幂级数及泰勒展开习题解答

幂级数及泰勒展开

一、求下列幂级数的收敛区间

1. 1

2(21)n

n x n n ∞

=-∑

解：12(21)

lim

lim 12(1)(21)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞-==++ 1R ?=

当1x =时，因 2111

2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1

12(21)n n n ∞

=-∑收敛，

当1x =-时， 1(1)2(21)

n

n n n ∞

=--∑绝对收敛，

? 收敛区间为[1,1]-。

2. 1

n n n -∞

=

解：11lim 2n n n n

a a +→∞==

2R ?=

当2x =

时，1

n

n ∞

=为收敛的交错级数，

当2x =-时，

111

n n n n -∞

∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞

=??

-+????

∑

解：11

1

1

(1)32lim

lim 3(1)32

n n n n n

n n n n

n a a ++++→∞

→∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??- ???

。

4. 1

(23)(1)21n

n

n x n ∞

=---∑

解：121lim

lim 121

n n n n a n a n +→∞

→∞-==+ 1R ?=

故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。

当1x =时， 11(1)(1)11

1, 21212-1

2n n n n n n n n ∞

∞==--??=> ?--??∑∑发散，

当2x =时， 1

(1)21n

n n ∞

=--∑为收敛的交错级数，

? 收敛区间为(1,2]。

5.

1

ln(1)

(1)1n n n x n ∞

=+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim

lim 1(2)ln(1)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞++==++ 1R ?=

故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为

1

ln(1)ln lim lim lim 01

1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，

2

ln 1ln ln(2)ln(1)

()()0() 3 21

x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1

(1)ln(1)

1n n n n ∞

=-++∑收敛，

当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11

112n n n n +>>++ 所以1

ln(1)1n n n ∞

=++∑发散，

? 收敛区间为[0,2)。

6. 211(1)(1)4

n

n n

n x n ∞

-=--∑

解：212

1211(1)41lim lim 1

(1)(1)44n n n n n n n n

u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当

2

111124

x x -

11(1)1(1)(11)42n n n n

n n n n -∞

∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 21

11(1)1(1)(31)4

2n n n n

n n n n ∞

∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为[1,3]-。

二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数

1. 121

1

(1)21n n n x n +-∞

=--∑

解：212

121(21)lim lim (21)n n n n n n

u x n x u x n ++-→∞→∞-==+

故当2

11x x 时，级数发散。

当1x =-时， 121

11(1)(1)(1)2121

n n n n n n n +∞

∞

-==---=--∑∑为收敛的交错级数，

当1x =时， 1

1

(1)21n n n +∞

=--∑为收敛的交错级数，

? 收敛区间为[1,1]-。

令121

1

(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞

=-=?=-∑ 1222201

11

()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).

x n n n S x x S x S dt x x t

S x x x ∞

+-='?=-=

?-==++?=≤∑? 2.

21

1

2n n nx

∞

-=∑

解：212

121(22)lim lim 2n n n n n n

u x n x u x n ++-→∞→∞+== 故当2

11x x 时，级数发散。

当1x =-时，

21

11

2(1)

2n n n n n ∞

∞

-==-=-∑∑发散，

当1x =时，

1

2n n ∞

=∑发散，

? 收敛区间为(1,1)-。

令21

1

()2(0)0n n S x nx

S ∞

-==

?=∑

2

21

220

11

2

22

()212()(||1).11x

x

n n

n n x S t dt nt

dt x x x x

S x x x x

∞

∞

-==?===

-'???==< ?--??∑∑??

3.

1

(1)n

n n n x

∞

=+∑

解：1(1)(2)

lim

lim 1(1)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞++==+ 1R ?=

当1x =时，

1

(1)n n n ∞=+∑发散；当1x =-时，1

(1)(1)

n

n n n ∞

=+-∑发散，

? 收敛区间为(1,1)-。

令1

()(1)(0)0n

n S x n n x

S ∞

==

+?=∑

1

2

1

1

1

1

22

22

1223

()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)x

x

n

n n n n n n n S t dt n n t dt nx

x

nx

x x x x x x x x x

S x x x x ∞

∞

∞

+-===∞=?=+==''????=== ? ?--????

'???==< ?--??

∑∑∑??∑

4.

221

(21)2n n n x n ∞

-=-∑

解：

2

2 1

22

(21)2

lim lim

2(1)(21)

n

n

n

n n

n

u x n n

x u x n n

+

-

→∞→∞

+

==

+-

故当2

11x x 时，级数发散。

当1x =±时， 11211122n n n n n ∞

∞==-??

=- ??

?∑∑（通项不趋于零）发散， ? 收敛区间为(1,1)-。

令221

211()(0)22n n n S x x S n ∞

-=-=

?=∑

22212110

111211

2

1

211111

()()(0),(0)0222()(||1)1x

x

n n n

n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n

x n x

x

S x x x x

∞

∞

∞--===∞

-=-?===≠='?==<-∑∑∑??

