第七章无穷级数资料

第七章 无穷级数(无穷离散量之和的数学模型)

无穷级数的理论在高等数学中占有重要地位。它是与数列、极限密切相关的一个概念，它几乎与微积分同时诞生，牛顿就曾把二项式级数作为研究微积分的工具；为了解决微积分诞生时混乱的逻辑基础，拉格朗日也曾试图用无穷级数重建微积分理论，但由于当时对无穷级数认识的粗糙性，均未获成功。无穷级数之所以难以捉摸是由于它与无穷（或无限）纠缠在一起。随着运动和变量进入数学，无穷这个孪生鬼怪也同时降生，当时的数学家尽量避免无限，免得像阿基里斯追不上兔子一样困惑恼人。直到19世纪中叶，才由大数学家Cauchy 揭开了无限的面纱，建立起无穷级数的严格理论。

所谓无穷级数就是无穷多个数或函数之和，它是研究无限离散量之和的数学模型，是人们认识客观事物间数量关系的一个很重要的数学工具，是数学分析的重要内容之一，是现代数学的重要方法已被广泛应用到了数学自身，以及自然科学和社会科学的各个领域。它是高等数学中研究函数性质的一个重要工具，它可以表达一个函数（或数），也可以将一些复杂的量表示成简单量的无穷和，从而得到复杂量实用的近似计算公式。我们将利用无限与有限的辩证关系，以极限为工具建立级数理论。

我们将级数分为两大类来研究，常数项级数（也简称为数项级数）和函数项级数，我们先介绍数项级数。

§1 常数项级数的概念与性质

一、数项级数的概念

1、实例 已知线段AB ，设其长为S ，取A 1为AB 的中点，A 2为A 1B 的中点，…，依次取下去，A n 为A n-1B 的中点，则n 可无限增大，记各线段长度为

,,,,,122111 n n n a A A a A A a AA ===- 则得各部分线段的长度数列

,,,,21n a a a ，

其中S a n n 2

1=. 将这无穷多个数依次用加号连接，得到的应是线段的总长度表达式

++++=n a a a S 21.

这里出现了无穷多个数依次相加的式子，在物理、化学等许多学科中，常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上给出其定义，即

2、定义1 设有数列}{n u ，则称式子

++++n u u u 21

为（常数项）无穷级数，简称为（数项）级数，其中依次叫做级数的第1项，第2项，…，u

n 又叫做级数的一般项或

通项，利用通项级数可简记为∑∞

=1

n n u ，即

++++=∑∞

=

n n n u u u u 211

. (1) 例如

+++++n 21814121——等比(或几何)级数， n n u 2

1=，即有 ∑=∞=121,21,,81,41,21n n n .

++++n 21 ， n u n =， 即有 ∑=++++=

n

n n n 1

21 .

+-+-1111———波尔察诺级数， 1)1(+

-=n n u ， 即有 ∑-=+-+-∞=+1

1)1(1111n n .

注 我们只有有限多个数相加的定义，并没有无穷多个数相加的定义，因而上述定义只是形式上的定义，例如波尔察诺级数：

设 +-+-+=11111x ， 则 0)11()11(=+-+-= x ；

1)11()11(1=-----= x ； 2

11)1111(1=?

-=+-+--=x x

x .

没有一个确定的数值与之对应，这是数学的精确度不可靠，还是解法有问题？是Cauchy 指出以上解法犯了“墨守成规”的错误，即把“有限运算的结合律以及有限项相加总存在和”等观念照搬到无限项的运算中去了，这一论断澄清了当时对无限运算的糊涂观念。那么如何定义无穷多个数的相加？如何求其和？我们再回过头看刚才的实例：

