著名数学曲线
著名数学曲线
各种数学曲线
第1页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第2页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第3页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）； 第4页：Talbot 曲线、4叶线、Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第5页：三叶线、外摆线、Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线；第6页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第7页：蔓叶线、tan曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第8页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第9页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第10页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8字曲线； 第12页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第13页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线； 第14页：ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；第15页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第16页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线； 第17页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第18页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第19页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第20页：内五环和蜗轨线； 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程：r = 5 theta = t*3600 z =(sin*theta-90))+24*t 2.葉形线. 笛卡儿坐標标 方程：a=10 x=3*a*t/(1+(t^3)) y=3*a*(t^2)/(1+(t^3)) 3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical） 方程： r=t theta=10+t*(20*360) z=t*3
高二数学曲线知识点
12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上 焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10 x y a b a b +=>>() 22 22 10 y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 () 1 ,0 a A-、() 2 ,0 a A () 1 0,b B-、() 2 0,b B () 1 0,a A-、() 2 0,a A () 1 ,0 b B-、() 2 ,0 b B 轴长短轴的长2b =长轴的长2a = 焦点() 1 ,0 F c-、() 2 ,0 F c() 1 0, F c-、() 2 0, F c 焦距() 222 12 2 F F c c a b ==- 对称性关于x轴、y轴、原点对称 离心率 准线方程 a x c =± a y c =± 13、设M是椭圆上任一点，点M到 1 F对应准线的距离为 1 d，点M到 2 F对应准线 的距离为 2 d，则12 12 F F e d d M M ==． 14、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之差的绝对值等于常数（小于 12 F F）的 点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 15、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10,0 x y a b a b -=>>() 22 22 10,0 y x a b a b -=>>范围x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 准线方程 a x c =± a y c =± 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准 线的距离为2d ，则 1 2 12 F F e d d M M = =． 18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式： 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+ ； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02p F x P =-+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02 p F y P =-+． 21、抛物线的几何性质 标准方程 22y px = ( )0p > 22 y px = - ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =- ()0p > 图形 顶点 ()0,0 对称轴 x 轴 y 轴
各种数学曲线
2.叶形线. 笛卡儿坐标标 方程：a=10 x=3*a*t/(1+(t^3)) y=3*a*(t^2)/(1+(t^3)) 3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical）方程： r=t theta=10+t*(20*360) z=t*3 4.蝴蝶曲线 球坐标 方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 8 5.渐开线 采用笛卡尔坐标系 方程：r=1 ang=360*t s=2*pi*r*t x0=s*cos(ang) y0=s*sin(ang) x=x0+s*sin(ang) y=y0-s*cos(ang)
z=0 6.螺旋线. 笛卡儿坐标 方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360)) z = 10*t 7.对数曲线 笛卡尔坐标系 方程：z=0 x = 10*t y = log(10*t+0.0001) 8.球面螺旋线 采用球坐标系 方程：rho=4 theta=t*180 phi=t*360*20 9.双弧外摆线 卡迪尔坐标 方程： l=2.5 b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 10.星行线 卡迪尔坐标 方程：a=5 x=a*(cos(t*360))^3
y=a*(sin(t*360))^3 11.心脏线 圆柱坐标 方程：a=10 r=a*(1+cos(theta)) theta=t*360 12.圆内螺旋线 采用柱座标系 方程：theta=t*360 r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta) 13.正弦曲线 笛卡尔坐标系 方程：x=50*t y=10*sin(t*360) z=0 14.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了） 15.费马曲线（有点像螺纹线） 数学方程：r＊r = a*a*theta 圆柱坐标 方程1: theta=360*t*5 a=4 r=a*sqrt(theta*180/pi) 方程2: theta=360*t*5
最新初中数学曲线的知识点
初中数学曲线的知识点 曲线 按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说： (1)R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的。 (2)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。 (3)说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。 微分几何就是利用微积分来研究几何的学科，为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的`这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。 曲线：任何一根连续的线条都称为曲线，包括直线、折线、线段、圆弧等。曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。有时也把这映射的像称为曲线。
具体地说，设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿直角坐标系，r 为曲线C上点的向径，于是有。上式称为曲线C的参数方程，t 称为曲线C的参数，并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向(图1)。曲线论中常讨论正则曲线，即其三个坐标函数x(t)，y(t)，z(t)的导数均连续且对任意t不同时为零的曲线。对于正则曲线，总可取其弧长s作为参数，它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用来定义，它表示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶连续导数，即曲线是C3阶的。 基本公式 设正则曲线C的参数方程为r=r(s)，s是弧长参数，p(s)是曲线C上参数为s即向径为r(s)的一个定点。Q(s+Δs)为C上邻近p的点，Q沿曲线C趋近于p时，割线pQ的极限位置称为曲线C在p点的切线。过p点与切线垂直的平面称为曲线 C在p点的法平面。曲线C在p点的切线及C上邻近点R 确定一个平面σ,σ的极限位置称为曲线C在p点的密切平面，它在p点的法线称为曲线C在p点的次法线，曲线C在p点的切线和次法线决定的平面称为曲线C在p点的从切平面。p点的法线称为曲线C在p点的主法线
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
各种数学曲线
各种数学曲线
