取值范围．

参考答案1．C根据题意，分三种情况讨论：

①a＝0，有a＝－a＝|a|，组成的集合中有一个元素；

②a＞0，有a＝|a|，组成的集合中有两个元素；

③a＜0，有－a＝|a|，组成的集合中有两个元素．

故在其组成的集合里，所含元素个数最多有2个．

选C.

2．A当a＝0时，a2－a－1＝－1，a2－2a＋2＝2，当a＝1时，a2－a－1＝－1，a2－2a＋2＝1，

当a＝2时，a2－a－1＝1，a2－2a＋2＝2，

由集合中元素的互异性知选A.

3．C若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，

则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解．

当a＝0时，方程可化为2x＋1＝0，满足条件；

当a≠0时，二次方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解，

则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.

故满足条件的a的值为0或1.

故选C.

4．C∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，∴当a＝0时，b∈Q，P＋Q＝{1,2,6}；

当a＝2时，b∈Q，P＋Q＝{3,4,8}；

当a＝5时，b∈Q，P＋Q＝{6,7,11}，

∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．

根据集合的元素满足互异性，得P＝{1,2,3,4,6}，共5个元素．故选C.

6．B

解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

7．C∵集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2,4}，a∈A，b∈B，

∴a可取1,2,3，b可取0,1,2,4.

(1)当a＝1时，

b＝0，由a＋b＝1，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(1,0)为S的一个元素；

b＝1，由a＋b＝2，ab＝1，a＋b＞ab成立，数对(1,1)为S的一个元素；

b＝2，由a＋b＝3，ab＝2，a＋b＞ab成立，数对(1,2)为S的一个元素；

b＝4，由a＋b＝5，ab＝4，a＋b＞ab成立，数对(1,4)为S的一个元素；

(2)当a＝2时，

b＝0，由a＋b＝2，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(2,0)为S的一个元素；

b＝1，由a＋b＝3，ab＝2，a＋b＞ab成立，数对(2,1)为S的一个元素；

b＝2，由a＋b＝4，ab＝4，a＋b＞ab不成立，数对(2,2)不是S的元素；

b＝4，由a＋b＝6，ab＝8，a＋b＞ab不成立，数对(2,4)不是S的元素；

(3)当a＝3时，

b＝0，由a＋b＝3，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(3,0)为S的一个元素；

b＝1，由a＋b＝4，ab＝3，a＋b＞ab成立，数对(3,1)为S的一个元素；

b＝2，由a＋b＝5，ab＝6，a＋b＞ab不成立，数对(3,2)不是S的元素；

b＝4，由a＋b＝7，ab＝12，a＋b＞ab不成立，数对(3,4)不是S的元素．

故S的元素有八个，分别为：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)．

∴当a＝1时，a2＋2a－2＝1，不符合集合中元素的互异性，故a＝1应舍去；

当a＝－3时，a2＋2a－2＝1，满足题意，

当a＝－1时，A＝{1,0，－1}，成立．

当a＝0时，A＝{1,0,0}，不成立．

故a＝－1.

11．解析因为1∈A，所以

①若a＋2＝1，解得a＝－1，此时集合为{1,0,1}，元素重复，所以不成立，即a≠－1.

②若(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2，当a＝0时，集合为{2,1,3}，满足条件，即a＝0成立．

当a＝－2时，集合为{0,1,1}，元素重复，所以不成立，即a≠－2.

③若a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1或a＝－2，由①②知都不成立．

所以满足条件的实数a 的取值集合为{0}． 12．解析 A ＝{x |20时，B ＝{x |a 0时，∵A ?B ，

≤a ≤2； ③当a <0时，∵A ?B ，

(2)①当a ＝0时，B ＝?，满足题意； ②当a >0时，需a ≥4或3a ≤2， ∴a ≥4或0＜a ≤2

；

③当a <0时，需a ≤2或3a ≥4， ∴a <0.

综上，a 的取值范围是{a |a ≤2

3或a ≥4}．

13．解析由题意知A ＝{0，－4}，又B ?A ， ∴B ＝?或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}，

当B ＝?时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根， ∴Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，∴a <－1.