对任意的自然数n ，显然线段n AA 的长n AA 为级数}{n a 的前n 项的和，即

S S S S S a a a AA n n

n n n )211(2

11211212

1412121-=--=

+++=+++= ， 则应有式子 S S AA n n n n =-=∞

→∞→)2

11(lim lim ， 这表明，线段的总长可以用级数}{n a 的前n 项和的极限表示，即

S a a a AA a a a n n n n n =+++==++++∞→∞→)(lim lim 21

21 . 受此启发，我们给出无穷级数和的定义。

定义 记级数(1)前n 项的和为n S ，并称数列 ,,,,

2121211n n u u u S u u S u S +++=+==

为级数(1)的部分和数列。

定义2 若级数(1)的部分和数列}{n S 收敛，则称级数(1)是收敛的，且若S S n n =∞

→lim ，就称S 是级数(1)的和，即有 S S u n n n n ==∑∞

→∞

=lim 1

； 若级数(1)的部分和数列}{n S 发散，称级数(1)是发散的。

注 由定义可看出，级数是否有和的问题是转化为判定其部分和数列收敛性问题，即级数的敛散问题就是一种特殊数列的敛散问题。

例1 判定级数 ++++?+?)1(13

21211n n 的敛散性。 解 ∵ 111

)1(1+-=+=n n n n u n ，

∴ 111)111()3121()211()1(13

21211+-=+-++-+-=+++?+?=n n n n n S n ， 又∵ 1)111(lim lim =+-=∞→∞

→n S n n n

， ∴ 级数收敛且和为1. 例2 证明公比为q 的几何级数

)0(111≠++++=∑-∞

=-a aq aq a aq n n n

当1

证 当1=q 时， 若q = 1， 则 ∵ a n S n =， ∴ ∞=∞

→n n S lim ； 若q = -1， 则 ∵ ???=，

为偶数，为奇数；，n n a S n 0 ∴ n n

S ∞→lim 不存在。 当1≠q 时， ∵ q

q a q q a S n

n n --

=+++=-11)1(1 ，

∴ 若1

n -=∞→1lim ； 若1>q ，则.

∞=∞→n

n S lim

由以上讨论知：当1

q

a

-1为；当1≥q 时，几何级数发散。 例3 证明调和级数

++++=∑∞

=n n

n 121111

是发散的。

证 取k 是满足122+≤≤k k n 的整数，则

,

21212

11)12

21121()16110191()81716151()4131(21112

11k n n S k k n +=+++>++++++++++++++++++=+++=

∵ n →∞时，k →∞， ∴∞=∞

→n n S lim ，故调和级数发散。 注 ? 用定义即用部分和数列的极限判定级数的敛散性是很不够的，主要受到两方面的限制：一使大部分部分和整理不出来一个规则的解析表达式来；但求极限并不容易理论价值高，实际操作难。

? 若级数(1)收敛于S ，则必有 0)(lim =-∞

→n n S S ，我们称 ∑=-=∞

=+1k k n n n u S S r

为级数(1)的余项(或余和)，显然以n S 为级数和S 的近似值时，产生的误差为

∑=-=∞

=+1

k k n n n u S S r .

二、数项级数的基本性质

性质1(级数收敛的必要条件) 若级数∑∞

=1

n n u 收敛，则必有0lim =∞

→n n u . 证 ∵ 1--=n n n S S u ， 又∵ ∑∞

=1

n n u 收敛，设其和为S ，则

S

S S S n n n n ==-∞

→∞

→1lim ,lim

? 0lim =∞

→n n u . 注 ?其逆否命题：若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=

1

n n u 必发散——级数发散的充分条件，可用于判定级数发散。很重要，因为是从级数自身判定发散的。

? 其逆命题不成立，即 0lim =∞→n n u

? 级数∑∞=1n n u 收敛。例如调和级数∑∞=11n n 发散，尽管01→=n u n 。 性质2 级数∑∞

=1

n n u 前加上或减去(甚至改变)有限项，级数的敛散性不变；但在收敛时，级数的和一般要改变。

证 仅就在级数前去掉有限项的情形进行证明，其它情形类似可证。 设在级数∑∞

=1n n u 前去掉k 项，得新级数

++++n v v v 21 其中 n k n u v +=，且新级数的前n 项和为

k n k n k k k n n S S u u u v v v -=+++=+++=++++ 2121σ

其中n k k S S +,分别是原级数的前k 项和、前k +n 项和。由于k 是常数，所以k S 是常数，则由上式可看出：当n →∞时，

n σ与n k S +同时收敛或同时发散，所以新级数与原级数有相同的敛散性。

注 即级数的敛散性与其有限项无关，实际上数列的收敛性也有此性质。 性质3 设k 为非零常数，则级数∑∞

=1

n n u k 与级数∑∞

=1

n n u 有相同的敛散性，且收敛时

∑=∞=1n n u k ∑∞

=1

n n u k .

证 设级数∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n u k 的部分和分别为n S 与n σ，则

n n n kS u k u k u k =+++= 21σ，

由极限运算法则知，数列n σ与n S 敛散性相同，从而级数∑∞

=1

n n u k 与∑∞

=1

n n u 敛散性相同。且收敛时，

=∞→n n σlim =∞→n n S k lim n n S k ∞

→lim ， 即 ∑∞

=1

n n u k ∑=∞

=1

n n u k .

性质4 若级数∑∞=1

n n u 与∑∞=1

n n v 都收敛，则级数∑±∞

=1

)(n n n v u 也收敛，且

∑±∞=1

)(n n n v u ∑=∞=1n n u ∑+∞

=1

n n v .

证 设级数∑∞=1

n n u 与∑∞=1n n v 的部分和分别为级数n S 与n σ，级数∑±∞

=1

)(n n n v u 的部分和为n M ，则

n n n n n S v u v u v u M σ±=±++±+±=)()()(2211 ， 因为数列n S 与n σ数列都收敛，由数列极限运算法则可知，数列n M 收敛，且

=∞→n n M lim ±∞

→n n S lim n n σ∞→lim ， 即级数∑±∞

=1)(n n n v u 也收敛，且

1

1

1

()n

n n n n n n u

u v v ∞

∞∞

===±±=∑∑∑.

