抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析

抛物线及其性质

【考纲说明】

1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。

2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。

【知识梳理】

1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.

开口方向右

左

上

下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>

22(0)x py p =->

焦点位置 X 正

X 负

Y 正

Y 负

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程

2p x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

0,y x R ≥∈

0,y x R ≤∈

对称轴 X 轴

X 轴

Y 轴

顶点坐标（0,0）

离心率 1e =

通径 2p

焦半径11(,)A x y 12

p AF x =+

p AF x =-+

p AF y =+

p AF y =-+

焦点弦长AB

12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦长AB

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：

(1)范围因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，

当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(

,0)2p F ，准线2

x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22

>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(

,0)2

F (1) 若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21

p x x =，2

12y y p =-。

(2) 若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α

=（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2

2(0)y px p =>焦点F ,

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则

AB =||1

1||1212212y y k

x x k -+

=-+=

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P 为抛物线px y 22

=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（）

.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定

【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ??

???

，准线是 :2

l x =-

.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =，且2p

QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的

中位线，()111

222MN OF PQ PH PF =+==.故以

PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】过抛物线()022

p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：

（1）12AB x x p =++ （2）

BF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作

1AA l ⊥11111,2

p A BB l B AA x ⊥==+

于，则AF ， 122

BF BB x ==+.两式相加即得：

12AB x x p =++

（2）当AB ⊥x 轴时，有

AF BF p ==，

112

AF BF p

∴+=成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ?

???

.代入抛物线方程： 2

22p k x px ??-= ??

?.化简得：()()2222

22014p k x p k x k -++=

∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12

k x x ?=.

l X

Y F

A(x,y)11

B(x,y)

A 1

B 1l

()1221112

1212111111

2224

x x p p p

p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=

+++++ ()()12122212122

2424

x x p x x p p p p p p x x p x x ++++=

==+++++

. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有

BF AF 2

11=+成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：过抛物线2

2y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）

【证明】对方程2

2y px =两边取导数：22.p

y y p y y

''?=∴=，

切线的斜率 0

0x x p k y y ='

.由点斜式方程：()()2000000

1p y y x x y y px px y y -=-?=-+

0021y px =，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82

=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点（）

()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线2

2y px =的通径长为2p ；

3.设抛物线2

2y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-

以下再举一例

【例4】设抛物线2

2y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，

那么：22

121112.y y p CA CB y y p =-??==

设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =

111111.90A FB CF CA CB A FB ∴?=?∠=?中故.

这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法特法妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A 、

B ，则|AB|等于（）

A.3

B.4

C.32

D.42

【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由()22

3013

y x m x x m y x =+??++-=?=-+?

设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +=

=-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ??

- ???

从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：2

20x x +-=.解得： 2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1）

，B （1，2）

.AB ∴=，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F

的直线与抛物线在x 轴

上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（）

A ．4 B

． C

． D ．8

【解析】如图直线AF 时∠AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==

A 1

B 1

M C

M 0

l x y +=?X

Y O F(1,0)A

60°

=2px L:x=-1

且∠KFM=60

°，∴2

4,44

AKF KF S ?==

=选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的

面积用公式2

S ?=

计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

122:1(00)x y C a b a b -=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为

21F C ；与2C 的一个交点为M ，则

121

F F MF MF MF -

等于（） A ．1- B ．1

C ．12

D ．

【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令

1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，

111

2222

,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，

这就是说：12||

MF MF 的实质是离心率e.

其次，

121||

F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到： ()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +???

====-=- ???

. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于

()12112||||

11||||

F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..

（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

抛物线x y 82=的

【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

【解析】（Ⅰ）焦点F （2，0），准线;2l x =-. （Ⅱ）直线AB ：()

()tan 21.y x α=-

y x =代入（1），整理得：()2tan 816tan 0

2y y αα--=

设方程（2）之二根为y 1，y 2，则12

128tan 16y y y y α?

+=????=-?.

设AB 中点为()1200020044cot ,,2tan cot 24cot 2

y y y M x y x y αα

αα+?

==???=?+=+?则 AB 的垂直平分线方程是：()

24cot cot 4cot 2y x ααα-=---. 令y=0，则()

224cot 64cot 6x P αα=++，有，0

故()

2224cot 624cot 14cos FP OP OF ααα=-=+-=+= 于是|FP|-|FP|cos2a=()2

224csc

1cos24csc 2sin 8αααα-=?=，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线x y 82

=有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.

【解析】假定在抛物线x y 82

=上存在这样的两点()()1122.A x y B x y ，，，则有：

()()()211121212222

888y x y y y y x x y x ?=?+-=-?=?()()()1212128AB

y y k x x y y -?==-+

∵线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分，且11

l AB k k =-∴=，，即

()

128

5y y =+

128

y y ?+=.

设线段AB 的中点为()120004

y y M x y y +=

=，，则.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB 中点为415M ??

???

，.故存在符合题设条件的直线，其方程为： ()4

512552105

y x x y -

=---=，即：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y =-x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n -1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n -1，从而得到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n -1P n -1P n -1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

【解析】∵1

1OA n

=∴，图中每个直角三角形的底边长均为

设OA 上第k 个分点为22

20.11.k k k P y x y n n ??=-+=- ???

，代入：第k 个三角形的面积为：2111.2k k a n n ??

?- ???

()()()()

2212

12114111212n n n n S n n n n -?

?+++--+∴=--=?????