当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1. 综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

解含参集合问题的几个注意点

解含参集合问题的几个注意点同学们在集合学习中，由于对有关概念、知识理解不深，经常出现某些模糊认识，特别在解含有参数问题时往往顾此失彼，造成失误．笔者根据以往教学经验，提醒同学们在解含参集合题时，必须注意以下几点： 1．注意空集的特殊作用例1 已知集合A={x ∣2x +（a +2）x +1=0, x R ∈}．B={x ∣x >0}, 若φ=B A ，求a 的取值范围．解析：由φ=B A 知，A 中的元素为非正数，即方程 2x +（a +2）x +1=0只有非正数解． ∴ ()???≥+≥-+=?0 20422a a 解得 0≥a 实际上,这个结果是不完整的，上述解法只注意到Ａ为非空解集，当Ａ为空集时，仍满足φ=B A ．当Ａ=φ时，()0422 <-+=?a ，解得－4＜a ＜０，综上可得： a ＞－4 评注：空集是任何非空集合的子集，且A φφ= ， A =φ A.，在解有关含有参数的集合题时，忽视了空集的特殊性，就会造成解题解结果的残缺不全．２．注意题中的隐含条件例２设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝，求实数a 的值．错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且５?Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝２，或a ＝－４．分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ?Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９?Ｓ，不符合题意；故a ＝２．评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件．３．注意端点值的舍取

集合章节复习(教师版)

1 1.4集合章节复习一、教学目标：（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；（2）掌握集合的有关术语和符号；（3）运用性质解决一些简单的问题。二、教学重难点：教学重点：集合的相关运算。教学难点：集合知识的综合运用。三、基础知识（一）：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于 ∈ 不属于 ? 4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 N *N 或+ N Z Q R C （二）：集合间的基本关系关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同 B A ?且A ?B ? B A = 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 补集全集是U,集合A U ?，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {},U C A x x U x A =∈?且

2 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A ?φ，φ B （φ≠B ）若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n （三）：集合的基本运算 1.两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; 2.两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; （四）：方法指导 1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法. 2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算. 3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想. 5.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 四、典型例题考点一集合的相关概念理解例1：用适当的方法表示下列集合（1）非负奇数组成的集合；（2）小于18的既是奇数又是质数的数组成的集合；（3）方程( )( ) 01212 2 =++-x x x 的解组成的集合；（4）平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；（5）方程组? ??=+=-+10 12y x x x 的解集例2、求集合{} 1),(≤+y x y x ，所围成图形的面积？

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解

例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不

集合中含参的问题

集合中含参的问题 1、已知{}53<<-=x x A ，{}a x x B <=，若满足B A ?，则实数a 的取值范围为________。 2、已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若满足A B ?，则实数m 的取值范围为________。 3、已知集合{}0232≤+-=x x x A ，{} a x x B ≤≤=1，且φ≠B .若A 是B 的真子集，则实数a 的取值范围为________若A B ?，则实数a 的取值范围为________。 4、已知集合{}，0232=+-=x x x A 且集合{}， 02=-=mx x B 若A B ?，则实数m 的取值范围为________。 5、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,0232，若集合A 中不含任何元素，则实数a 的取值范围为________；若集合A 中只有一个元素，则实数a =_____；若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为________。 6、设集合A={x|2420,x x a x R +-+=∈} （1）、当A 中有两个元素时，求a 的取值范围. （2）、当A 中没有元素时，求a 的取值范围. （3）、当A 中有且仅有一个元素，求a 的取值范围. 7、已知集合{}220A x x x =-=，集合{ }2220B x x ax a a =-+-=，x R ∈. （1）若A B B = ,求实数a 的值；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.

8、已知集合A={x|2x -2x-8≤0}，集合B={x|2x -（2m-3）x+(3)m m -≤0，m ∈R}，（Ⅰ）若A ∩B=[2，4]，求实数m 的值；（Ⅱ）设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 9、已知集合{}220A x x x a =+->， (1)A R =,求实数a 的取值范围. (2)若[)1,B =+∞,A B A = ，求实数a 的取值范围. 10、已知集合A={222(1)(1)0y y a a y a a -++++>}，B={}215,0322 y y x x x = -+≤≤ （1）若A ∩B φ=，求实数a 的取值范围. （2）当a 取使不等式21()x ax x R +≥∈恒成立的a 的最小值时，求（?R A ）∩B.