注 性质3与4表明收敛级数的线性运算保持敛散性， 即 =∑±∞=1

)(n n n v h u k ∑∞=1n n u k ∑±∞

=1

n n v k . 但发散级数无

此性质。

性质5 对收敛级数任意加括号后的级数仍收敛，且其和不变。

证 设收敛级数∑∞

=1

n n u 的和为S ，加括号后的新级数为∑∞

=1

n n v ，其中n v 为所加第n 个括号内各项之和，又设级数∑∞

=1

n n

u 与∑∞

=1

n n v 的前项之和分别为n S 与n σ，则

)()()(2112112

1

2

1

1

1

1

21

2121n n n k k k k k k k

k k k k k k k n u u u u u u u u u ++++++++++++++++++++++++++=-- σ，

∵ S S n n

=∞

→lim ， 由收敛数列的性质知 =∞

→n n

σlim S S n k k k n =+++∞→ 21lim , 即级数∑∞

=1n n v 收敛，且其和仍为S .

注 ? 其逆否命题：若加括号后的级数发散，则原级数必发散——判定级数发散的又一充分条件。

? 但其否命题不成立，即 若加括号后级数收敛，原级数未必收敛。例如：加括号后的级数

+-++-+-)11()11()11(收敛，但原级数∑-=+-+-∞

=+1

1)1(1111n n 发散。

例4 判定下列级数的敛散性：

⑴ ∑+∞

=112n n n ； ⑵ ∑∞=12sin n n ； ⑶ ∑∞=110n n ； ⑷ ∑-∞=1)5

121(n n n . 解 ⑴ ∵ 02

112lim lim ≠=+=∞

→∞→n n u n n n ， 由性质1知，级数⑴发散。

⑵ ∵ 2

sin lim lim n u n n n

∞→∞→=不存在， 由性质1知，级数⑵发散。 ⑶ ∵ 调和级数∑∞

=1

1n n 发散， 由性质3知，级数⑶发散。

⑷ ∵ 级数∑∞

=121n n 收敛于1，级数∑∞=151n n 收敛于41， ∴ 级数∑-∞=1)5

121(n n n 收敛于43.

§2 常数项级数的收敛判别法

由于数项级数很复杂，所以我们分类讨论。先从简单的入手，然后将复杂问题转化为简单问题解决。最简单的一类数项级数就是正项级数。

一、正项级数及其收敛判别法

1、概念及性质

定义1 若级数∑∞

=1n n u 的每一项都是非负数，即 0≥n u ，则称其为正项级数。

若∑∞

=1

n n u 是正项级数，则其部分和数列满足

≤+++=≤≤+=≤=n n u u u S u u S u S 2121211，

即正项级数的部分和数列是单调增加数列——非常重要的性质。因为单调数列有结论——单调有界必收敛。即有 定理1（基本定理） 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界。

证 设∑∞

=1n n u 是正项级数，即0≥n u (n = 1,2,…)，则其部分和数列n S 单调增加。

“?”： 若数列S

n 有界，由单调有界数列必收敛 ? S

n 收敛 ? ∑∞

=1

n n u .

“?”： 若级数∑∞

=1

n n u 收敛 ? 数列S

n 收敛，由收敛数列必有界 ? S

n 有界。

注 ? 正项级数发散的充分必要条件是它的部分和数列无界。

? 定理1缺乏实用价值，因为尽管它是级数收敛的等价条件，但数列的有界性不比敛散性的判定容易。不过定理的理论价值很高，我们将利用它建立下面一系列有效的正项级数收敛的判定法则。

2、审敛法

由定理1知部分和数列的有界性可判定级数敛散性，显然，如果两个正项级数∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 的对应项之间有序关

系：n n v u ≤， 则∑∞=1

n n u 的部分和 ≤ ∑∞

=1

n n v 的部分和， 而大的数列有界 ? 小的数列有界，也就是说，大级数的收敛

性可以保证小级数的收敛性，反之，小级数的发散也可以保证大级数的发散。即有

定理2（比较审敛法） 设有正项级数∑∞

=1n n u ，

⑴ 若存在收敛的正项级数∑∞=1n n v ，且自某项开始后有n n v u ≤，则级数∑∞

=1n n u 也收敛；

⑵ 若存在发散的正项级数∑∞

=1

n n v ，且自某项开始后有n n v u ≥，则级数∑∞

=1

n n u 也发散。

证 ⑴ 设级数σ=∑∞

=1

n n v ，其部分和为n σ，由于前有限项不改变级数的敛散性，故不妨设自第一项开始就有

n n v u ≤，则级数∑∞

=

1

n n u 的部分和

n n n n v v v u u u S σ=+++≤+++=-12121 （n = 1,2,…），

由于级数∑∞

=1n n v 收敛，由基本定理 ? 数列n σ有界 ? S

n 有界 ? 级数∑∞

=1

n n u 也收敛；

⑵ 设同上，则级数∑∞

=1

n n u 的部分和，则

n n n n v v v u u u S σ=+++≥+++=-12121 （n = 1,2,…）

由于级数∑∞

=1n n v 发散，由基本定理 ? 数列n σ无界 ? S

n 无界 ? 级数∑∞

=1

n n u 也发散。

注 比较判别法也就是说，要想说明级数收敛，就得找一个比它大且收敛的级数，要想说明级数发散就得找一个比它小且发散的级数，简言之，大的收敛则小的收敛；大的发散则小的发散。

例1 讨论下面级数的敛散性：

⑴ ∑∞=1

2

sin n n π； ⑵ ∑∞

=2

ln 1n n

.

