《统计学》课程习题参考答案(部分)要点

《统计学》课程部分习题参考答案(龚凤乾）

1．试针对统计学的三种任务各举一例。答：见授课题板。

2．举例说明统计分组可以完成的任务。答：见授课题板。

3．举一个单向复合分组表的例子，再举一个双向复合分组表的例子。

答：单向复合分组表的例如下

4．某市拟对该市专业技术人员进行调查，想要通过调查来研究下列问题：

（1）通过描述专业技术人员队伍的学历结构来反映队伍的整体质量；

（2）研究专业技术人员总体的职称结构比例是否合理；

（3）描述专业技术人员总体的年龄分布状况；

（4）研究专业技术人员完成的科研成果数是否与其最后学历有关。

请回答：

（1）该项调查研究的调查对象是该市全部专业技术人员；

（2）该项调查研究的调查单位是该市每一位专业技术人员；

（3）该项调查研究的报告单位是该市每一位专业技术人员；

（4）为完成该项调查研究任务，对每一个调查单位应询问下列调查项目学历、职称、年龄、科研成果数。

5

根据上表指出：

（1）上表变量数列属于哪一种变量数列；（2）上表中的变量、变量值、上限、下限、

次数（频数）；（3）计算各组组距、组中值、频率。

答：（1）连续型组距式分组；（2）连续型组距式分组的组距=本组上限—本组下限；组中值=（上限+下限）/2；频率= i

i f f /

6．某地区人口统计数据如下表，请在此表的空白处添加以下数字：组距、组中值、频率、上限以下累计频数。

注：年龄以“岁”为单位计算，小数部分按舍尾法处理。

7．对下列指标进行分类。（只写出字母标号即可）

A 手机拥有量

B 商品库存额

C 市场占有率

D 人口数

E 出生人口数

F 单位产品成本

G 人口出生率

H 利税额 （1）时期性总量指标有： EH ；（2）时点性总量指标有： ABD ； （3）质量指标有： CFG ；（4）数量指标有： ABDEH ； （5）离散型变量有： ADE ；（6）连续型变量有： BCFGH 。 8．现在把某地区1999年末全部个体经营工业单位作为研究对象。对这个统计总体，设计了“1999年末全部个体经营工业单位总数”和上述这个个体经营工业单位总体的“1999

年全年产品销售收入”两个统计指标。（1）请就统计指标的三种表现形式考虑，这两个统计指标属于何种类型？（2）想用这两个指标来描述总体规模的大小，对此你有何评价？（3）有一位统计人员把这两个统计指标写作“1999年全年全部个体经营工业单位总数”和“1999年末产品销售收入”，对此你有何评价？（4）该地区的个体经营工业单位在1999年内不断地发生着“新生”和“消亡”的变化，那么，“该地区全部个体经营工业单位”在1999年内是否是一个唯一不变的总体？我们应该怎样描述该地区全部个体经营工业单位在1999年全年内的规模？

答：（1）这两个统计指标均属于总量指标。（2）这两个统计指标都可用来描述总体规模的大小。前者为总体单位总量指标，直接描述总体规模大小。后者为标志总量指标，间接描述总体规模大小。（3）这两种叙述都是错误的。正确的表述分别是“1999年末全部个体经营工业单位总数”，“1999年全年产品销售收入”。（4）不是一个唯一不变的总体。应该用该地区1999年各时点全部个体经营工业单位总数的均值，即序时平均数，描述1999年全年内总体规模的一般状况。

9．接8题。现在把本地区全部个体经营工业单位的1999年全年产品销售收入与另一地区的同种指标相减、相除。（1）这二个结果各属于何种类型的统计指标？（2）通过上面用两个地区各自的产品总销售收入作比较，能够描述两个地区的何种差异？（3）能否通过这种比较来描述二地区个体经营工业单位销售收入水平的差异？能否通过这种比较来描述二地区个体经营工业单位销售绩效（生产出来的产品是否能够顺畅地销售出去）的差异？为什么？要想描述这里提出的两种差异，应当用何种指标来作比较？

答：（1）相减是总量指标，相除是比较相对指标。（2）能够描述两地区个体经营工业单位销售收入总量上的差异。（3）都不能。因为总量指标只能衡量总体规模的大小。应该用平均指标来描述两地区销售收入水平的差异，如平均销售额等；应该用相对指标来描述两地区销售绩效的差异，如产品销售率，人均销售额等。

