四年级奥数计算数阵图教师版

知识要点

数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵．

常见的数阵图有以下三种：

1.有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解．

2.有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．

3.有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字．

数阵图的解题关键是找”重复数”。

解题步骤：

?的形式。

一.从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n S

二.从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字

用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和?一般位置数字相加次数±特殊位置数字和?多加或少加次数的形式。

三.根据整体与个体的关系，列出等式即

?=题目所给全部数字和?一般位置数字相加次数±特殊位置数字和?多加或少加次数。

n S

四.根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的S值。

五.根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。

放射型

老师带领同学们一起去参加数学灯谜会，同学们在里面玩的热火朝天，其中有个灯谜是这样的： 把5~1这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9．那么应该怎么填呢？

【分析】1234515++++=，92153?-=，可见中间的重叠数为3。如此可得填法如右上图。

小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏，他们在地上画了个如图所示的数阵，丁丁出题，它在最中间的圆圈中写了数字5，要求当当把4~1这四个数填入剩下的四个○里，使两条直线上的三个数之和相等．你能帮当当解决这道题吗？

【分析】根据题意可知两条直线上的三个数的和为(123455)210+++++÷=，在剩下的四

个数中14235+=+=，可得填法如右上图。

54

3215

3

4

2

1

5

方法

整除性

尝试

列出等式

个体考虑

整体考虑

数阵图

把5~1这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．

【分析】根据题意可知15~这几个数的和再与中间的重叠数作和结果是2的倍数，而

1234515++++=为奇数，那么中间的重叠数只能是奇数：1、3、5，由此可推得结果如右上图。

将7~1这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10．你能做到吗？

【分析】123456728++++++=，(10328)21?-÷=，可见重叠数为1，那么可得填法如右上图。

把7~1这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

【分析】123456728++++++=，这几个数的和再与重叠数的两倍作和是3的倍数，那么

重叠数的取值有147、、，对应的每边三个数的和为101214、、，可得填法见右上图。

5

4

2

3

15

4

12

33

4

2

1

56

5

43

12

77

5

42

1363

17

5

4

621

2

56

743

数学王国的大门有一把密码锁，它的形状如下，只有将 20~10填入其中的○内，其中15已填好，使每条边上的三个数之和都相等才能把这把锁打开，顺利的进入数学王国，你也试试吧．

【分析】法一：每条边上的三个数之和等于 455]415)201110[(=÷?++++ ．剩下的十

个数中，两两之和等于301545=-的有16,14;17,13;18,12;19,11;20,10于是得到右上图的填法。

法二：五条边上除重叠数之外的两个数的和都是相等的，

(10112015)530+++-÷=，也即是说另两个数之和等于30，同样可得填

法如右上图。

（第六届“中环杯”复赛）将1到11这11个数分别填入图中是每条线上三个数的和相等.

【分析】因为661110321=+++++ 中间一个数（设为A ）再重复4次，则五条边的总和为A 466+，

A 466+应正好可以整除5，则 1109070466、、=+A 经过验证，1611A =、、，对应的每条边上三个数的和为141822、、。可得填法如右上图。

将7~1这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12．

【分析】?+++++++27654321中间数?+=228中间数312?=，中间数为4，填法如右上图．

15

16

1417

13

181219

1120

10

15

7

68

59

4

10

311

21

7

58

4

93

10

21116

6

57

483

9

210

1

11

7

6

51

2

34

将19~分别填入下图的○中，使得横、竖五个数相加的和都等于25。

【分析】123945+++??+=；252550+=；50455-=，可见答案如右上图。（答案不唯一）

将9~1填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等．

【分析】12345678945++++++++=，可见重叠数为奇数：13579、、、、，那么可得答案如下图所示：

把1~6这6个数填入下图的○内，使每条直线上3个数的和为9，怎样填？

【分析】设中间三个数为a b c 、、，那么有 123627a b c +++++++=，可见6a b c ++= 则a b c 、、 三个数分别为123、、.填法如右上图所示.