解 ⑴ ∵ 021sin ≥n 且n n 2121sin ≤（n = 1,2,…），而几何级数∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数⑴收敛。 ⑵ ∵ 2≥n 时，01ln 1>>n x ，而调和级数∑∞=11

n n

发散，由比较判别法知级数⑵发散。 例2 讨论p —级数∑∞

=11n p n

的敛散性，其中p 是常数。

解 若1≤p ，∵n

n p 11≥（n = 1,2,…）且调和级数∑∞

=1

1n n 发散，则由比较判别法知p —级数发散。

若1>p ，当n ≥ 2时，注意到?=-n

n p p dx n

n 111，可利用积分的保序性来得到不等式。

∵ x ∈[n -1, n ]时， p p x

n 11≤，

∴ ]1)1(1[11111111

11

111---------=-=?≤?=p p n n p

n n p n n p p n n p x p dx x dx n

n ， 令]1)1(1[111

1-----=p p n n n p v ，则∑∞=2n n v 是正项级数， ∵ 其前n 项和

)(1)1(11])1(11[)3

121()211(111111132∞→→+-=+-++-+-=+++=------+n n n n v v v p p p p p p n n σ， ∴ 级数∑∞

=1n n v 收敛， 从而 级数]1)1(1[11112

--∞

=---∑p p n n n p 收敛，由比较判别法知p —级数收敛。 综合以上可知，p —级数当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

注 p = 1的p —级数就是调和级数。当1≤p 时，p —级数时通项趋于零但级数发散的例子，可以形象地说是因为

通项趋于零的速度不够快。

我们已体会到： 用比较法判定已知级数敛散性的关键是找到比较级数，我们称用来判定已知级数敛散性的比较级数为优级数，已知敛散性的级数都可担当优级数，常用的有几何级数、p —级数。例如，利用p —级数立即可判定级数

∑-∞=1121n n 发散；∑+∞=12)

1(1n n n 收敛。 比较审敛法的应用有难度，因为若想证明级数收敛，你就得找一个比它大但收敛，即收敛得比它慢的级数，即要求通项趋于零的速度更慢但还不能慢至发散；若想证明级数发散，你就得找一个比它小但发散，即发散得比它慢的级数，这当然困难。

由于若)0(lim ≠=∞→l v u n n n ，则u n 与v n 趋于零或无穷的速度相当，这就导致∑∞

=1n n u 与∑∞

=1

n n v 同收敛或发散，也就是说我们可建立比较判别法的极限形式，它在应用上更方便。

定理3(比较判别法的极限形式) 设有正项级数∑∞

=1n n u 和∑∞

=1

n n v ，若)0(lim +∞≤≤=∞→l l v u n n n ，则 ⑴ 当+∞<

=1n n v 收敛可推出∑∞

=1

n n u 收敛；

⑶ 当l = +∞ 时，由

∑∞=1

n n v 发散可推出∑∞

=1

n n u 发散。

证明我们就略去了。

例3 判定下列级数的敛散性： ⑴ ∑

-+∞=1

21

1

n n n ， ⑵ ∑-∞=123n n n .

解 ⑴ 因注意到的次数为–1，故将它与调和级数比较：

∵ 11111lim 1lim

2

2=-+=-+∞→∞

→n n n n n n n ， ∴ 原级数发散。

⑵ 根据其形式，将其与几何级数∑

∞=1

21n n

比较：

∵ 3213lim 223lim =-=-?∞→∞→n

n n n n

n

n ， ∴ 原级数收敛。 使用比较判别法必须涉及到已知敛散性的第二个级数，它要求你首先能大致估计出级数的敛散性，以确定应该放大不等式还是缩小不等式，这种估计是相当困难的。我们的想法是能不能找一种方法，无需借助其它级数，仅用其自身即可判定其敛散性，答案是：有！

