高三数学联考试题

第一学期期末考试题

高三数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1. 已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222

+-=→x x y x f 若对实数

B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( )

A ．1≤k

B ．1

C ．1≥k

D ．1>k

2． ()()3

5

11x x +?-的展开式中3

x 的系数为 （ ）

A ．6-

B ．6

C ．9-

D ．9 3.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111

3

a a -

的值为 ( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17

4．已知3

sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 ( )

A ．1925

B ．1625

C ．1425

D ．725

5．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45?东经120?，乙地位于南纬75?东经120?，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）

A B ．

6

R π

C ．

56

R π

D ．23R π 6．若c b a 、、

是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ”的 ( )

A ．充分不必要条件.

B ．必要不充分条件.

C ．充要条件.

D ．既不充分也不必要条件. 7．双曲线20082

2

=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且

0.3

0.1

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

5.0 5.1 5.2视力

2

1

2

1

4A

PA

PA

A∠

=

∠，则

2

1

A

PA

∠等于（）

A．无法确定 B．

36

π

C．

18

π

D．

12

π

8．已知直线0

1=

-

+by

ax(b

a,不全为0)与圆50

2

2=

+y

x有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )

A.66条

B.72条

C.74条

D.78条

9.（文科做）从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（）

A．42

84

C C?B．33

84

C C?C．6

12

C D．42

84

A A

?（理科做）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（）

A．0,27,78 B．0,27,83

C．2.7,78 D．2.7,83

10． (理科做)

22

11

(1)(1)

i i

i i

-+

+=

+-

（）

A．i B．i-C．1 D．1

-

（文科做）如图,函数)

(x

f

y=的图象是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的两段弧,则不等式x

x

f

x

f+

-

<)

(

)

(的解集为（）

A.{}2

2

,0

2

|≤

<

<

<

-x

x

x或

B.{}2

2

,2

2

|≤

<

-

<

≤

-x

x

x或

C.???≤

<≤-222

,222|x x x 或 D.{

}0,22|≠<

<-x x x 且

则2006在第 行第 列.

A ．第 251 行第 3 列

B ．第 250 行第 4 列

C ．第 250 行第 3 列

D ．第 251 行第 4 列 12.半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则ABC ?、ACD ?、

ADB ?面积之和ABC ACD ADB S S S ???++的最大值为

（ ）

A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。

13．（理科做）22

22lim __________(1)

n n n

n C C n -→∞+=+ 13．（文科做）命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是_________

14．函数y =的定义域是 . 15．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：

（1）220061*=；（2）(22)20063[(2)2006]n n +*=?*,则20082006*的值是 16．如果直线1+=kx y 与圆042

2

=-+++my kx y x 相交于N M 、两点,且点N M 、关

于直线0=+y x 对称,则不等式组??

?

??≥≤-≥+-000

1y my kx y kx 所表示的平面区域的面积为________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分，第一、第二、第三小问满分各4分)

已知函数1()lg 1x

f x x

-=+.

(1)求()f x 的定义域;

(2)求该函数的反函数1

()f x -; (3)判断1

()f x -的奇偶性.

18．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）某港口水的深度 y （米）是时间t （024t ≤≤，

经长期观察，y =f （t ）的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象. （Ⅰ）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；

（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船

舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．

19.（文科做本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）已知某种从太空飞船中带回的

植物种子每粒成功发芽的概率都为1

3

，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发

芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；

(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

19．（理科做本小题满分12分第一、第二小问满分各6分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；

（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

20．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）

如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成600

的角， AA 1= 2．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点。E 是线段BC 1上一点，且BE=

3

1

BC 1 ． （１）求证： GE ∥侧面AA 1B 1B ；

（２）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小 ．

21．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二、第三小问满分各5分）设函数

d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取

极小值.3

2

-

（1）求a 、b 、c 、d 的值；

（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明

你的结论；

（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：3

4|)()(|21≤-x f x f .

22．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）过抛物线2

2(y px p =>0)的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于,A B 两点. （1）试证明,A B 两点的纵坐标之积为定值；

（2）若点N 是定直线:l x m =-上的任一点，试探索三条直线,,AN MN BN 的斜率之间的

关系，并给出证明.