9

8

7

6

54

2

3

1

6

5

12

3

4

封闭型

周末小猪熊去小猴家里玩，过桥的时候遇到了狐狸，狐狸有意刁难它，就挡住了小猪熊的去路，狐狸狡猾的对它说：“只要你能把6,5,4,3,2,1六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于9．我就让你过桥．”小猪熊想了一下，不慌不忙的填了出来，你知道聪明的小猪熊是怎么解答的吗？

【分析】根据题意，要求每边三个数的和都是9，那么三边的和应为2739=?．但是6~1六

个数的和等于21，三行数的和比题中六个数的和多62127=-，也就是说三个顶点数之和是6：1236++=，可得答案如右上图。

（2007“数学解题能力展示"三年级组初赛试题）将6~1这六个自然数分别填入右图的六个○中使得三角形每条边上的三个数之和都相等．

【分析】根据题意可知三个顶点中的数的和必为3的倍数，其中最小：1236++=，最大：

45615++=，可见三个顶点的和只能是12,9,6或15，对应的每条边上的三数之和就是11,10,9或12．填法如下：

每边三数之和9= 每边三数之和10= 每边三数之和11= 每边三数之和

12=.

将自然数7~1填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．

65

4

3

2

165

4

3

2

165

4

3

216

5

4

32

1

6

5

432

1

7

26

431

5

【分析】三角形顶上的数重叠3次，其他数都重叠2次．所以有：+?+++2)721( 顶上

的数=每条线上的三个数之和5?，+56顶上的数=每条线上的三个数之和5?．由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上的数”4=．所以每条线上的三个数之和为125)456(=÷+．经试验可得如上填法(填法不唯一)。

（第七届小机灵杯复赛第6题）将1，4，7，10，13，16，19，22，25这9个数分别填入下图的9个○中，使三条边上○中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是 。

【分析】这些数的和为147101316192225117++++++++=，而三条边上数的和的和等于

这些数的和再加上三个顶点上的数的和，那么若要每条边上的四个数的和最大，则只需保证三个顶点上的数最大，那么三个顶点上的数应该为25，22，19，由此可知最大的和为(117252219)361+++÷=。

用1~9这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于A ，问A 可以等于哪些数?给出你的填法．

【分析】9~1这九个数的和是45，于是顶点上的数之和应为453-?A ，这个和是3的倍数，

它最小是6321=++，最大是78924++=，从而A 可以取23,22,21,20,19,18,17．但

是，当A 为18或22时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以A 只能为23,21,20,19,17这五个数．图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)给出了这五种填法．

（1）

A=17659

874

3

2

1（2A=19659

87

4

32

1（3A=2065

9

8

7

43

21（4A=2165

9

8

74

321

5A=23

6

5

9

8

74321

将1~8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21．

【分析】1234567836+++++++=，212366?-=，可见两个重叠数之和为6：156+=、

246+=，可得填法如右上图：

班上进行民主选举，谁能在图中Z Y X ,,三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和，谁就是数学课代表，你也来试一试吧．

【分析】如图，我们把三条直线上的三个和相加，相当于把4算了三遍，6,5,1算了一遍，三

个顶点上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么+++?51346+三个顶点和=三个顶点和3?。那么很明显，这个4315624?+++=就是我们最关心的这个和的两倍，

那么这个和就是12．所以，图中x 处的数是35412=--；图中y 处的数是71412=--；图中z 处的数是

26412=--．答案如右上图所示。

如图 “学、而、思、未、来、命、运”这7个汉字分别代表1至7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同。那么，“学”字代表多少？