定理4(比值或D ,Alembert ①判别法) 设∑∞=1

n n u 是正项级数，且)0(lim 1+∞≤≤=+∞→ρρn n n u u ，则

⑴

ρ

<

1时∑∞

=1

n n u 收敛； ⑵

ρ

>

1时∑∞

=1

n n u 发散； ⑶

ρ

= 1时∑∞

=1

n n u 可能收敛也可能发散（即这时比值判别法失效）。

证 ⑴ ρ

<

1时，可取到0>ε，使得1<=+r ερ，

∵ ρ=+∞→n

n n

u u 1lim ? 对此正数ε，? 正整数N ，当n ≥

N 时，恒有 ερ<-+n n u u 1 ? r

u u n

n =+<+ερ1

? N N ru u <+1， N N N u r ru u 212<<++，… ,N k k N k N u r ru u <<-++1,…， ∵r <

1，而u N 是常数， ∴∑∞=1

k N k u r 是一个公比小于1的等比级数，是收敛的，由比较判别法知∑∞

=+1

k k N u 收敛，再由性

质2知原级数收敛。

⑵ 当

ρ

>

1时，可取到0>ε，使得1>=-r ερ，

∵ ρ=+∞→n n n

u u 1lim ? 对此正数ε，? 正整数N ，当n ≥

N 时，恒有 ερ<-+n

n u u

1 ? 11>->+ερn

n u u

? n n u u >+1 ? 当n ≥

N 时，u n ↑ ? 0lim ≠∞

→n n u ，∴级数发散。 ⑶ 当 ρ = 1时，例如p —级数∑∞=11n p n

：1)1(lim lim 1=+=∞→+∞→p n n n n n n u u ，但当1>p 时收敛，当1≤p 时 发散，所以ρ

= 1时，∑∞

=1

n n u 可能收敛也可能发散。

注 ? 比值判别法的优点是：它无需借助其它级数，仅其自身即可判定，使用方便。缺点是：

它并非万能，ρ

= 1时，判别法失效。

? 由定理的证明可看出： 比值判别法是采用几何级数作为优级数来判定收敛的，也就是说，它只能判定那些比几何级数收敛的还要快的级数，对那些比几何级数得还慢的收敛级数它无能为力，比如1>p 时的p

-级数；用它判定发

散时，也只能判定出通项n u -→0的发散级数，对那些通项趋于零的发散级数它也无能为力，比如调和级数。换句话说用比较法判定发散的级数都是n u -→

0的！

? 自然地有了一个想法，能否找到一个标志性的正项级数，比它大的都发散，比它小的都收敛，用它作为优级数。历史上人们也确作了大量的工作，建立了一个又一个的判别法，最后发现：对于任意一个收敛的正项级数，都存在比它大但收敛正项级数，即收敛得比它更慢的正项级数；对任意一个发散的正项级数，也都存在着比它小但发散的正项级数，即发散得更慢的正项级数。也就是说选择级数作为比较标准来建立一个对一切级数都有效的判别法是不可能的。现在只保留了几个实用的判别法，比值判别法就是一个，一会儿还将介绍一个根值判别法。

①达朗贝尔——法18世纪数学家(1717-1783)，弃婴，生父暗中资助学习，学过神学、法学、医学后转为数学，在数学、力学和天文学中均有重要建树、其《动力学》是力学的一部奠基性著作，在弦振动理论研究里成绩卓越，是偏微分方程理论的创始人之一，在微积分中首次提出用极限概念代替牛顿的“最初最终比”，也是复变函数理论的先驱之一。

例5 判定下列级数的敛散性： ⑴ ∑∞

=1!

2n n n ； ⑵ ∑∞=1n k n n n ．

解 ⑴ ∵ 1012lim lim 1<=+=∞→+∞→n u u n n

n n ， 由比值判别法知此级数收敛。 ⑵ ∵∞=+++=∞→+∞→k n n n

n n n n n n u u )1()11)(1(lim lim 1， 由比值判别法知此级数发散。 定理5(根值或Cauchy 判别法) 设∑∞

=1

n n u 是正项级数，且)0(lim +∞≤≤=∞

→ρρn n n u ，则

⑴

ρ

<

1时∑∞=1n n u 收敛； ⑵

ρ

>

1时∑∞=1n n u 发散； ⑶

ρ

= 1时∑∞

=1

n n u 可能收敛也可能发散。

注 ? 根值判别法的证明与比值法的证明完全类似，也是使用等比级数作为优级数来判定收敛，

用n u -→

0来判定发散的，对那些0→n u 的发散级数和比等比级数收敛慢的级数失效。

? 比值法与根值法还有一个很另类的用途：利用级数的发散性判定一个数列不趋于零！！

? 根值法在判定范畴上没有实质上的进展，它只是对通项含有n n n k ,形式的级数十分方便。如

例5 判定下列级数的敛散性： ⑴ ∑∞=11n n n

； ⑵ ∑∞=1n p n

n a .