第1页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第2页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第3页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）； 第4页：Talbot 曲线、4叶线、Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第5页：三叶线、外摆线、Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线；第6页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第7页：蔓叶线、tan曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第8页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第9页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第10页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8字曲线； 第12页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第13页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线； 第14页：ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；第15页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第16页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线； 第17页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第18页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第19页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第20页：内五环和蜗轨线； 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程：r = 5 theta = t*3600 z =(sin(3.5*theta-90))+24*t 2.葉形线. 笛卡儿坐標标 方程：a=10 x=3*a*t/(1+(t^3)) y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))
高一数学曲线的参数方程知识点
高一数学曲线的参数方程知识点 曲线的参数方程的定义： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数 ①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线C上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程。 变数t叫做参变量或参变数，简称参数。 曲线的参数方程的理解与认识： (1)参数方程的形式：横、纵坐标x、y都是变量t的函数，给出一个t能唯一的求出对应的x、y的值，因而得出唯一的对应点;但横、纵坐标x、y之间的关系并不一定是函数关系。 (2)参数的取值范围：在表述曲线的参数方程时，必须指明参数 的取值范围;取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。 (3)参数方程与普通方程的统一性：普通方程是相对参数方程而 言的，普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系，而参数方 程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系;普通方程和参数 方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行 互化。 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许 的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就 叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。 圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半 径θ为参数
椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数 双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数 抛物线的参数方程x=2pt^2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数 直线的参数方程x=x'+tcosay=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数. 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，共50分. 1.算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是() A.一个算法只能含有一种逻辑结构 B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 解析：任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种. 答案：D 2.下列赋值语句正确的是() A.s=a+1 B.a+1=s C.s-1=a D.s-a=1 解析：赋值语句的格式为“变量=表达式”，“=”的左侧只能是单个变量，故B、C、D均不正确. 答案：A
各种数学曲线(精品收藏)
?第1页:碟形弹簧、葉形线、螺旋线（Ｈelｉcaｌcuｒve）、蝴蝶曲线和渐开线； 第2页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第3页:心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）；?第4页：Ｔalbot 曲线、4叶线、Rｈoｄonｅａ曲线、抛物线和螺旋线； 第5页:三叶线、外摆线、Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线； 第6页:三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第7页：蔓叶线、taｎ曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切; 第8页:一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线; 第9页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线; 第10页:花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线；?第11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和８字曲线； 第12页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线;?第１3页:正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线;?第１4页:ufｏ（漩涡线)手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；?第15页:罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线；?第１6页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线；?第17页:“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪; 第18页:天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好; 第1９页:蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线；?第20页：内五环和蜗轨线；?1。碟形弹簧?圓柱坐标 方程：r = 5 ?theta ＝ t*360０?z =（siｎ(３。5＊theta－90))+24＊t ２．葉形线.?笛卡儿坐標标?方程：ａ=10 ?ｘ＝3*a＊t/(1+(ｔ^３）） y=３＊a＊（t^２）/（1+(ｔ＾３）)
高中数学曲线轨迹方程的求法
题目高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法 高考要求 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解 例1如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2 =36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形 APBQ 的顶点Q 的轨迹方程 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求 曲线的轨迹方程 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程 错解分析 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方 程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR | 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2 －|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2), 即x 2+y 2－4x －10=0
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第 1 页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第2 页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第3 页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）； 第4 页： Talbot 曲线、 4 叶线、 Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第5 页：三叶线、外摆线、 Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线；第6 页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第7 页：蔓叶线、 tan 曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第8 页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第 9 页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8 字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第 10页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第 11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8 字曲线； 第12 页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第13 页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线； 第14 页： ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；第15 页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第16 页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线； 第17 页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第18 页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第19 页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第20 页：内五环和蜗轨线； 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程： r = 5