10．现有某地区50户居民的月人均可支配收入数据资料如下（单位：元）：

886 928 999 946 950 864 1050 927 949 852

1027 928 978 816 1000 918 1040 854 1100 900

866 905 954 890 1006 926 900 999 886 1120

893 900 800 938 864 919 863 981 916 818

946 926 895 967 921 978 821 924 651 850

要求：

（1）试根据上述资料作等距式分组，编制次（频）数分布和频率分布数列。

（2）编制向上和向下累计频数、频率数列。

（3）用频率分布列绘制直方图、折线图和向上、向下累计图。

（4）根据图形说明居民月人均可支配收入分布的特征。

解：（1）对数据分组，计算各组频数、频率，累计频数、累计频率

50户居民按各户月人均可支配收入分组表

（2

（3）居民户人均可支配收入的分布特征

呈单峰型大致对称形态。

11.

50户居民按人均月可支配收入的累计频率分布图

试分别计算报告期和基期该公司生产这种产品的总平均成本，并对上述数据作必要的加工，说明总平均成本变化的原因。

解：

报告期的总平均成本=Σx i f i /Σf i =(600*1200+700*1800)/(1200+1800)

=(720000+1260000)/3000=1980000/3000=660（元）

基期的总平均成本=Σx i f i /Σf i =（600*2400+700*1600）/（2400+1600）

=(140000+1120000)/4000=2520000/4000=630（元）

报告期总平均成本高于基期总平均成本，原因是权数发生了变化，即产量结构变化，报告期甲企业和乙企业的产量比重分别为40%和60%；而基期甲企业和乙企业的产量比重分别为60%和40%。

要求：分别计算数据分布的特征数，并进行比较分析。 解：

甲班：∑x =3926分 n=54 x =72.7分 ∑x 2=296858 56.14=σ分 2003.0=ν 乙班：

∑x =4257分 n=56 x =76.02分 ∑x 2=334789 11.14=σ分 1856.0=ν

通过以上计算可以认为乙班的考试成绩好于甲班，因为该班不仅平均成绩高于甲班，而且乙班考试成绩的离散程度较低。

13. 根据第12题的数据，分别编制两个班成绩的组距数列（组距为10），然后由组距数列计算反映数据分布特征的各个指标，并观察与第12题所得到的计算结果是否相同？为什么？

解：

78

.7254

39308

1

8

11===

∑∑==i i

i i

i f

f x x 2840

.2175439302977502

21

81

8

1221

=??

?

??-=-=

∑∑==x f

f x

i i

i i

i σ

74.142840.2171==

σ

乙班成绩分组表

86.7756

436061

6

12===

∑∑==i i

i i

i

f

f x

x 1224

.1815643603496002

22

61

6

1222=??

?

??-=-=

∑∑==x f

f x

i i

i i

i σ 46.131224.1811==σ

14.某商贸公司从产地收购一批水果，分等级的收购价格和收购金额如下表，试求这批

解：

37660 1.6268/23150q

x q x

??

?

??===∑∑元千克

15．某厂长想研究星期一的产量是否低于其他几天，连续观察六个星期，所得星期一的日产量为100、150、170、210、150、120，单位吨。同期非星期一的产量整理后的资料为：

要求：

（1）求星期一的平均日产量、中位数、众数； （2）求非星期一的平均日产量、中位数、众数；

（3）比较星期一和非星期一产量的相对离散程度哪一个大一些。

（1）n x x ∑=

1506

900

==（吨）

；

150=e M （吨）；1500

=M （吨） （2）17524

4200

==

=

∑∑f

xf

x （吨） 17050108

121502

1

=?-+

=?-+

=-∑d f S f

L M m m e （吨）

5.16250)

410()810(8

10150211=?-+--+=??+??+=d L M o （吨）

（3）135.12σ=

=（吨） 245.64σ=

==（吨） 1

11

35.1223.41%150cv x σ=

=

= 222

45.64

26.08%175cv x σ=== 12cv cv ?Q ∴非星期一产量的相对离散程度大一些。

18．向三个相邻的军火库掷一个炸弹。三个军火库之间有明显界限，一个炸弹不会同时

炸中两个或两个以上的军火库，但一个军火库爆炸必然连锁引起另外两个军火库爆炸。若投中第一军火库的概率是0.025，投中第二军火库以及投中第三军火库的概率都是0.1。求军火库发生爆炸的概率。

解：设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一军火库、第二军火库、第三军火库这三个事件。于是，P （A ）=0.025 P （B ）=0.1 P （C ）=0.1 又以D 表示军火库爆炸这一事件，则有，D=A+B+C 其中A 、B 、C 是互不相容事件（一个炸弹不会同时炸中两个或两个以上军火库）