中学试卷网2005-2006学年第一学期期末考试题

高三数学参考答案与评分标准

第一卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1. 已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222

+-=→x x y x f 若对实数

B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( B )

A ．1≤k

B ．1

C ．1≥k

D ．1>k

提示：设k x x =+-222

,据题意知此方程应无实根

()()02422

<-?--=?∴k ， 1021

2． ()()3

5

11x x +?-的展开式中3

x 的系数为 （ B ）

A ．6-

B ．6

C ．9-

D ．9 提示：()()()()()[]3

2

3

5

11111x x x x x +-?-=+?-

()()

642233112x x x x x -+-?+-=

∴展开式中3x 的系数为()()632=-?- 故选B

3.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111

3

a a -

的值为 ( C ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17

提示：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由等差数列的性质知：88512024a a =∴=

∴ 91199119891132()2()21

22416333333a a a a a a d a a a -+--?-======,选C ．

4．已知3

sin()45x π-=，则sin 2x 的值为

(D )

A ．1925

B ．1625

C ．1425

D ．

7

25

3sin )5x x -=，两边平方得19(1sin 2)225x -=

，求得7

sin 225

x =． 或令4x π-=α，则3sin 5=α，所以27sin 2sin(2)cos212sin 225

x π=-==-=ααα

5.设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45?东经120?，乙地位于南纬75?东经120?，则甲、乙两地的球面距离为（ D ． ）

A B ．

6

R π

C ．

56

R π

D ．23R π 提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠A O B =120°，∴ A 、B 两点间的球面距离为

31

×2πR =23

R π. 选D ． 6．若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ”的 (A)

A ．充分不必要条件.

B ．必要不充分条件.

C ．充要条件.

D ．既不充分也不必要条件. 提示：易知0402<->c a b a 且?02>++c x b x a 对任意R ∈x 恒成立。

反之，02>++c x b x a 对任意R ∈x 恒成立不能推出0402<->c a b a 且 反例为当00a b c ==>且时也有02>++c x b x a 对任意R ∈x 恒成立 “0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a 的充分不必要条件,选A ． 7．双曲线20082

2

=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且

21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 （D ．）

A ． 无法确定

B ．

36

π

C ．

18π D ．12

π

提示：设),(y x P ，0>y ，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，则 ,tan 1a x y H PA +=

∠ a

x y H PA -=

∠2tan （ 其中20082

=a ） ∴1tan tan 2

22

21=-=∠?∠a x y H PA H PA ∴2

21π

=

∠+∠H PA H PA

设 x A PA =∠21 ， 则x H PA 52=∠

∴2

5π

=

+x x ∴12

π

=

x ， 即12

21π

=

∠A PA ， 故选 D ．

0.3 0.1

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

5.0 5.1 5.2

视力

8．已知直线01=-+by ax (b a ,不全为0)与圆502

2=+y x 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有 ( B. )

A.66条

B.72条

C.74条

D.78条

提示：先考虑0,0≥≥y x 时,圆上横、纵坐标均为整数的点有)7,1(、)5,5(、)1,7(，依圆的对称性知,圆上共有1243=?个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有662

12=C 条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线01=-+by ax 不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有7261266=-+条,故选B.

9. （文科做） 从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（A ）

A ．4284C C ?

B ．3384

C C ?

C ．612C

D ．42

84A A ?

提示：应从8名女生中选出4人，4名男生中选出2人，有42

84C C ?种选法，故选A ．

（理科做）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，

得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ A. ） A ．0,27,78 B ．0,27,83

C ．2.7,78

D ．2.7,83

提示：注意到纵轴表示

组距

频率

， 由图象可知，前4组的公比为3， 最大频率3

0.130.10.27a =??=，设

后六组公差为d ，则56

0.010.030.090.27612

d ?+++?+

=，解得：0.05d =-， 即后四组公差为0.05-， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为 （0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A. 10.(理科做)

22

11(1)(1)

i i

i i -++=+- （ D ． ） (1,7)

y

x

(7,1)

(5,5)

A ．i

B ．i -

C ．1

D ．1- 提示：

()

()

2

2

1111i

i

i i -++

=

+-111112222

i i i i

i i -+---++=+=--

故选D ． （文科做）如图,函数)(x f y =的图象是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 （ A. ）

A.{

}2

2,02|≤<<<-x x x 或

B. {}22,22|≤<-

<≤-x x x 或

C.???≤

<≤-222

,222|x x x 或 D. {

}0,22|≠<

<-x x x 且

提示：由图象知)(x f 为奇函数知，)()(x f x f -=-

∴原不等式可化为2)(x x f <

,此不等式的几何含义是)(x f 的图象在2

)(x

x g =图象下方的对应的x 的取值集合,将椭圆142

2=+y x 与直线2x y =联立得 14422=+x x ,2,22±==∴x x .