高中数学曲线与方程
9.9 曲线与方程 一、填空题 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是________． 解析 (x －y )2 ＋(xy －1)2 ＝0??? ? x －y ＝0， xy －1＝0， ∴??? x ＝1，y ＝1 或?? ? x ＝－1，y ＝－1. 故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－1＝1－ x － 2 表示的曲线是________． 解析 原方程等价于??? |y |－1≥01－(x －1)2 ≥0 (|y |－1)2＝1－(x －1)2 ???? |y |－1≥0(x －1)2＋(|y |－1)2 ＝1 ???? y ≥1(x －1)2＋(y －1)2＝1或??? y ≤－1(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 答案 两个半圆 3. 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______． 解析 考查抛物线定义及标准方程,知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为28y x =. 答案 28y x = 4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)， 由PM →＝λMQ →得??? x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy (λ＞0)，
∴??? x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y . 由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆 5.设P 为双曲线2214 x y -=上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是 . 解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得 答案 2241x y -= 6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把 纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点 P 的轨迹是________． 解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 椭圆 7．若△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________． 解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2 16 ＝1(x >3)． 答案 x 29 － y 216 ＝1(x >3) 8．对于曲线C ： x 24－k ＋ y 2k －1 ＝1，给出下面四个命题：
高中数学曲线方程试题及答案
1、已知方程0表示一个圆. （1）求t的取值范围； （2）求该圆半径的取值范围. 2、若两条直线的交点P在圆的内部，求实数的取值范围. 3、已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 4、已知一圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积. 5、已知两点A(-1,0),B(0,2)，点P是圆上任意一点，求△PAB面积的最大值与最小值. 6、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1，求实数c的取值范围. 7、已知圆经过第一象限，与轴相切于点，且圆上的点到轴的最大距离为2，过点作直线． ⑴求圆的标准方程； ⑵当直线与圆相切时，求直线的方程； ⑶当直线与圆相交于、两点，且满足向量，时，求的取值范围．
8、在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程． 9、已知点P(0,5)及圆C x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程． 10、已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程． 11、已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________，公共弦长为________． 12、在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13、已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足＝0，设P为弦AB的中点． (1)求点P的轨迹T的方程； (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
高中数学 曲线练习(附答案)
曲线练习 1.以两条坐标轴为对称轴的双曲线和一椭圆有公共焦点,焦距为213,椭圆长轴长比双曲线实轴长大8,它们的离心率之比为3：7,求双曲线的方程. 2.求以双曲线122 22=-b y a x 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程. 3.已知双曲线24x 2-25y 2=600的左支上一点P 到二焦点的距离之积为56, (1) 求P 到左、右准线的距离之比; (2) 求P 的坐标. 4.k 为何值时,方程1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线. 5.k 为何值时,方程k b y a x =-22 22的曲线： (1)是二直线,并写出直线的方程; (2)是双曲线,并写出焦点所在坐标轴及渐近线的方程. 6.给定双曲线2x 2-y 2=2 (1)过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于两点P 1、P 2,求线段P 1P 2中点P 的轨迹方程; (2)过点B (1,1)能否作直线m ,使m 与所给双曲线交于两点Q 1、Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2 的中点？如果直线m 存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由. 7.直线y =kx +1与双曲线3x 2-y 2=1相交于两点A 、B , (1)当k 为何值时,以AB 为直径的圆经过坐标原点; (2)是否存在实数k ,使A 、B 关于直线y =2x 对称?若存在,求出k ;若不存在,说明理由 8.已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A (4,-1),若圆在点A 的切线与双 曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程. 9.双曲线C 1和C 2是共轭双曲线,它们的实轴和虚轴都在坐标轴上.已知C 1过点 A (7,10),C 2过点 B ()3,5,求 C 1、C 2的方程. 10.设双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于A (1)若直线F A 与另一条渐近线交于B 点,且线段AB 被左准线平分,求离心率; (2)若直线F A 与双曲线的左右支都相交,求离心率e 的取值范围.
高中数学曲线公式大全
高中数学曲线公式大全 圆锥曲线公式：椭圆 1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x2/a2+y2/b2=1,其中 a>b>0,c2=a2-b2 2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y2/a2+x2/b2=1,其中a>b>0,c2=a2-b2 参数方程：x=acosθ;y=bsinθθ为参数，0≤θ≤2π 圆锥曲线公式：双曲线 1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x2/a-y2/b2=1,其中a>0，b>0，c2=a2+b2. 2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y2/a2-x2/b2=1,其中a>0，b>0，c2=a2+b2. 参数方程：x=asecθ;y=btanθθ为参数 圆锥曲线公式：抛物线 参数方程:x=2pt2;y=2ptt为参数t=1/tanθtanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率特别地，t可等于0 直角坐标:y=ax2+bx+c开口方向为y轴，a≠0x=ay2+by+c开口方向为x轴，a≠0 离心率 椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。 圆锥曲线公式知识点总结 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线 标准方程x2/a2+y2/b2=1a>b>0 x2/a2-y2/b2=1a>0,b>0 y2=2pxp>0 范围x∈[-a,a] x∈-∞，-a]∪[a,+∞ x∈[0,+∞ y∈[-b,b] y∈R y∈R 对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称
顶点 a,0,-a,0,0,b,0,-b a,0,-a,0 0,0 焦点 c,0,-c,0 c,0,-c,0 p/2,0 【其中c2=a2-b2】【其中c2=a2+b2】 准线x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2 渐近线——————y=±b/ax ————— 离心率e=c/a,e∈0,1 e=c/a,e∈1,+∞ e=1 焦半径∣PF?∣=a+ex ∣PF?∣=∣ex+a∣ ∣PF∣=x+p/2 ∣PF?∣=a-ex ∣PF?∣=∣ex-a∣ 焦准距p=b2/c p=b2/c p 通径2b2/a 2b2/a 2p 参数方程x=a·cosθ x=a·secθ x=2pt2 y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点x0·x/a2+y0·y/b2=1 x0x/a2-y0·y/b2=1 y0·y=px+x0 x0,y0的切线方程 斜率为k的切线方程y=kx±√a2·k2+b2 y=kx±√a2·k2-b2 y=kx+p/2k 感谢您的阅读，祝您生活愉快。