高考试题理科数学及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
一、填空题：本大题共1小题， 每小题5分， 共70分．
1．若函数cos()(0)6
y x πωω=->最小正周期为5π
， 则ω= .
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1， 2， 3， 4， 5， 6个点的正方
体玩具）， 先后抛掷两次， 则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 3．若将复数
11i
i
+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式， 则a b += ． 4．若集合2
{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈， 则A Z I 中有 个元素.
5．已知向量a r 和b r 的夹角为0
120， ||1,||3a b ==r r ， 则|5|a b -=r r ．
6．在平面直角坐标系xoy 中， 设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域， 向D 中随机投一点， 则所投点在E 中的概率
是
7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查， 下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图， 则输出的S 的值为 8．设直线b x y +=
2
1
是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，
则实数b 的值是 9
．如图， 在平面直角坐标系xoy 中， 设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ， 点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点）， 这里p c b a ,,,均为非零实数， 设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,， 某同学已正确求得直线
OE 的方程为01111=???
? ?
?-+??
? ??-y a p x c b ， 请你完成直线OF 的方程： ( )011=???
?
??-+y a p x 。
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律， 第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
11．设,,x y z 为正实数， 满足230x y z -+=， 则2
y xz
的最小值是
12．在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的焦距为2c ， 以O 为圆心，
a 为半径作圆M ， 若过20a P c ??
???
，作圆M 的两条切线相互垂直， 则椭圆的离心率为
13．满足条件BC AC AB 2,2=
=的三角形ABC 的面积的最大值
14．设函数3
()31()f x ax x x R =-+∈， 若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立， 则实数a 的值为
二、解答题：本大题共6小题， 共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图， 在平面直角坐标系xOy 中， 以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，， 它们的终边分别交单位圆于A B ，两点．已
知A B ，
两点的横坐标分别是10，
．
（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
A B
C D E
F B
16．如图， 在四面体ABCD 中， CB CD AD BD =⊥，， 点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：
（1）直线//EF 面ACD 。 （2）平面EFC ⊥面BCD ．
17．如图， 某地有三家工厂， 分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ， B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ， BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水， 现要在该矩形区域上（含边界）且与A ， B 等距的一点O 处， 建造一个污水处理厂， 并铺设三条排污管道AO ， BO ， PO ．记铺设管道的总长度为y km ．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i ）设BAO θ∠=（rad ）， 将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ）， 将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置， 使铺设的污水管道的总长度最短。
18．在平面直角坐标系xOy 中， 记二次函数2
()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有 三个交点．经过三个交点的圆记为C ． （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．
19．（1）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列， 且公差0d ≠， 若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i ）当4n =时， 求
1
a d
的数值； （ii ）求n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)， 存在一个各项及公差均不为零的等差数列
12b b ，，L ，
n b ， 其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
20．已知函数1
1()3
x p f x -=， 2
2()23
x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：
对每个给定的实数x ， 112212(),()()
()(),()()
f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?
>?若若
（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；
（2）设,a b 是两个实数， 满足a b <， 且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =， 求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
2
b a
-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -）
数学附加题
21：从A ， B ， C ， D 四个中选做2个， 每题10分， 共20分 A ．选修4—1 几何证明选讲
如图， 设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ， ∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2
ED EB EC =g ．
B ．选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中， 设椭圆2
2
41x y +=在矩阵???
?
2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ， 求F 的方程．
C ．选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy 中， 点()P x y ，是椭圆2
213
x y +=上的一个动点， 求S x y =+的最大值．
D ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ， b ， c 为正实数，
求证：333
111
a b c +++abc ≥
B C E
D A
22．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点， 记
11D P
D B
λ=．当APC ∠为钝角时， 求λ的取值范围． 23．【必做题】．请先阅读：
在等式2
cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导， 得：2
(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，
由求导法则， 得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-g g ， 化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．
（1）利用上题的想法（或其他方法）， 结合等式0122(1+x)=C C C C n n n n n n n x x x ++++L
（x ∈R ， 正整数2n ≥）， 证明：1
1
2
[(1)
1]C n
n k k n
k n x k x --=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥， 求证：
（i ）1(1)C 0n
k
k
n
k k =-=∑； （ii ）2
1(1)C 0n
k
k n
k k =-=∑； （iii ）11121
C 1
1n n
k n k k n +=-=
++∑．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学参考答案
一、填空题
1、10；
2、112；
3、1；
4、6；
5、7；
6、16
π
； 7、6.42； 8、ln2－1；
9、11c b -； 10、262n n -+； 11、3； 12、2
2
；13、2 14、4；
2、【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个， 点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个， 故316612
P =
=? 6、【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界）， 区域E 表示单位圆及其内部， 因此．2
144
16
P ππ
?==
?