解 ⑴ ∵101lim lim <==∞→∞→n

u n n n n ， 由根值判别法知，级数⑴

收敛。

⑵ ∵a n a u p

n

n n n n ==∞

→∞→)(lim lim ， 由根值判别法知，当a <

1时级数收敛，当a >1时级数发散，

当a =

1时，⑵为p -级数，故p

>1时收敛，p

≤

1时发散。

总之，当a <

1、或a =

1但p

>1时级数收敛；当a >1、或a =

1但p

≤

1时级数发散。

二、交错级数及其收敛判别法

定义2 各项正负交错的数项级数

+-++-+--n n u u u u u 14321)1(， 或 +-+++-+-n n u u u u u )1(4321 称为交错级数，其中),2,1(0 =>n u n .

利用正项级数可建立下面交错级数的判别法：

定理6(莱布尼兹判别法) 若交错级数n n n u 11)1(-∞

=-∑满足

⑴ 1+≥n n u u ，即通项数列单调减少； ，⑵ 0lim =∞

→n n u 即满足收敛的必要条件，

则此交错级数收敛，且其和S

≤

u 1；其余和r n 满足1+≤n n u r .

分析 显然正项级数的判别法一概无法使用，只能回到起点——定义：用部分和数列有极限来 证明其收敛性。另外我们还将用到书上未曾介绍过的一个极限存在的充要条件：

数列a a a a a a n n n n n n ==?=-∞

→∞→∞→122lim lim lim 且，. 证 设S

n 是交错级数n n n u 11

)1(-∞

=-∑的前n 项和。 由条件⑴知01≥--n n u u ，

先考察其偶数列：

∵n n n u u u u u u S 21243212-+++-+-=- 0)()()(2222324321≥=-++-+-≤---n n n S u u u u u u ； 又 121222543212])()()[(u u u u u u u u u S n n n n ≤+-++-+--=-- ，

∴ S

n 的偶数项数列是单调增加且有界的，从而收敛。 设S S n n =∞

→2lim ，则由极限的保序性知 10u S ≤≤.

再考察其奇数列：

∵ 12212+++=n n n u S S ，

由条件⑵知 S u S S n n n n n n =+=+∞→∞→+∞→12212lim lim lim ， ∴ S S n n =∞

→lim ， ? 交错级数n n n u 11)1(-∞

=-∑收敛，且其和1u S ≤.

又∵因为 ))1(21 +--=++n n n n u u r （. 而 +-++21n n u u 仍是一个满足条件⑴与⑵的交错级数，所以它收敛，且

其和不超过首项1+n u ，即有

1+≤n n u r .

例6 判别下列级数的敛散性： ⑴ ∑∞=--111)1(n n n ； ⑵ ∑∞

=+-1

1)1(n n

n n . 解 ⑴ 是交错级数，且

11

11+=+>=n n u n n u ， 01lim lim ==∞→∞→n u n n n ， 由莱布尼兹判别法知级数

⑴

收敛，且其和1≤S ，余项11+≤n r n .

⑵ 是交错级数，且

∵x >1时，0)1(21)1(2

<+-='+x x x x x ，∴函数1+x x 单调减少， ? 1211+=++>+=n n u n n n n u ， 又01lim lim =+=∞→∞→n n u n n n ，由莱布尼兹判别法知级数

⑵

收敛，且其和2

1≤S . （雷

同于将数列极限转化为函数极限以采用罗必达法则我们可将数列化为函数，用求导数的方法判定其单调性）

三、绝对收敛与条件收敛

由任一个级数∑∞

=1

n n u ，都可以得到一个正项级数

++++=∑∞

=n n n u u u u 211

，

我们就成这个级数为原级数的绝对值级数，显然，正项级数的绝对值级数就是其自身。

我们关心的是：级数与其绝对值级数的敛散性之间有什么关系？我们有

定理7 若绝对值级数∑∞

=1n n u 收敛，则原级数∑∞

=1

n n u 收敛。

证 注意到 n n n n u u u u -+=)(，∵ n n n u u u 20≤+≤，而级数∑∞

=1

n n u 收敛，由比较判别法

知，级数∑∞=+1

)(n n n u u 收敛，再由级数运算性质“收敛级数的和级数仍收敛”知，故级数∑∞

=1

n n u 收敛。

注 定理表明：绝对值级数收敛是原级数收敛的充分条件。这可以帮助判定原级数的收敛性。 定义3 ⑴ 若级数∑∞

=1n n u 收敛，则称级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛；

⑵ 若级数∑∞=1

n n u 发散，但级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞

=1

n n u 条件收敛。

注 用绝对收敛条件收敛的语言叙述定理7就是： 绝对收敛的级数必收敛，或说绝对收敛是

收敛的充分条件。但不是必要条件，也就是说，即级数收敛未必绝对收敛。例如，∑∞

=-1

1

)1(n n

n 收敛，但其绝对值级数∑∞

=11n n

发散，故级数∑∞

=-1

1

)1(n n

n 是条件收敛的。而级数∑∞

=-121)1(n n n 是绝对收敛的。

例7 判定下列级数的敛散性，收敛是说明是条件收敛还是绝对收敛：

⑴ ∑∞=-12)1(sin n n n ； ⑵ ∑∞=132cos n n n ； ∑∞=-1)1(n p

n n . 解 ⑴ ∵ 22

1)