观察图象知,2202≤<<<-x x 或故选A.

则2006在第 251 行第 4 列.

A ．第 251 行第 3 列

B ．第 250 行第 4 列

C ．第 250 行第 3 列

D ．第 251 行第 4 列 提示： 每行用去4个偶数，而2006是第2006÷2=1003个偶数 又1003÷4=4

3250

前250行共用去250×4=1000个偶数，剩下的3个偶数放入251行，考虑到奇数行所排数从左到右由小到大,且前空一格， ∴2006在251行，第4列 故选D ．

12.半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则ABC ?、ACD ?、

ADB ?面积之和ABC ACD ADB S S S ???++的最大值为

（C ）

A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

提示：由AB ，AC ，AD 两两互相垂直，将之补成长方体知AB 2+AC 2+AD 2=(2R )2

=64． 111

222

ABC ACD ADB S S S AB AC AC AD AD AB ???++=??+??+??

≤222222

444

AB AC AC AD AD AB +++++=222322AB AC AD ++=．

等号当且仅当AB AC AD ==取得，所以ABC ACD ADB S S S ???++的最大值为32 ，选C ．

第二卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。

13．（理科做）22

22lim __________(1)

n n n

n C C n -→∞+=+ 答案：

3

2

提示：222

2(1)

3232lim

lim (1)

(1)2

n n

n n n n n C C n n -→∞→∞-?

+==++

13. （文科做）命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是_________

答案：若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数； 14

．函数y =的定义域是 . 答案：（lg2，＋∞）

提示：由已知得0210>-x ，即0210>-x

，所以2lg >x . 15．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：

（1）220061*=；（2）(22)20063[(2)2006]n n +*=?*,则20082006*的值是 答案：1003

3

提示：设(2)2006n n a *= 则1(22)2006n n a ++*=且11a =

13n n a a +∴= 13n n a -∴=， 即1(2)20063n n -*=，1003200820063∴*=

16．如果直线1+=kx y 与圆042

2

=-+++my kx y x 相交于N M 、两点,且点N M 、关

于直线0=+y x 对称,则不等式组??

?

??≥≤-≥+-000

1y my kx y kx 所表示的平面区域的面积为________.

提示： N M 、两点,关于直线0=+y x 对称,

1=∴k ,又圆心)2

,2(m

k --在直线0=+y x 上

022=--∴m

k

1-=∴m

∴原不等式组变为??

?

??≥≤+≥+-0

00

1y y x y x 作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为41.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分，第一、第二、第三小问满分各4分)

已知函数1()lg 1x

f x x

-=+.

(1)求()f x 的定义域;

(2)求该函数的反函数1

()f x -; (3)判断1

()f x -的奇偶性.

解: (1)10,1 1.1x

x x

->-<<+由

得 故函数的定义域是(－1,1) (2)由1lg 1x y x -=+,得1101y

x x -=+(y ∈R ),所以110110y y x -=+,

所求反函数为1

()f x -=110110

x

x

-+ (x ∈ R ). (3) 1

()f x --=110110x x ---+=101110

x x

-+=－1()f x -,所以1

()f x -是奇函数. 18．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）

某港口水的深度 y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作y =f （t ），下面是某日水深的数据：

经长期观察，y =f （t ）的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象. （Ⅰ）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；

（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．

解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y =f （t ）的周期T =12,振幅A =3, b =10

∴106

sin

3+=t

y π（0≤t ≤24）

（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米） ∴511106 sin 3.t

≥+π

∴6 sin

t

π2

1

≥

解得，Z)(k 652662∈+≤≤+πππππk t k

Z)(k

512112∈+≤≤+k t k 在同一天内，取k =0或1

∴1≤t ≤5或13≤t ≤17

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。

19. （文科做本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）已知某种从太空飞船中带回

的植物种子每粒成功发芽的概率都为1

3

，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的

发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；

(2) 第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

解：(1) 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是

2

3

2

33

31117()C 1C 33327

P A ??????=-+= ? ? ?