∴P （D ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）=0.025 + 0.1+ 0.1=0.225

19．某厂产品中有4%的废品，100件合格品中有75件一等品。求任取一件产品是一等品的概率。

解：设A 表示一等品、B 表示合格品、C 表示废品

P （B ）=1- P （C ）=1-0.04=0.96 P （A |B ）=

100

75

=0.75 ∵A ?B ∴A=AB

∴P （A ）= P （AB ）= P （B ）* P （A |B ）=0.96*0.75=0.72

20．某种动物由出生能活到20岁的概率是0.8，由出生能活到25岁的概率是0.4。问现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为何？

解：设A 表示这种动物活到20岁、B 表示这种动物活到25岁。 ∵B ?A ∴B=AB

∴P （B |A ）=

）（）（A P AB P =）（）（A P B P =8

.04

.0=0.5

21．在记有1，2，3，4，5五个数字的卡片上，第一次任取一个且不放回，第二次再在余下的四个数字中任取一个。求：

（1）第一次取到奇数卡片的概率： （2）第二次取到奇数卡片的概率； （3）两次都取到奇数卡片的概率。

解：设A 表示第一次取到奇数卡片、B 表示第二次取到奇数卡片。

（1）P （A ）=

5

3 （2）P （B ）= P （AB+A B ）= P （AB ）+ P （A B ）= P （A ）* P （B |A ）+ P （A ）* P （B |A ）=

53*42+52*43=5

3 （3）P （AB ）= P （A ）* P （B |A ）=

53*42=10

3 22．两台车床加工同样的零件。第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任意取出的零件是合格品的概率。

解：设B 1={第一台车床的产品}；B 2={第二台车床的产品}；A={合格品}

则P （B 1）=

32；P （B 2）=3

1

；P （A |B 1）=1-0.03=0.97；P （A |B 2）=1-0.02=0.98 由全概率公式得：

P （A ）= P （B 1）* P （A |B 1）+ P （B 2）* P （A |B 2）=

32*0.97+3

1

*0.98=0.973 23．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球，乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲

袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球。问取得白球的概率是多少？

24．在第22题中，如果任意取出的零件是废品，求它属于第二台车床所加工零件的概率。

解：设B 1={第一台车床的产品}；B 2={第二台车床的产品}；A={废品}

则P （B 1）=

32；P （B 2）=3

1

；P （A |B 1）=0.03；P （A |B 2）=0.02

P （B 2| A ）=）（）（A P AB P 2=）（）（）（）（）

（）（221122B A P *B P B A P *B P B A P *B P +=02.0*3

1

03.0*3202

.0*3

1

+=0.25 25．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”由于通讯系统受到干扰，当

发出信号 “·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求：

（1）当收报台收到信号“·”时，发报台确实发出信号“·”的概率； （2）当收报台收到信号“—”时，发报台确实发出信号“—”的概率。

26．设某运动员投篮投中概率为0.3，试写出一次投篮投中次数的概率分布表。若该运动员在不变的条件下重复投篮5次，试写出投中次数的概率分布表。

解：

二项分布P （X=x i ）=x

n C x -n x P 1P ）（- x

n C =

!

x -n x!）（

当X=0时 05C 500.310.3）（-=0.16807；当X=1时 15C 4

10.310.3）（-=0.36015； 当X=2时 25C 320.310.3）（-=0.30870；当X=3时 35C 230.310.3）（-=0.13230； 当X=4时 45C 140.310.3）（-=0.02835；当X=5时 55C 050.310.3）

（-=0.00243

29．若随机变量X 服从自由度等于5的-χ分布，求P (3

-χ分布，求P （3

解：

当v=5时 P （3

当v=10时 P （3

30．若随机变量X 服从自由度为f 1=4，f 2=5的F －分布，求P (X >11)的近似数值；若X 服从自由度为f 1=5，f 2=6的F －分布，求P (X <5)的近似值。

解：

当f 1=4、f 2=5时 P （X >11）=0.01

当f 1=5、f 2=6时 P （X<5）=1-0.05=0.95

31．若随机变量X 服从自由度为10的t –分布，求P (X >3.169)；若X 服从自由度为5的t –分布,求P (X <–2.571)。

解：

P （X >3.169）=

21*0.01=0.005；P （X<-2.571）=2

1

*0.05=0.025 55. 从某地区2004年新生男婴总体中简单随机放还地抽取了50名，测量他们的体重如下(单位：克)：

2520，3540，2600，3320，3120，3400，2900，2420，3280，3100，

2980，3160，3100，3460，2740，3060，3700，3460，3500，1600， 3100，3700，3280，2880，3120，3800，3740，2940，3580，2980，

