(函授)数学分析选讲试卷A答案
课程代号：
潍坊学院数学与信息科学学院
函授《数学分析选讲》试卷（A ）答案
一、 判断题（每题2分，共14分）
略
二、求极限（每题9分，共18分）
1. 求 ?
+
∞
→n
n dx x
n
1
)11ln(1lim
.
解 利用)0()(2)1ln(32→+-
=+t t O t t t 并令t x
=1
得 ).(21ln 212122)1ln(2)1ln(1132131∞→→???
? ??+-=???? ??+-
=+=+???n n O n n
n O dt t t t n dt t t n dx x n n n n
2. 若a x n n =→∞
2lim ，b x n n =-∞
→1
2lim ，求n
x x n
n ++∞→ 1
lim . 解 令)(1
21n n x x x n
y +++=
. [][].)(|)()(2
1
)()()(2
1
24212312b x b x b x a x a x a x y n n n -++-+-+-++-+-=
-
由0)(lim ,0)(lim 212=-=-∞
→-∞
→b x a x n n n n 及Stolz 定理得
[][]0)()(1
lim ,0)()(1lim
22121=-++-=-++-∞→-∞→b x b x n
a x a x n n n n n 于是2lim 2b
a y n n +=∞→.
2
12lim 122lim lim 1221
2b
a n x n n y y n n n n n n +=+++?=+∞→∞→+∞
→
三、求积分（每题9分，共18分）
１．计算积分
dx x ?
20
sin ln π
的值.
解 原积分=
???
++=202020
2
cos ln 2sin ln 22ln )2cos 2sin 2ln(π
π
π
πdx x
dx x dx x x
???
? ??++=
??4040cos ln sin ln 22
2
ln ππ
πxdx xdx . 令
t x =-2
π
,则???=-=24
40
40
sin ln )2
sin(
ln cos ln π
π
π
π
π
xdx dx x xdx . 原积分=2
2
ln π-
.
2.设为C 区域x y x D sin 0,0:<<<<π的正方向的边界线,计算积分
?
---C
x dy y y dx y e ])sin (]cos 1[(.
解 设)sin (),cos 1(y y e Q y e P x
x
--=-=,则有x ye y
P
x Q -=??-??. 应用格林公式,得 原积分=??
???-=-=-
ππ0
2sin 0
sin 21xdx e dy ye dx dxdy ye
x
x x
D
x
).1(5
1)1(41)]2sin 22(cos 51[410-=--+=πππe e x x e x
四、(10分) 考察级数
)0(sin sin 1
+∞<<+∑
∞
=x n
x nx
x n 的一致收敛性.
解 设n
x x v nx x x u n n +=
=1)(,sin sin )(.
学
生 答 题 不 得 过 此 线
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
数学与信息科学学院 应用数学专业 姓名
学
号
x n
x n x kx x x x u n k n
k k
2sin 21sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2)(11
?+?==∑∑==. 因此
2)(1
≤∑=n
k k
x u
对所有),0(∞∈x 成立.显然数列{})(x v n 对每个
),0(∞∈x 单调,且关于),0(∞∈x 一致收敛于零.依据狄立克莱判别法,原函
数项级数关于),0(∞∈x 一致收敛.
五、(10分) 考察???
??=≠=,0,
,0,sin ),(x y x x xy
y x f 在全平面上连续性与一致连续性.
解 (1)当时0≠x 函数显然连续.当x=0时,对任意0y ,有
),0(sin lim
),(lim 0000
y f y y xy
xy
y x f y y x y y x ==?=→→→→, 所以该函数在),0(0y 点也连续.所以函数在全平面上处处连续. (2)因为存在2
1
0=
ε,存在两个点列 ,2,1),,(),(),,2(
),(==''=n n n
y x n n y x n n
n n π
π 虽然0),(),(lim =''-∞
→n n
n n n y x y x ,但是 02
1
2
sin
2),(),(επ
π
=>
=''-n
y x f y x f n n
n n , 所以函数在全平面上不一致连续.
六、证明题 (每题10分,共30分)
1.设)(x f ,)(x g 都在),(+∞-∞上连续,且对,x ?,0)()1(>=+x g x g 证明
??
? ????? ??=???∞→1
01010)()()()(lim dx x g dx x f dx nx g x f n . 证 由积分第一中值定理及),()1(x g x g =+有
∑???
=-==n k k k n dt t g n
t
f n dt t
g n t f n dx nx g x f 11010
)()(1)()(1)()(
∑?∑?==-==n
k k n k k k k dt t g n f n dt t g n f n 110
11)()(1)()(1ξξ.
再由定积分的定义知
??
? ????? ??=???∞→1
01010)()()()(lim dx x g dx x f dx nx g x f n . 3. 设函数)(z f 在[0,1]上连续,在（0，1）内可微，且1
)(0,0)0(≤'<=x f f 证明 ??≥??
? ??1
03
2
10)()(dx x f dx x f .
证明过程 令
??=??
? ??=x
x dt t f x G dt t f x F 030.)()(,)()(则有(]1,0,0)()(3∈>='x x f x G .由柯西中值定理知，存在),0(),1,0(ξηξ∈∈,
使
1)
(1)0()(0
)(2)()(2)()()(2)()()1()1(22
02
030≥'=--===''=???ηξξξξ
ξξf f x f dt t f x f dt t f x f dt t f f G F G F 故)1()1(G F ≥.结论成立.
3. 设)(x f 为单调减少的正值函数,若1)
()
(lim
<=∞→λx f e f e x x x ,则 ∑∞
=1
)(n n f 收敛.
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