1(sin n n u n

n ≤-=，而级数211n

n ∑∞

=收敛， ∴ 原级数绝对收敛。 ⑵ ∵332

1cos n n n u n ≤=，而级数∑∞

=131n n

收敛， ∴ 级数绝对收敛。

⑶ p n n

u 1=. ① p >1时， ∵级数∑∞

=11n p n 收敛， ∴原级数绝对收敛；

② 0< p ≤ 1时， ∵级数∑∞

=11n p n

发散， ∴原级数发散，

但由于p

p n n )1(11+>，且01lim =∞→p n n ，故级数∑∞=-1)1(n p n n 收敛，从而原级数绝对收敛； ③ p ≤

0时，∵ 0)1(lim lim ≠-=∞→∞→p

n

n n n n u ， ∴ 原级数发散。 注 绝对收敛是十分可贵的品质，它有许多性质是条件收敛所不具备的。例如，我们知道加法具有可交换性，即有限多个数相加时，任意改变相加次序其和不变。对于收敛的无穷级数，重排其项的次序后，级数仍收敛，但其和可能会改变。

例如：已知级数∑∞

=--1

11)1(n n n 是条件收敛但非绝对收敛的级数，后面会证明其和2ln =S . 将它交换次序重排如下： +----+

-+--+--n

n n 412411215

181613141211 ，

可以证明其和为 S S 2

1~

=.

可以证明：如果级数是绝对收敛的，重排其项的次序后，级数不仅仍收敛，而且其和不改变。因此确定变号的数项级数是否绝对收敛是很重要的。

关于数项级数就介绍到这里，数项级数的题目中要求和函数的不多，大多是判定其敛散性的，判

§3 幂级数

除了数项级数，应用中常遇到的还有函数项级数，我们先介绍函数项级数的一般概念，然后重点研究一类应用很广泛的函数项级数——幂级数。

一、函数项级数的收敛域及和函数

定义1 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在数集R I ?上的一列函数，我们称式子 ++++)()()(21x u x u x u n (1)

为定义在I 上的函数项无穷级数，简称为函数项级数，记为I x x u n n ∈∑∞

=，1

)(，仍称u n (x )为

(1)的通项。

显然，对任一确定的I x ∈0，∑∞

=1

0)(n n x u 是一个数项级数，若它收敛，就称x 0为函数项级数(1)的一个收敛点，也说

函数项级数(1)在点x 0收敛；否则，就称x 0为函数项级数(1)的一个发散点，也称级数(1)在点x 0发散。

定义2 函数项级数(1)的全体收敛点构成的集合)(I D D ?称为(1)的收敛域；全体发散点构成的集合)(I F F ?称为级数(1)的发散域。

因为对任意的D x ∈，都有唯一的实数∑∞

=10)(n n x u 与之对应，这表明级数∑∞

=1

)(n n x u 的和是一个定义在D 上关于x 的函

数，我们称此函数为级数(1)的和函数，记作D x x S ∈),(，即

∑∞

=∈=1

),

()(n n D x x u x S .

若记(1)的前n 项和为I x x S n ∈,)(，显然在(1)的收敛域D 上应有

D x S x S n n ∈=∞

→,)(lim .

x ∈D 时，记

)()()(x S x S x r n n -=， 仍称)(x r n 是级数(1)的余项(余和)，显然仍有

D x x r n n ∈=∞

→,0)(lim .

注 当且仅当x ∈D 时，才能谈到和函数与余项的概念。

例如 级数 +++++=-∞

=

-∑121

11n n n x x x x 是定义在(-∞,+∞)上的函数项级数。 当1≥x 时，它是公比不小于1的等比级数，从而发散； 当1

x x x S n n

-=--=∞→1111lim )(，所以级数的收敛域为(-1,1)，其和函数 )1,1(,11)(-∈-=x x

x S ，

余项

)1,1(,11)

1(lim 11-∈-=--=++++=∞

→-++x x

x x x x x x x r n k n k k n n n n .

注 这是一个很重要的函数项级数，经常作为结论来用。

有一类函数项级数，其形式与运算都很简单，但在理论与应用上又很重要，这就是幂级数。

二、幂级数

定义3 称形如

（称为一般形式） +-++-+-+=-∑∞

=n n n n n x x a x x a x x a a x x a )()()()(020201000 (2)

的函数项级数为x - x 0的幂级数，简称为幂级数，其中x 0是某定数， ,,,210a a a 叫做幂级数的系数。

当x 0=0时，幂级数形如

（标准形式） +++++=∑∞

=n n n n n x a x a x a a x a 22100， (3)

因为只要作变量代换0x x t -=，即可将(3)式转化为(2)式，故只需对幂级数(3)进行研究。

我们面临的问题是如何求幂函数的收敛域与其和函数？先看如何寻找其收敛域。

1、幂级数收敛域的结构

上面讲过的重要级数∑∞

=-11n n x 就是幂级数，它的收敛域是对称区间(1,-1)；

又如∑∞

=0

n n n x n ： 当x = 0时，显然收敛； 当0≠x 时，必x N 1

≥?，使得当n >N 时，都有n n n x N nx u )(>=，

u n -→0，从而发散，故级数的收敛域为：{0}.