7、【解析】由流程图
1122334455S G F G F G F G F G F =++++
4.50.12
5.50.20
6.50.40
7.50.2
8.50.08=?+?+?+?+? 6.42=
9、【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图， 由对称性可猜想填
11
c b
-．事实上， 由截距式可得直线AB ：
1x y
b a
+=， 直线CP ：1x y c p += ， 两式相减得
11110x y b c p a ??
??-+-= ? ?????
， 显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程， 又原点O 也满足此方程， 故为所求直线OF 的方程． 10、【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n
－1）个， 即22n n -个， 因此第n 行第 3 个数是全体正整数中第22
n n -＋3个， 即为
262
n n -+． 11、【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32
x z
y +=， 代入
2y xz 得
229666344x z xz xz xz
xz xz
+++≥=， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．
12、【解析】设切线PA 、PB 互相垂直， 又半径OA 垂直于PA ，
所以△OAP 是等腰直角三角形， 故2
2a a c =， 解得22
c e a =
=． 13、【解析】设BC ＝x ， 则AC ＝2x ， 根据面积公式得：
ABC S ?=
21
sin 1cos 2
AB BC B x B =-g . 根据余弦定理得：
2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x
+-+-==g 2
44x x -=， 代入上式得
ABC S ?=()2
221281241416x x x x --??
--=
???
由三角形三边关系有22
22x x x x
?+>??+>??解得222222x -<<+，
故当22x =时取得ABC S ?最大值22
14、【解析】若x ＝0， 则不论a 取何值， ()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，
()331f x ax x =-+≥0可化为， 23
31
a x x ≥
- 设()23
31g x x x =
-， 则()()'
4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???
上单调递增， 在区间1,12??
????
上单调递减， 因此()max 142g x g ??
== ???
， 从而a ≥4； 当
x ＜0 即
[)
1,0-时，
()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤
23
31x x -， ()()'
4
312x g x x -=0>
()g x 在区间[)1,0-上单调递增， 因此()()ma 14n g x g =-=， 从而a ≤4， 综上a ＝4
二、解答题
15、（1
）由已知条件即三角函数的定义可知cos ,cos 105
αβ=
=， 因α为锐角，故sin 0α>，
从而sin 10
α==
同理可得
sin β==
， 因此1tan 7,tan 2
αβ==. 所以tan()αβ+=1
7tan tan 231
1tan tan 172αβαβ+
+=
=---?g ; （2）132tan(2)tan[()]11
1(3)2
αβαββ-+
+=++=
=---?
, 30,0,02,222
πππ
αβαβ<<<<<+<又故
从而由 tan(2)1αβ+=- 得 324
π
αβ+=.
16、证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．
∴EF 是△ABD 的中位线， ∴E F ∥AD ，
∵E F ∥?面ACD ， AD ?面ACD ， ∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ， E F ∥AD ， ∴E F ⊥BD ，
∵CB=CD ， F 是ＢＤ的中点， ∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ?面BCD ， ∴面EFC ⊥面BCD 17、【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ， 若∠BAO=θ(rad) ， 则10
cos cos AQ OA θθ
==, 故
10
cos OB θ
=
， 又OP ＝1010tan θ-， 所以1010
1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，
所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=
+04πθ?
?≤≤ ??
?
②若OP=x (km) ， 则OQ ＝10－x ， 所以
=
所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ （Ⅱ）选择函数模型①， ()()()
'
22
10cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ
-----=
=g
令'
y =0 得sin 12θ=， 因为04
π
θ<<， 所以θ=6π，
当0,
6πθ?