《集合》公式汇总

《集合》公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1）3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）并交集并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A 补集相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x?B'} 绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或?u（A）或~A。·U'=Φ；Φ…=U （一）元素与集合、 1、元素与集合的关系：∈? ∈，读作“a属于A” 若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A ?，读作“a不属于A”。若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A 2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2,3,5} 描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. 形如：{x|x2＋2x－3＞0}} 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 3、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集）N；或N*；正整数集N + 整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R+ 符号法 N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}

4．分类讨论的一般流程：明确讨论的对象确定讨论的全体选择分类的标准逐类进行讨论获得初步结果归纳整合写出结论分类突破一、根据概念分类例1若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． a＞1 解析设函数y＝a x(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1. 归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。一、分类讨论的几个注意点 1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-?-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842 2=-+-k y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4

常见分类讨论类型

常见分类讨论类型一、分类讨论思想在立体几何中的应用 1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是（） A ． B ．(1,) C ． D ．(0,) 【答案】【答案】 A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力. 【解析】根据条件,四根长为 2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况 :(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图, 此时a 可以取最大值,可知 AD= ,SD= ,则有 <2+ ,即 , 即有 (2) 构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示 ,此时a>0; 综上分析可知a ∈【编号】45690 【难度】较难 2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________ 【答案】1个或3个【编号】41766 【难度】简单二、分类讨论思想在集合中的应用 3 ．已知集合 22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ?，求实数a 的取值范围。【答案】解：{0,4}A =- ①B =Φ时，2 40a a ?=-<，即04a << 4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意；当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意 10分综上所述：a 的取值范围是04a ≤< 12分【编号】36832 【难度】较难 228a <+=

4 ．已知集合2 {|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围。【答案】解:①当0m =时，3 2 x =，满足题意。 4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解，则0?≤，即4120m -≤，1 3 m ∴≥ 10分综上所述，m 的取值范围是0m =或1 3 m ≥ 12分【编号】36828 【难度】一般 5 ．已知集合2 {|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}A x R x ∈>=? ，求实数a 的取值范围。【答案】解：当A ≠?时，由{|0}A x R x ∈>=? 知A 的元素为非正数，即方程2 (2)10x a x +++=没有正数根。则由2(2)40 (2)0a a ??=+-≥?-+=? ，此时2(2)40a ?=+-<，解得 40a -<< 综上，的(4,)a ∈-+∞ 【编号】32168 【难度】较难三、分类讨论思想在函数中的应用 6 ．求函数2 ||1y x x a =+-+的值域。【答案】解：2 2 1()1x x a y f x x x a ?+-+?==?-++??2213()()24 13()()24 x a x a x a x a ?++-≥??=??-++

高中数学分类讨论细想方法

第二章高中数学常用的数学思想二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当00、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；

集合复习讲义

第一章集合复习讲义第1讲集合的概念与运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□02互异性、□03无序性． (2)□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07?表示． (3)□08列举法、□09描述法、□10图示法． (4)常见数集的记法 2．集合间的基本关系 3．集合的基本运算

4．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?□01B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?□02A?B. (3)补集的性质：A∪(?U A)＝□03U；A∩(?U A)□04?；?U(?U A)＝□05A；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)． (4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为□062个，非空子集个数为□072－1个，真子集有□082－1个，非空真子集的个数为□092－2个． 1．概念辨析 (1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.() (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．() (3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．() (4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)?A，A?(A∪B)．() 答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2．小题热身 (1)若集合A ＝{x |－23}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2

高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析汇报)

专题复习分类讨论思想一、填空题：例1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ?，则实数a 的取值围是________．例2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +

高中数学专题练习：分类讨论思想

高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

含参集合分类讨论问题

第二周含参集合分类讨论问题重点知识梳理 1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是： (1)明确讨论的对象； (2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则： ①分类应按同一标准进行； ②分类应当没有遗漏； ③分类应是没有重复的； (3)逐类讨论，分级进行； (4)归纳并作出结论． 3．集合中引起分类讨论的原因： (1)由元素的特性引起的讨论； (2)由空集引起的讨论； (3)由方程的有解性引起的讨论．典型例题剖析例1同时满足：(1)M?{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合．【解析】按集合M中元素个数分类讨论： M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}； M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}； M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}； M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}； M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}，所以适合条件的集合M共有7个．变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，

集合中含参数问题的分类讨论

集合中含参数问题的分类讨论高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助. 对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A?B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法. （1）分类讨论是指： A?B在未指明集合A非空时，应分A=?和A≠?两种情况来讨论；因为集合中的元素是无序的的，由A?B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论. （2）数形结合是指：对A=?这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来. （3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值. 根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的. 下面通过具体例子作进一步分析：例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0} （1）若B?A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（2）若A?B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围. 解析：（1）B?A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B 是?的情况. 由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5} 因为B?A，所以当B=?时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B?A 当B≠?时，则如图

高中数学含参集合分类讨论问题

高中数学解题思想之分类讨论思想

解含参集合问题的几个注意点

集合章节复习(教师版)

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

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含参集合分类讨论问题

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高中数学 含参集合分类讨论问题

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