再如∑∞

=1!n n n x ： 当x = 0时，显然收敛； 当0≠x 时，因为)(,01!)1(!1

1∞→→+=+=++n n x x n x n u u n

n n n ，由比值判别法知，

∑∞

=1

!

n n

n x 绝对收敛，故其收敛域为：(-∞,+∞).

以上例子提示我们两点：① 幂级数在点x = 0永远收敛，即x = 0是任一幂级数的收敛点.

② 幂级数的收敛域都是区间，对于一般的幂级数成立吗？我们有一个可帮助我们判定幂级数收敛域的重要结论：

定理1(Abel ’er ②定理)

② 1802—1829挪威数学家，近代数学的先驱者，13岁入教会学校，19岁入奥斯陆大学但整日自学，22岁证明五次方程不能用根式法求解，27返回挪威当家庭教师，1829年在贫困中去世，去世第二天收到柏林大学聘书，各种荣誉接踵

① 若幂级数(3)在点)0(1≠x 收敛，则对于满足不等式1x x <的一切x ，幂级数(3)都绝对收敛；② 若幂级数(3)在点)0(2≠x 发散，则对于满足不等式2x x >的一切x ，幂级数(3)都发散。

证 ∵∑∞

=0

1n n n x a 收敛 ? 0lim 1=∞

→n n n x a ，由收敛数列必有界知，? M

>

0，使得),2,1(,1 =≤n M x a n

n ， 又∵

n n n n n n

n x x M x x x a x a 1111≤?

=

，而当1x x < 时，等比级数∑∞=11n n x x M 收敛，由比较法知级数∑∞

=1n n n x a

收敛，故当1x x <

时，幂级数∑∞

=0

n n

n x a 绝对收敛。

若∑

∞

=0

2n n

n x a 发散，用反证法：如果?

x ，满足2x x >，使得∑∞

=0

n n

n

x a 收敛，由上面证明知级数∑∞

=

2n n

n x a 收敛，这与题设矛盾，所以当2x x > 时，幂级数∑∞

=0

n n n x a 均发散。

注 ? 定理表明：幂级数在开区间),(11x x -内绝对收敛，在),(),(22∞+--∞x x 内发散(图7-1)。特别要注

意地是：幂级数在x 1的收敛性并不能保证它在x 1的对称点 -x 1的收敛性，例如：幂级数∑∞

=-0)1(n n

n n

x 当x = 1时是收敛的交错级数；但x = -1时是调和级数发散。

1 0 -1 |x 2| 0 -|x 2|

图7-1

? 从几何上看，如果幂级数在数轴上既有收敛点有又发散点，你从原点出发向两端走，先是只遇到收敛点，从某处遇到了第一个发散点后，就只能遇到发散点了。且不考虑点1x ±时，原点两侧的敛散性是对称的。由此分析可看出，幂级数的收敛域与发散域之间必有分界点R 和-R (R >0)，使得在),(R R -内幂级数绝对收敛，在),(),(∞+--∞R R 内发散，在R ±处分别可能收敛也可能发散。即有

推论 若幂级数∑∞

=0n n n x a 既有收敛点又有发散点，则必存在唯一的正数R ，使得

⑴ 当R x <时，幂级数绝对收敛； ⑵ 当R x >时，幂级数发散； ⑶ 当R x ±=时，幂级数可能收敛也可能发散。

定义4 称上述正数R 为幂级数∑∞

=0n n n x a 的收敛半径，称开区间),(R R -为其收敛区间。特别地，当幂级数仅在原点

收敛时，称其收敛半径R = 0；幂级数处处收敛时，称其收敛半径为R = +∞.

注 幂级数的收敛域与收敛区间未必一致，其收敛域必为四个区间

),(R R -、],[R R -、),[R R -、],(R R -

之一。 显然求幂级数收敛域的关键是先求出其收敛半径，然后判定R x ±=处幂级数的敛散性即可。问题的焦点是如何求收敛半径？

定理2 若幂级数∑∞

=0

n n n x a 的系数),2,1(0 =≠n a n ，且

)0(,lim 1

+∞≤≤=+∞

→ρρn

n n a a ， 则幂级数的收敛半径 ???????=∞++∞=+∞<<=。

时，时；，时；，0001ρρρρ

R

证 应用比值判别法： ∵ n n n n

n n n n a a x x a x a 1

11lim lim +∞→++∞→?=， ∴ 而至，1830年与雅可比共获法国科学院大奖，除五次方程外，他是椭圆函数的创立者，开创了Abel 积分的研究，曾有数学家说他留下的思想可供数学家们共作150年。