∑

2

1120211()(0)ln(1)12

1

()ln(1)

2

x

t S x S dt x t S x x ?-==---?=--?

2222

ln(1)1ln(1)

0 , ()212x x x S x x x

x '??--?≠=-=+ ?-??时 故

222

1ln(1)

, 0||112()1 , 02

x x x x S x x ?-+<

另解

22

22222

2

111111111()121

212n n n n n n S x x x x n x n

x x n ∞

∞

∞--===?

?=-=-=- ?--??∑∑∑ 三、求下列级数的和

1. 221

11

12322323n n n n n n n n n -∞

∞∞======??

∑∑ 也可以考虑利用幂级数

1

2

1

11(||1)1(1)n n n n x nx

x x x x ∞

∞-==''

????===< ? ?--?

???∑∑

? 1

211221213

3

3332113n n n n n n -∞

∞==??

==

=

?

????- ???

∑∑ 2. 1111

(1)11

1(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞

∞-==-??=-- ?-+-+??∑∑

1

1111111(1)

(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1

121111(1)(1)221221

n k n k n k ∞∞-===-----∑∑

1

111

(1)212

n n n ∞

-==---∑

1arctan12

142

π

=-

=-

四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x

f x a a a =>≠ 解：()

()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f

x a a f a =?=

()0

(0)(ln )!!n n n n

n n f a x x n n ∞

∞==?=∑

∑， 1ln lim

lim 01

n n n n a a R a n +→∞

→∞==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由 (1)11

111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!

(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因x

a θ有界，

11

(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0

(ln )!n n n a x n ∞

=∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。?x

a =0

(ln )!n n

n a x n ∞

=∑()x -∞<<+∞。 2. ()sin

2

x

f x =

解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212

n n k

n n k n k

n x n f x f n k ππ+=????

=+?==?- ?=+??

?? ()212100(0)(1)!2

(21)!n n

n n n n n f x x n n ∞

∞++==-?=+∑

∑， 由 2321123212(21)!

lim lim 02(23)!n n n n n n n n

u x n R u n x +++++→∞→∞+==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由

2323232323

sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!

n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+??+ ?

??=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数2121

0(1)2

(21)!n

n n n x n ∞

++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以 对任意的x 上式均成立。?sin 2

x =

2121

0(1)2

(21)!n

n n n x n ∞

++=-+∑()x -∞<<+∞。 五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数

常用幂级数展式：

（1）0, ()!

n

x

n x e x n ∞

==-∞<<+∞∑

（2）21

sin (1)

, ()(21)!n n

n x x x n +∞

==--∞<<+∞+∑ （3）20

cos (1), ()(2)!n

n

n x x x n ∞

==--∞<<+∞∑ （4）0

(1)(1)(1)1, (11)

!

n

n n x x x n α

ααα∞

=?-?

?-++=+

-<<∑

22

1(5) , (11)

11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n

n x x x x x x x x x ∞

=∞

=∞

==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑

（6）1

1ln(1)(1)

, (11)n

n n x x x n

∞

-=+=

--<≤∑ （7）2121101

arctan (1)(1), (11)2121n n n

n n n x x x x n n +-∞

∞

-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式

已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。

1．2

()x f x e -=

解：由0()!

n t

n t e t n ∞

==-∞<<+∞∑，令2

t x =-得

2

20

(1)()!n

x n

n x e

x n ∞

-==--∞<<+∞∑。

2. ()sin 2f x x =

解：由21

sin (1)

()(21)!n n

n t t t n +∞

==--∞<<+∞+∑，令2t x =得 21

(2)sin 2(1)()(21)!n n

n x x x n +∞

==--∞<<+∞+∑。

3. 2

()sin f x x =

解：由20

cos (1)

()(2)!n n

n t t t n ∞

==--∞<<+∞∑，及()21

sin 1cos 22x x =-令2t x =得 222

101

1(2)(2)sin 1(1)(1)()2(2)!2(2)!n n n n n n t t x x n n ∞∞

+==??=--=--∞<<+∞?????∑∑。 4. ()arctan f x x =

解：22

1()(1)(11)1n n

n f x x x x ∞='==--<<+∑?

21220000

1arctan (1)(1)(11)121n x

x n n n n n x x dt t dt x t n +∞∞====-=--≤≤++∑∑??

1x =±时，均为收敛的交错级数。 5. 1

()52f x x

=-

解：由01(||1)1n n t t t ∞

==<-∑及111()252515

f x x x

==--，令25t x =得 01225(), (1||)52552

n

n n f x x x x x ∞

=??

==

6. ()ln(f x x =

1

1

13(21)(21)!!1(1)1(1)(11)24

(2)(2)!!

n

n

n

n

n n n n t t t n n ∞∞

==???--=+-+--<≤???∑∑，得

21

(21)!!()1(1)(||1)(2)!!n n n n f x x x n ∞

=-'===+-≤∑? (

20

0121

1

(21)!!ln (1)(2)!!