?
∈ ??
?
时， '
0y < ， y 是θ的减函数；当,64ππθ??
∈
???
时， '0y > ， y 是θ的增函数， 所以当θ=
6
π
时，
min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上， 在矩形区域内且距离AB
km 处。 18、解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0， 得抛物线与y 轴交点是（0， b ）；
令()2
20f x x x b =++=， 由题意b ≠0 且Δ＞0， 解得b ＜1 且b ≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2
x 2
0y Dx Ey F ++++=
令y ＝0 得20x Dx F ++=这与2
2x x b ++＝0 是同一个方程， 故D ＝2， F ＝b ． 令x ＝0 得2
y Ey +＝0， 此方程有一个根为b ， 代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为22
2(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点， 证明如下：
假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于 ， 将该点的坐标代入圆C 的方程，
并变形为22
000002(1)0x y x y b y ++-+-= （*）
为使（*）式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立， 必须有010y -=， 结合（*）式得
22
000020x y x y ++-=， 解得000002 11x x y y ==????==??，－，或，，
经检验知， 点(0,1),(2,0)-均在圆C 上， 因此圆C 过定点。
19、解：（1）①当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项， 否则等差数列中连续三项
成等比数列， 则推出d =0。
若删去2a ， 则2314a a a =?， 即2
111(2)(3)a d a a d +=?+化简得140a d +=， 得
1
4a d
=- 若删去3a ， 则2214a a a =?， 即2
111()(3)a d a a d +=?+化简得10a d -=， 得
1
1a d
= 综上， 得
1
4a d
=-或11a d =。
②当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ， 否则出现连续三项。
若删去3a ， 则1524a a a a ?=?， 即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+?+化简得2
30d =， 因为0≠d ， 所以3a 不能删去；
当n ≥6时， 不存在这样的等差数列。事实上， 在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中， 由于不能删去首项或末项， 若删去2a ， 则必有132n n a a a a -?=?， 这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -?=?， 这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个， 则必有
121n n a a a a -?=?， 这与0≠d 矛盾。(或者说：当n ≥6时， 无论删去哪一项， 剩余的项中
必有连续的三项)
综上所述， 4n =。
（2）假设对于某个正整数n ， 存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21， 其中
111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列， 则2111y x z b b b +++=?， 即
2111()()()b yd b xd b zd +=+?+， 化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+- （*）
由10b d ≠知， 2
y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0
当2
y xz -与2x z y +-同时为0时， 有x y z ==与题设矛盾。
故2
y xz -与2x z y +-同时不为0， 所以由（*）得212b y xz
d x z y
-=+-
因为01x y z n ≤<<≤-， 且x 、y 、z 为整数， 所以上式右边为有理数， 从而1
b d
为有理数。
于是， 对于任意的正整数)4(
≥n n ， 只要1
b
d
为无理数， 相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n 项数列1，
1 1+ ……， 1(n +- 20、解：（1）由()f x 的定义可知， 1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于
()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于1
2
3
23
x p x p --≤g ， 即
12
3log 23
32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*）
由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于12
32p p -≤， 即123log 2p p -≤， 这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i ）当1232p p log -≤时， 由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）
则由()()f a f b =及1a p b <<易知12
a b
p +=
，
再由11
1
11
3,()3,p x x p x p f x x p --?
函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度
为22
a b b a b +--=
（参见示意图1） （ii ）1232p p log ->时， 不妨设12,p p <， 则213log 2p p ->， 于是 当1x p ≤时， 有1212()3
3()p x
p x f x f x --=<<， 从而1()()f x f x =；
当2x p ≥时， 有31
2122122log 212()333333()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=g g
从而 2()()f x f x = ；
当12p x p <<时， 1
1()3
x p f x -=， 及22()23
p x
f x -=?， 由方程1
23
23x p p x --=?
解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12031
log 222
p p x +=+ ⑴
显然10221321[()log 2]2
p x p p p p <=---<， 这表明0x 在1p 与2p 之间。由⑴易知
10
1022
(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤?=?<≤?