3700，3460，2940，3300，2980，3480，3220，3060，3400，2680，

3340，2500，2960，2900，4600，2780，3340，2500，3300，3640。

试以显著水平α=0.05检验新生男婴体重是否服从正态分布。 解：

（1）提出假设：

H 0 ：新生男婴体重服从正态分布 H 1 ：新生男婴体重不服从正态分布 （2）计算样本均值与样本标准差： y =

n

1∑y =

50

1

*158160= 3163.2（克） S=

1

-n y -y 2

∑）（= 465.52（克）

（3）列表：

（4）构造检验统计量并计算样本观测值：

2)

50(χ

=

∑

=n

1

i I

2

i i E E -V ）

（=0.9528 （5）确定临界值和拒绝域：

自由度 7-2-1=4 2

05.0x （4）=9.488

拒绝域为：[)+∞,488.9 （6）做出检验决策：

∵2

)50(χ=0.9528 < 2

05.0x （4）=9.488 检验统计量的样本观测值落在接受域。

∴不能拒绝H 0，即没有显著证据表明新生男婴体重不服从正态分布。

56. 独立重复投掷一枚骰子n 次，各种点数实际出现次数的频数分布列如下表。现要检验骰子是否均匀。请写出原假设、备择假设、检验统计量、检验统计量的分布（包括分布的自由度）。

原假设：骰子均匀（或各种点数出现的概率相同） 备择假设：：骰子不均匀（或各种点数出现的概率不相同） 检验统计量：

n n n n n n n n 616

1-61

-61--2622212

)(2

）

（）（）（理论频数

理论频数）

（实际频数++=

=∑Λχ 检验统计量近似服从自由度4的2χ分布

57．对男性和女性是否喜欢体育运动所进行的民意测验数据如下：

试以显著性水平

0.05检验是否喜欢体育运动与性别有无关系。 解：

1．提出假设：

j

i ij j i ij H H ..1..0.:.:ππππππ≠=

2．构造统计量并计算样本值

593.27108

4050)

108405016(1083350)108335018(1083550)108355016(1084058)

108405824(1083358)108335815(1085835)108355819()(2

222

222

13

1

...2

..2=??-+??-+??-+??-+

??-+??-

=-

=∑∑==i j j i j

i ij n n n n n n n χ

3．给定显著性水平05.0=α，自由度=（2-1）（3-1）=2，则临界值为991.52

)2,05.0(=χ

4．比较并结论：与性别相依

即，是否喜欢体育运动不能接受原假设

∴2)

2,05.0(2χχφΘ

60．我国1990-2003年的能源消费总量如下表（数据来源于《中国统计年鉴2004》，

单位：万吨标准煤）：

要求根据上述数据计算：

（1）年平均发展水平和年平均增长量。 （2）年平均增长速度。

（3）指出增长速度超过平均速度的年份有哪些年？ 解：

（1）年平均发展水平

万吨）

(286.128705141801874

1416780014822210917010378398703==+++++=∑=

Λn a a 年平均增长量（1991-2003）

万吨）

(154.531513

98703

1678000=-=-=

?n a a n （2）平均增长速度（1991-2003）

%167.41987031678001130=-=-=n n a a M

（3）有91、92、93、94、95、96、2002、2003年

67．某地区1998—2002年某种产品的产量资料如下：

试运用最小平方法拟合直线方程，并预测2003年、2005年这种产品可能达到的产量。 解：先画出散点图及其趋势线

解法一（手算）：

5.29

*5556

.24*3*5394?2

1

2

1

=--=--=∑∑==t n t

x

t n tx

b

n

t n

t t

1.173*5.26.24??=-

=-=t b x a

所求的回归方程为

单位百吨）

(5.21.17?t x

t +=

预测2003年的产量： 百吨）(1.326*5.21.17?6

=+=x

预测2004年的产量：

百吨）

(6.347*5.21.17?7

=+=x

解法二（利用Excel 软件，略） 69．某宾馆1998年～2002年各季度接待游客人次资料如下表，现已判定该资料属于（不含长期趋势的）季节型时间数列。请用按季平均法编制季节模型，并预测2003年各季度接待游客人数。（预测2003年平均水平时要用一次指数平滑法，用1998年平均水平作初始值，平滑常数取0.1）。