【分析】计算5个和的和，这个和一定是5的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是

被计算了2遍，因此这个和等于()12345672++++++?+ “学”56=+ “学”，这个“学”只能是4才能保证这个和能被5整除。

9~2这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18．

7

28

6

4

3

1

5

7

2

8

6

4

3

1

5

z

y

x 6541

7

6

54

32

1

运

命

来

未

思

而学9

874

9

865

987

6

5432

【分析】四个角上的数是重叠数，重叠次数为1．所以四个重叠数之和等于

28)932(418=+++-? ．而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：

289874=+++或289865=+++．又由于18918=--，1不是已知的八个数之一，

所以，8和9只能填对角处．由此得到上面中间两图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意

把1，2，3，4，5，6，7，8，这8个数分别填入下图的8个空格中，使正方形每条边上三个数的和都等于13。

【分析】因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13452?=，而12836

+++=，所以四个角上的四个数之和等于523616-=。在18~中选四个数，四数之和等于16，且其中任意三个的和不等于13的只有：

16126712581456=+++=+++=+++。经试验，只有右上图的两种填法。

20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入下图的八个○中(其

中3已经填好)，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等．

【分析】题中所给的数有1、5、7、11、13、17、19，这八个数的和为76，这个和再加上两

个重叠数的两倍应该为3的倍数，设另一个重叠数为A ,那么有8223A +=的倍数，

A 的取值有171319、

、、，对应的每条线上四个数的和为28323640、、、，其中当A 取713、的时候不合题意，那么可得填法见右上图。

已知3a b +=，5b c +=，7c d +=，9d e +=，11e f +=，13f g +=，15g h +=，9h a +=，那么这个圆上所有的数字之和是多少？

2

3

8645

7

1

6

253

7

4

8

1

h g

f

e

d

c

b a

【分析】每个数都被加了两次，所以圆上所有数字的和(35791113159)236=+++++++÷=。

在下图中的10个○内填入09~这10个数字，使得循环式成立：

【分析】五个等式中有五个和式，其中两式的和大于另外三式的和，设较大的和为a ，较小

的和为b ，则有：2301945a b +=+++=，由上式知b 必为奇数，又由b 最小为5，最大为7，可得如右上图两解。

在下列各图中，分别从18~中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：

【分析】能被2和4整除的数有4与8，左上角的数为4或8，如果为8，为一种情况，如果

是4 是另一种情况，答案见右上图。

将1，2，3，4，5，6，7，8，这8个数分别填入下图的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式。

【分析】小于10且能表示成两个不同的数的乘积的数只有6和8，如此可确定左下角的数为

2，

左上角和右下角的数可以是6或8,左边和下边对应填上3和6，剩下1、5、7，如此即可试出结果。

19~分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，

要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？（只需填写一种）

【分析】12345678945++++++++=用s 表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因为

有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a ，b ，c 来表示这三个数)，其

余均用了两次。于是()4523a b c s ?-++=。要使s 尽可能大，只要a b c ++尽可能小。所以，1236a b c ++=++=。于是9063s -=，28s =。剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4812+=；6713+=；5914+=。经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一。

请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20。

【分析】如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则203()x w y z =+++，所以y z +不超过6

且最小为3，如果3y z +=时，1147x w +==+，（x 、w 不能取1、2、3），第一

行有两种情况：7，1，2，4与4，1，2，7，分别对应不同的第二行；当413y z +==+时，826x w +==+，其中2不能与1相邻，所以第一行只有一种情况，即2，3，1，6；当51423y z +==+=+时，5x w +=，不论怎样排列，都有重复，所以只有三种填法，如右上图。

b

c

a

7

1

26

59

34

8

20

11

209867

4

321

12209857

4

321

112096

574321

能否将数09~分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？

【分析】012945++++=，45-中心数3=个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所

以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9。枚举法试验，中心数只能是3，6，答案如图。

下图包括6个加法算式，将18~填入除最右边圆圈以外的8个圆圈中，使6个算式都成立。那么最右边的圆圈中的数是多少？应该怎么填？

【分析】最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，即()128312++

+÷=。当这

四个数分别取1、3、6、2时可以不出现重复数字，填法如右上图。

图中有大、中、小三个正方形，组成了8个三角形。现在先把1、2、3、4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正方形的4个顶点上。 ⑴能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。⑵能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。

【分析】（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8

的倍数，但是这个总和有

34

4

34

12

2

2

3

1

1

三组1、2、3、4组成，其中一组被计算三次，一组被计算两次，一组被计算一次，因此该总和的值为()6123460?+++=，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等。 （2）能，如上图。