综上可知， 在区间[,]a b 上， 0
102(),()(),a x x f x f x x x b
f x ≤≤?=?
<≤? （参见示意图2）
故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知， ()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
012()()x p b p -+-， 由于()()f a f b =， 即12323p a b p --=?， 得 123log 2p p a b +=++ ⑵
故由⑴、⑵得 0121231()()[log 2]22
b a
x p b p b p p --+-=-+-=
综合（i ）（ii ）可知， ()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2
a
b -。 21：A ．选修4—1 几何证明选讲
证明：如图， 因为AE 是圆的切线， 所以， ABC CAE ∠=∠,
又因为AD 是BAC ∠的平分线， 所以 BAD CAD ∠=∠
从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠, DAE CAD CAE ∠=∠+∠
所以 ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.
因为 EA 是圆的切线， 所以由切割线定理知, 2
EA EC EB =?,
而EA ED =,所以2
ED EC EB =g
B ．选修4—2 矩阵与变换
解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点， 点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点
'''
00(,)P x y 则有
'
0'0020 01x x y y ??????=??????????????， 即'0
'00
2x x y y ?=??=??， 所以'
0'0
02x x y y ?=???=? 又因为点P 在椭圆上， 故220041x y +=， 从而'2'2
00()()1x y +=
所以， 曲线F 的方程是 22
1x y += C ．选修4—4 参数方程与极坐标
解： 因椭圆22
13x y +=
的参数方程为 (sin x y φφφ
?=??=??为参数） 故可设动点P
的坐标为,sin φφ）， 其中02φπ≤<.
因此1sin sin )2sin()23
S x y π
φφφφφ=+=+=+=+ 所以， 当6
π
φ=
时， S 取最大值2
D ．选修4—5 不等式证明选讲
证明：因为,,a b c 为正实数，
由平均不等式可得
333111a b c ++≥ 即 3331113
a b c abc ++≥ 所以3331113
abc abc a b c abc
+++≥+，
而
3abc abc +≥= 所以
333
111
a b c +++abc ≥ 23、证明：（1）在等式0122(1+x)=C C C C n n n
n n n n x x x ++++L 两边对x 求导得
112121
(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+L
移项得： 1
1
2
[(1)
1]n
n k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）
（2）（i ）在（*）式中， 令1x =-， 整理得
1
1
(1)
0n
k k
n k kC -=-=∑
所以
1
(1)
0n
k
k
n k kC =-=∑
（ii ）由（1）知1
12121
(1)
2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L
两边对x 求导， 得2
232
(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-g L
在上式中， 令1x =-
232
20232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--g
L 即
22
(1)(1)0n
k
k n
k k k C
-=--=∑，
亦即
22
(1)
()0n
k
k
n k k k C =--=∑ （1）
又由（i ）知
1
(1)
0n
k
k
n k kC =-=∑ （2）
由（1）+（2）得
21
(1)
C 0n
k
k n k k =-=∑
（iii ）将等式0122(1+x)=C C C C n n n
n n n n x x x ++++L 两边在[0,1]上对x 积分
1
1
01220
(1)(C C C C )n n n
n n n n x dx x x x dx +=++++?