解：1.编制季节模型

2003年第一季预测值：2097.845775×0.9481=1905.05

第二季预测值：2097.845775×1.0619=2227.70

第三季预测值：2097.845775×1.1125=2333.85

第四季预测值：2097.845775×0.9175=1924.77

70．已知某地区近25年粮食单产依次如下表所示（单位：公斤/公顷）。

6240 6390 6975 6885 7755 8280 8505 8445 8505

8460 8340 8550 9120 9165 9360 8775 8640 9375

9510 9600 9630 9810 10155 9570 9180

试用一次指数平滑法（α=0.4）对该地区第26年的粮食单产进行预测。所得到的结果存在什么问题？

答：

这一序列为趋势型序列，因此不能利用一次指数平滑方法预测，如果使用该方法，得到的预测值会出现滞后现象，也即对序列的趋势反映不足。

73

试计算该地区的农产品收购价格总指数，并据以分析农产品收购价格变化对农民收入的影响。

解：

三种农产品的收购价格指数=

%76.10352

.30511

11

1

==

∑

p q k

答：三种农产品的收购价提高了3.76,由此农民增收11.48万元（317-305.52）。

74．某企业三种产品个体价格指数和销售额资料如下表：

要求：计算价格总指数和销售量总指数。 解： 价格总指数=

11

11

9520120235235100.346%1952012093.137

21.05120234.1869

102%95%100%

q p q p k p ++∑====++++∑ 销售额总指数=（95+20+120）/（50+20+100）=138.2353%

销售量总指数=销售额总指数/价格总指数=138.2353%/100.346%=137.7586%

75试从相对数和绝对数两个方面对该企业总成本变动进行因素分析。

（1）企业总成本变动：

=∑∑0

11q

p q p =342000

362100105.87%

∑∑-0

01

1q

p q p =362100-342000=20100（元）

（2）产量变动对总成本变动的影响：

=∑∑0

10q

p q p =342000

360000105.26%

∑∑-0

1

0q

p q p =360000-342000=18000（元）

（3）单位成本变动对总成本变动的影响：

=∑∑1

011q

p q p =360000

362100100.58%

∑∑-1

01

1q

p q p =362100-360000=2100（元）

（4）两因素共同影响：

105.87%=105.26%*100.58% 20100=18000+2100

76

要求：根据表中数据分析各种因素对这两种产品的原材料消耗总额的变动的影响。

原材料消耗总额=产量(q)?产耗（M ）?价格（P ）

分析对象： 相对变动：

11100012592000124.37%10125000

q M P q M P ==∑∑ 绝对差额的变动：

11100012592000101250002467000()q M P q M P -=-=∑∑元

（1）产量变化对原材料消耗总额的影响： 相对变动的影响：10000013200000130.37%

10125000q M P q M P ==∑∑

绝对差额的影响：

10000013200000101250003075000()q M P q M P -=-=∑∑元

（2）单耗变化对原材料消耗总额的影响： 相对变动的影响：1101001179600089.36%13200000

q M P q M P ==∑∑

绝对差额的影响：

11010011796000132000001404000()q M P q M P -=-=-∑∑元

（3）原材料价格的变化对原材料消耗总额的影响： 相对变动的影响：11111012592000106.75%12796000q M P q M P ==∑∑

绝对差额的影响：

1111101259200011796000796000()q M P q M P -=-=∑∑元

（4）共同影响：

相对变动关系式：124.37%=130.37% 89.36%106.75%?? 绝对差额关系式：2467000=3075000-1404000+796000

以上计算表明该企业原材料消耗总额报告期比基期上升了124.37%，增加了2467000元。其中，因为常量增长130.37%，减少1404000元，因各种原材料价格的上升增长了106.75%，增加了796000元。

77

要求：对该产品平均价格的变动进行因素分析。并说明该企业产品质量变化对企业销售收入的影响。

分析对象：

相对变动 0

00111f f x f f x ∑∑∑∑=1002620

1304260

=2.26769.32=125.07%

变动的绝对差值

111f f x ∑∑-000f f x ∑∑=1304260-100

2620

=32.769-26.2=6.569（元/件）

（1）销售量构成变动的影响：

对相对变动的影响 0

00110f f x f f x ∑∑∑∑=10026201303690

=2

.26385.28=108.34%

对绝对差额的影响

110f f x ∑∑-000f f x ∑∑=1303690-100

2620=28.385-26.2=2.185（元/件）

（2）单价变动的总影响：

对相对变动的影响

110111f f x f f x ∑∑∑∑=130

36901304260

=385.28769.32=115.45%

对绝对差额的影响

111f f x ∑∑-110f f x ∑∑=1304260-130

3690

=32.769-28.385=4.384（元/件）

（3）综合影响

相对变动关系式： 125.07%=108.34%*115.45% 绝对差额关系式： 6.569=2.185+4.384