??????． (2) 第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两

次连续失败，其各种可能的情况种数为24A 12=．因此所求的概率为

33

12132

()12333729

P B ????=??= ? ?????．

（理科做本小题满分12分第一、第二小问满分各6分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；

（Ⅱ）记“函数f (x )＝x 2

－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 解：（I ）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.

P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ??）

= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P （ξ=1）=1－0.24=0.76.

所以ξ的分布列为

E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一 因为,4

9

1)23()(22ξξ-+-

=x x f 所以函数),2

3[13)(2

+∞+-=ξξ在区间x x x f 上单调递增，

要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.3

4

,223≤≤ξξ即

从而.76.0)1()3

4

()(===≤=ξξP P A P

解法二：ξ的可能取值为1，3.

当ξ=1时，函数),2[13)(2

+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ=3时，函数),2[19)(2+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增，

所以.76.0)1()(===ξP A P

20．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）

如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成600

的角， AA 1= 2．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点。E 是线段BC 1上一点，且BE=3

1

BC 1 ． （１）求证： GE ∥侧面AA 1B 1B ；

（２）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小 ． 解：(1)延长B 1E 交BC 于F, ∵ΔB 1EC ∽ΔFEB, BE ＝2

1

ＥＣ１ ∴ＢＦ＝

21Ｂ１Ｃ１＝2

1

ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点． ∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且FA

FG

＝

1FB FE ＝3

1

，∴GE ∥AB 1， 又GE ?侧面AA 1B 1B ， ∴GE ∥侧面AA 1B 1B

（２）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，

∴B 1Ｈ⊥底面ABC ．又侧棱AA 1与底面ABC 成600

的角， AA 1= 2，

∴∠B 1ＢＨ＝６００

，ＢＨ＝１，B 1Ｈ＝3．

在底面ABC 内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B 1Ｔ．由三垂线定理有B 1Ｔ⊥ＡＦ， 又平面B 1GE 与底面ABC 的交线为ＡＦ，∴∠B 1ＴＨ为所求二面角的平面角．

∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００， ∴ＨＴ＝ＡＨsin300

＝2

3，

在ＲｔΔB 1ＨＴ中，ｔａｎ∠B 1ＴＨ＝HT

H B 1＝332 ，

从而平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为arctan 3

32

21．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二、第三小问满分各5分）设函数

d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取

极小值.3

2

-

（1）求a 、b 、c 、d 的值；

（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明

你的结论；

（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：3

4|)()(|21≤

-x f x f . 解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，

d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立 0,0==∴d b

c ax x f cx ax x f +='+=∴2

33)(,)(，

1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1,3

1

-==c a

（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.

假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,12

22211-=-=x k x k ，

且1)1()1(2

221-=-?-x x （ *）

1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,01222122

21≥-?-∴≤-≤-∴x x x x 此与（*）相矛盾，故假设不成立.

证明（3）)1,(,1,0)(,1)(2

--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令，

或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，

]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且3

2)1()(,32)1()(min max -===

-=f x f f x f ∴在[－1，1]上，]1,1[,,3

2

|)(|21-∈≤

x x x f 于是时， 3

4

3232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .

22．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）过抛物线2

2(y px p =>0)的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于,A B 两点. （1）试证明,A B 两点的纵坐标之积为定值；

（2）若点N 是定直线:l x m =-上的任一点，试探索三条直线,,AN MN BN 的斜率之间的

关系，并给出证明.

（1）证明:.设1122(,),(,)A x y B x y 有122y y pm ?=-，下证之：

设直线AB 的方程为:x ty m =+与2

2y px =联立得

22y px =

x ty m =+

消去x 得2

220y pty pm --= 由韦达定理得 122y y pm ?=-,

（2）解：三条直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列，

下证之：

设点(,)N m n -，则直线AN 的斜率为11AN y n

k x m

-=

+; 直线BN 的斜率为22BN y n

k x m

-=

+

12221222AN BN y n y n k k y y m m p p

--∴+=

+++1222122()2()22p y n p y n y pm y pm --=+++

12211222

1122121212()()2(

)2()y n y n y y n y y n p p y y y y y y y y y y -----=+=?--- 12121212()222()2n y y n n n

p p p y y y y y y pm m

-=?

=?=?=---

又

直线MN 的斜率为02MN n n

k m m m

-=

=-

-- 2AN BN MN k k k ∴+=

即直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列.