?L
由微积分基本定理， 得
1111
00
1
1(1)()1
1n
n k k n k x C x n k ++=+=++∑
所以 10121
1
1n n
k n k C k n +=-=
++∑
22、解：由题设可知， 以DA u u u r 、DC u u u
r 、1DD u u u u r 为单位正交
基底， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则有
(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)D
由
1(1,1,1)
D B =-u u u u r
， 得
11(,,)
D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r
， 所以
11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r
11
(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r 显然APC ∠不是平角， 所以APC ∠为钝角等价于
cos cos ,0PA PC
APC PA PC PA PC
∠=<>=
u u u r u u u r g u u u r u u u r g ， 则等价于0PA PC
即 2
(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<， 得1
13
λ<< 因此， λ的取值范围是1(,1)3
【必考题】数学高考试题(及答案)
【必考题】数学高考试题(及答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 56 5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22 221x y a b += (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ， 使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．2,13?? ???? B ．1,32???? C ．1,13?? ???? D ．10,3 ?? ?? ? 6．函数3 2 ()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,2) 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 8．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8 B ．9，5，6 C ．7，5，9 D ．8，5，7 9．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ． 12 B ． 512 C ． 14 D ． 16 10．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
2020年高考新课标Ⅲ理科数学试卷及答案
2020年高考新课标Ⅲ理科数学试卷及答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8 y x x y ≥??+=?，且*,x y N ∈， 由82x y x +=≥，得4x ≤， 所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数1 13i -的虚部是（ ） A. 310 - B. 110 - C. 110 D. 310 【答案】D 利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为11313 13(13)(13)1010 i z i i i i += ==+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 11i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====
【常考题】数学高考试题(含答案)
【常考题】数学高考试题(含答案) 一、选择题 1．123{3x x >>是12126 {9 x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 6．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为 ( ). A B C D ．6 7．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b = c =( ) A ． B ．2 C D ．1 8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）
高考理科数学试卷(带详解)
·江西卷(理科数学) 1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算 【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易 【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i. 2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2 x －x )的定义域为( ) A.(0， 1] B.[0， 1] C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞) D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域 【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由2 x －x >0， 得x >1或x <0. 3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝|| 5x ， g (x )＝2 ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数 【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易 【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ????＝1， 得|1| 5 a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1. 4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若2 2 ()c a b ＝－＋6， C ＝π 3 ， 则△ABC 的面积是( ) A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积 【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1 sin 2 ab C . 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( )
高考理科数学试卷及答案
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
99全国高考理科数学试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()
(A)k 1
新高考数学试题(带答案)
新高考数学试题(带答案) 一、选择题 1．定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ． C ． D ． 2．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 3．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001
参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 5．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 6．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 8．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 2 D 9．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．6 D ．2 10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
【好题】数学高考试题带答案
【好题】数学高考试题带答案 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( ) A．B．C．D． 2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A．B．C．D． 3．如图所示的组合体，其结构特征是（） A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A．B． C．D． 5．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A 53 B ． 532 C 53 D ． 132 10．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ?=则BC=______ A 3B 7 C 2 D 2311．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．32 二、填空题 13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2 21y ax a x =+++相切,则a= ． 14．设n S 是等差数列{}* ()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
2017年全国高考理科数学试题及答案全国卷1
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
新数学高考试题带答案
新数学高考试题带答案 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 2．设函数()()21,0 4,0 x log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15 3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． 1 9 B ． 29 C ． 49 D ． 718 4．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A 2 B 3 C 5 D ．6 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x C ．3 5y x =± D ．53 y x =± 6．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ?
2018高考全国1卷理科数学试卷及答案
2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题 5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1i 1. 设z 2i ，则z 1i 1 A.0 B. C.1 D. 2 2 2. 已知集合A x |x2 x 2 0 ，则C R A A. x | 1 x 2 B. x|1x2 C. x|x 1 x|x2 D. x|x 1 x| x 2 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记S n为等差数列a n 的前n项和，若3S3 S2 S4，a1 2，则a5 A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数f x x3 a 1 x2 ax ，若f x 为奇函数，则曲线y f x 在点0,0 处的切 绝密★启用 前 则下面结论中不正确的 是