?. 故这些三角形的面积之和的极限()()2

1411111lim lim 1412123

n n n n S n n n →∞

→∞-+???

?==

-+= ???????

高中数学集合典型例题

-- -- 集合 1．集合概念元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算全集Ｕ：如U ＝Ｒ交集:}{B x A x x B A ∈∈=且并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或补集:}{A x U x x A C U ?∈=且３.集合关系空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8．若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１．设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12,离心率为 54 ; （2）焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

抛物线定义及性质的简单应用(讲义及配套练习)

抛物线定义及性质的简单应用（讲义2013.4.2）复习回顾 1.点在直线的抛物线的标准方程是________________． 2.抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( ) A.9 4 B ．4 C.13 4 D ．3 3.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 4.若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程是 5.已知过抛物线2 4y x =的焦点F 的弦长为36，求弦所在直线方程。简单应用 6. 如果128,,,P P P 是抛物线2 4y x =上的点，它们的横坐标依次为128,,,x x x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++= ，则1 28PF P F P F +++= 7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A ． B ． 1 C ． D ．例1：抛物线y 2=8x 的焦点为F ，A （4，－2）为一定点，在抛物线上找一点M ，使|MA|＋|MF|

为最小，求M 点的坐标。练习：抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A （2,3）为一定点，M 为抛物线上的动，M 到准线的距离为d ，则d ＋|MF|的最小值为例2:抛物线y x 4 1 2= 上的点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标 ( ) A ．(0,0) B ．)4,1( C ．)1,2 1 ( D ．)1,5( 练习：抛物线24y x =上的点到直线45y x =-的最近距离是．例3：一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，求水面的宽.

高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题 Revised on November 25, 2020

集合一、知识点： 1、元素：（1）集合中的对象称为元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?; （2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法；（4）常用数集：R Q Z N N N ;;;;;*+ 2、集合的关系：子集相等 3、全集交集并集补集 4、集合的性质：（1）;,,A B B A A A A A ?=?=?=?φφ (2) ;,A B B A A A ?=?=?φ (3) );()(B A B A ??? (4);B B A A B A B A =??=??? (5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ?=??=? 二、典型例题例1. 已知集合 }33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。例3. 已知集合 },01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 \ 例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，（1）若Φ=B A ，求m 的范围；（2）若A B A = ，求m 的范围。例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ?A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。三、练习题 1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（） A. M a ∈ B. M a ? C. a ＝ M D. a > M

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11

抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

(完整版)集合练习题及答案-经典

集合期末复习题12.26 姓名班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有（） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

高中数学复习-抛物线知识点归纳总结

高中数学复习-抛物线抛物线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性关于x 轴对称关于y 轴对称焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0 y p k AB = ，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

(整理)抛物线的概念性质几何意义

抛物线的概念、性质、几何意义【教学内容】抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。【教学目标】 1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。 2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。 3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴上。另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a ，0），准线方程为2a x -=；对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a ），准线方程为2 a y -=。这一结论对a ＞0及a ＜0均成立。 4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。我们在学习时要引起重视。【知识讲解】例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。（1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3， 2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 3 4 2-=。（2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2）， ∴22)3(2?=-p ，即292=p 综上所述，抛物线的方程为x y 342-=

高考集合知识点总结与典型例题

集合一．【课标要求】 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?；记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。 2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：

(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41 -=． ②当0?，则1->k ．

∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ，解得：2=k 或1-=k （舍去）．故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）．则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作 l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知： BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 21 )(21)(21111=+=+= AB MM 21 1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面

集合典型例题

集合·典型例题能力素质例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ，－3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ，－3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ，－3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ，－3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写．例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ；分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)．解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}．说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．

高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2 122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y = =+=--，即0 y p k AB = ，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

抛物线知识点与性质大全

抛物线与方程【知识讲解】 1、定义平面，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线. 2、抛物线的方程及其简单性质 3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦. 4、焦点弦的性质（1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ?=定值2 4 p ，12y y ?=定值2 p -； ③ 11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122 p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ= -上；②1cos p B F θ=+下；③22 22s 1i 1n p k AB p θ? ?+ =??? =. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则

①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥； ④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥； ⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑧2 4PQ AF BF =； 2 4PQF APF BQF S S S ???=?； ⑨2 32sin ABQP p S θ =四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O ①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线；（5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则 1 2 EF AB = . （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=. 5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ?=定值2m ；②12y y ?=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥?=；④m p =时， 2211||||MA MB += 定值2 1 p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若 120n FP FP FP ++ +=，则12n FP FP FP np ++ +=.

【离散数学】知识点典型例题整理

【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。若G的元数是一个质数，则G必是循环群。 n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有?（n）个。【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。求右陪集：H本身是一个；任取a?H而求aH又得到一个；任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g，gH=Hg。（H=gHg-1对任意g∈G都成立） Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。 3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，?x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。称G与σ（G）同构，G?G′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。【环】R非空，有加、乘两种运算 a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c， 3）R中有一个元素0，适合a+0=a， 4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0， 5）a（bc）=（ab）c，

集合经典例题总结

集合经典例题讲解集合元素的“三性”及其应用集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值．例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值．分析：集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在：例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（）（A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求实数a 的取值范围。例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。集合学习中的错误种种数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生．一、混淆集合中元素的形成例集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性例已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为没有弄清全集的含义

二次函数知识点汇总(简而全)

★二次函数知识点汇总★ 初三备课组 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0 a 时，开口向上；当0 a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0