一课一练

【练习1】 老师在一节课上出了一道智力题，题目是这样的，有一个图形（如下图），要

求将6—10这五个数分别填在下图中的方格里，使得使得横行三数之和与竖列三数之和都等于24．那么应该怎么填呢？

【分析】6+7+8+9+10=40，24×2-40=8，可见中间的重叠数为8。如此可得填法如右上图。

【练习2】 将8--14这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等

于33．你能做到吗？

【分析】8+9+10+11+12+13+14=77，（33×3-77）÷2=11，可见重叠数为11，那么可得填法如右上图。

10

9

87

61413

12

1110

9

8

【练习3】 将1～7的数填入圆圈中，使每边上的3个数字之和都相等。

【分析】 此图是辐射型33—图，中间○内的4是重叠数，并且重叠了2次，所以每条边上的

3个数之 和等于()12742312++?++?÷=????,剩下的6个数中，两两之和等于1248-=的

有172635、； 、； 、,填法如右上图。

【练习4】 将6~1六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于

10．

【分析】因为每边上的和为10，那么三条边上的数之和为30310=?，而21621=+++ ，

所以三个角的三个数之和等于92130=-，在6~1中选3个和为9的数，而且任意两个数的和大于或等于4610=-，这样的组合有：4325319++=++=，经试验，填法如右上图． 【练习5】 唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大王告诉他们，只有他们

能把6,5,4,3,2,1六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是

l6才允许他们 通过，这可急坏了师徒四人，你能解决这个问题吗？

【分析】12345621+++++=，1622111?-=，可见两个重叠数的和为11：5611+=，

56516=--，532=+，541=+，填法如右上图。

【练习6】 小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了它的去路，问题是这样

的：请分别将6,4,2,1这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的

和都等于15，快点帮帮小老鼠吧．

【分析】 1275=+，1073=+，853=+，三个圆中已有数的和与15的差分别是7,5,3，只

有1能和其他三个数的和分别是7,5,3，所以中间数一定是1，由和为15，其它三个

4

6

5

4

32

1

765

4

3

2

16

4

31

5

2

5

73

16

24

57

3

数即可得，见右上图

【练习7】 将1～8填入下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15．

【分析】四个顶点数之和为24)821(415=+++-? ，四个顶点数有8,7,6,3和8,7,5,4两

种可能．经试验只有右上图一个解．

【练习8】 将1~9不重复地填入下面的圆圈内，使得三角形每条边上的数字和均为17。

【分析】将三角形三个顶点处的数字设为a 、b 、c ，这三个数字分别计算了两次，根据题

意，可得：(129)317a b c ++++++=?

解得6a b c ++=，而在1~9中，只有1236++=，符合要求。所以三个顶点上的数字分别是1、2、3，如图所示是其中一种符合要求的填法。

【练习9】 将1~10不重复地填入下面的圆圈内，使得五边形每条边上的数字和均为19。

【分析】将五边形五个顶点处的数字设为a 、b 、c 、d 、e ，这五个数字分别计算了两次，

所以有：

(1210)519a b c d e ++++++++=?

解得40a b c d e ++++=，只有67891040++++=，符合要求。所以五个顶点上的数字分别是6、7、8、9、10，其中9和10不在同一条边上。如图为一种填法。

87

6

54

32

1c b a

98457

6

1

2

3

e

d

c

b

a

10

1

5

6

79

2

4

8

3

【练习10】 如果将111~这11个自然数填入下图的圆圈内使每个菱形上的四个数之和都

等于24，那么A 等于多少？

【分析】计算3个菱形上四个数的和，其中A 被重复计算了一次，1211243A ++++=?,

即6672A +=,6A =

【练习11】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，

并求出x 所代表的数。

【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和

的一半。比如：()2618222+÷=，()3026228+÷=，()2430227+÷=。所以

18172x +=?，16x =。经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20。

【练习12】 将113-填入图中的13个方格中，是纵向的一，二，三和横向的四这几个直线

上的方格的和均相等。

【分析】 123121391+++

+=，915+++=?

那么加数的和为9，每个数为2，3，4，

1718

22262830

2724

20x

补充

【补充1】 将8~1填入下图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的

四个数之和都相等．

【分析】每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于182)821(=÷+++ ，经试验可得填法如右上图（答案不唯一）。

【补充2】 将7~1七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数

之和都相等．

【分析】设中心数为a ，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k ．因为a 属于三条直线公

有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到k a 5)721(2=++++? ，化

简为k a 556=+．因为71≤≤a ，56+a 又是5的倍数，所以4=a ，12=k ．填数方法见右上图．

138411122

615379

1076

5

432

1