线方程为 10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC ， ABC 的三边所围成的区域 记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分 别记为 p 1, p 2, p 3 ，则 A. y 2x B.y x C.y 2x D. y x 6.在 ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB 3 1 1 3 A. AB AC B. AB AC 4 4 4 4 3 1 1 3 C. AB AC D. AB AC 4 4 4 4 7.某圆柱的高为 2，地面周长为 16，其三视图如右图，圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视 图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中， 最短路径的长度为 A.2 17 B.2 5 C.3 D.2 则 FM FN A.5 B.6 C.7 9.已知函数 f e x ,x 0 x ,g x ln x,x 0 fx 围是 A. 1,0 B. 0, 2 2,0 且斜率为 的直线与 C 交于 M ,N 两点， 3 D.8 x a ，若 g x 存在 2 个零点，则 a 的取值范 C. 1, D. 1, 8.设抛物线 C: y 2 4 x 的焦点为 F ，过点
新高考数学试题(及答案)
新高考数学试题(及答案) 一、选择题 1．设 1i 2i 1i z - =+ + ，则||z = A．0B． 1 2 C．1D．2 2．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A．25πB．50πC．125πD．都不对 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（） A． 1 10 B． 3 10 C． 3 5 D． 2 5 4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A．B． C．D． 5．已知F1，F2分别是椭圆C: 22 22 1 x y a b += (a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( ) A． 2 ,1 3 ?? ? ???B． 12 , 32 ? ? ?? C． 1 ,1 3 ?? ? ???D． 1 0, 3 ?? ? ?? 6．已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为() A．1B．-1C．2D．-2 7．已知函数() 25,1, ,1, x ax x f x a x x ?---≤ ? =? > ?? 是R上的增函数，则a的取值范围是（）
A ．30a -≤< B ．0a < C ．2a ≤- D ．32a --≤≤ 8．5 22x x ??+ ?? ?的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 10．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ．23 π D ． 56 π 11．在[0,2]π内，不等式3 sin x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33ππ?? ?? ? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 12．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4 3 y x =± B ．34 y x C ．35 y x =± D ．53 y x =± 二、填空题 13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688 P A B P B C P A B C ?= ?=??=，则()P B =_____． 14．在ABC 中，60A =?，1b =，面积为3，则 sin sin sin a b c A B C ________． 15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.
2018年全国高考理科数学试卷含解析
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 （河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建使用） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{ } 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
高考理科数学试卷及答案完整版
高考理科数学试卷及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
2010年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M = （A ）{}1,2 （B ）{}0,1,2 （C ）{}|03x x ≤< （D ） {}|03x x ≤≤ （2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 （4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C （5）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是 （A ）两个圆 （B ）两条直线 （C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 （6）a b 、为非零向量.“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
高考理科数学试题及答案
1982年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一．（本题满分6分） 填表： 解：见上表 二．（本题满分9分） 1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求3 cos 2x y =的导数 解：1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420 -=-=-C i C 2..3 2sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x x y -='-='=' 三．（本题满分9分）
在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形 1．; 04 36 323112=-y x Y
2．?? ?φ=φ+=. sin 2, cos 1y x 解：1.得2x-3y-6=0图形是直线 2.化为,14 )1(2 2 =+-y x 图形是椭圆 四．（本题满分12分） 已知圆锥体的底面半径为R ，高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图） 解：设圆柱体半径为r 高为h 由△ACD ∽△AOB 得 .R r H h H =- 由此得),(h H H R r -= 圆柱体体积 .)()(2 2 22 h h H H R h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有 . )(,3 ,,2. 274 274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=?π?≤?-?-?π?= （注：原“解一”对h 求导由驻点解得） 五．（本题满分15分） 的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比 较过程） A 2R
2017全国一卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
高考二卷理科数学试卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试（I I 卷） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 12i 12i +=- A ．43i 55 -- B ．43i 55 -+ C ．34i 55 -- D ．34i 55 -+ 2．已知集合(){}22 3A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 A B C D 4．已知向量a 、b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D 7．为计算1111112 3 4 99100 S =-+-++-…空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． 1 12 B ． 114 C ． 1 15 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC == ，1AA =1AD 与1DB 所成角的 余弦值为 A ．15 B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=… A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．1 3 D ．14 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，，， 则z x y =+的最大值为__________． 15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16． 已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78 ，SA 与圆锥底面所成角 为45°，若SAB △ 的面积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
历年数学高考试题
高考理科数学 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(2 2=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ） A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y x C ．5)2()2(2 2 =+++y x D ．5)2(2 2=++y x 2．2005 11i i +??= ? -?? （ ） A ．i B ．－i C ．20052 D ．－20052 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得 0)( 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式：锥体的体积1 3 V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5 ．函数()f x =的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3 x π =对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2 x x f x x x π? <≤??=??+<≤??- 则((15))f f 的值为 ▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． 11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另 一点D ．若0AB CD ?= ，则点A 的横坐标为 ▲ ． 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 {}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．2018江苏数学高考真题及答案