(21)!!(1)(||1)

(21)(2)!!x

x n

n

n n n n n x x t n n x x x n n ∞

=∞

+=-==+--=+-≤+∑?

?∑

7. 1()ln

1x

f x x

+=- 解：22

2()2(11)1n

n f x x x x ∞

='==-<<-∑? 21200

12ln

2(11)1121n x n x x dt x x t n +∞=+==-<<--+∑?。 六、在指定点处将下列函数展开成幂级数 1. 2()ln , x f x x ==在处

解：由1

1

ln(1)(1)

(11)n

n n t t t n

∞

-=+=

--<≤∑及 22ln ln(22)ln 21ln 2ln 122x x x x --????

=+-=+=++ ? ?

???

?，令22x t -=得

()11

11

222ln ln 2(1)ln 2(1)(04)2n

n n n n

n n x x x x n n ∞∞

--==-??

?-??=+-=+-<≤?∑∑。 2. 1(), x

x f x e ==在处 解：10

(1)()!n

x

x n x e e e

e x n ∞-=-=?=-∞<<+∞∑。

七、求函数2

()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(2)n > 解：22

1

10

0()(1)

(1)k k k k k k x x f x x

k k

+∞

∞--===-=-∑∑ ()

1

22

(2)(1)(3)()(1)n k k n

k n k k k n f

x x k

∞-+-=-+++-=

-?∑

()3

3!

(0)(1)(1)(1)(3)!2

n n n n f n n n n --=-=----。 八、设有两条抛物线21y nx n =+和2

1(1)1y n x n =+++，记它们的交点横坐标的绝对值为

n a

（1）求n a 的表达式

（2）求这两条抛物线所围成的图形的面积n S （3）求级数

1n

n n

S a

∞

=∑的和 解：（1）n a =

;

（2）22

3114(1)13n

n a n n a S nx n x dx a n n -??=

+-+-== ?+?

??; （3）由111111

11lim lim lim 11(1)(1)1(1)n n

n n n n k k n n k k k k n n ∞

→∞→∞→∞===????==-=-= ? ?++++????

∑∑∑，得 21114414

.33(1)3n n

n n n n

S a a n n ∞

∞∞======+∑∑∑

幂级数部分习题课

常用幂级数展式：

（1）0, ()!

n

x

n x e x n ∞

==-∞<<+∞∑

（2）21211

1sin (1)

(1), ()(21)!(21)!n n n

n n n x x x x n n +-∞

∞

-===-=--∞<<+∞+-∑∑ （3）20

cos (1), ()(2)!n

n

n x x x n ∞

==--∞<<+∞∑ （4）0

(1)(1)(1)1, (11)!

n

n n x x x n α

ααα∞

=?-?

?-++=+

-<<∑

22

1(5) , (11)

11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n n x x x x x x x x x ∞

=∞

=∞

==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑

（6）1

1ln(1)(1)

, (11)n

n n x x x n

∞

-=+=

--<≤∑ （7）2121101

arctan (1)(1), (11)2121n n n

n n n x x x x n n +-∞

∞

-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为

幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。

补充例题

一、把下列函数展成x 的幂级数

1. 2

()9x

f x x

=+ 解：2212

222001

()(1)(1), (33)99

93313n

n n n n n n x x

x x x f x x x x +

∞∞

+==??=

==-=--<< ?+????

+ ???

∑∑。 2. ()arctan f x x x =-解：由

2210

()arctan 1arctan (1),(11)

21n n n x f x x x x

x x n +∞

='=+

+==--≤≤+∑

及(0)0f =?

22

()()(1), (11)(21)(22)n x

n

n x f x f t dt x n n +∞

='==--≤≤++∑?

。

3. 111

()ln arctan 412

x f x x x x +=

+-- 解：由424

1

111111

()11,(11)411211n n f x x x x x x x ∞

=??'=++-=-=-<< ?+-+-??∑ 及(0)0f =?

41

1

()(), (11)41n x

n x f x f t dt x n +∞

='=

=-<<+∑?

。

4. 2

3

4

()ln(1)f x x x x x =++++

解：5

2

3

4

51()ln(1)ln

ln(1)ln(1)(1)1x f x x x x x x x x x

-=++++==---≠- 而

555

1

1

1

1

1

1()ln(1)(1)

,(11)()ln(1)(1),(11)n n

n n n n

n

n n n x x x x n n x x

x x n n

∞

∞

-==∞

∞

-==--=-=--≤<--=-=--≤<∑∑∑∑

故

54111

(1)(),(11)n n n n

n n n x x x f x x x n n n ∞

∞∞

===-=-+=-≤<∑∑∑。 二、把下列函数在指定点展成幂级数 1. ()ln f x x =在1x =处 解：1

1

(1)()ln ln[1(1)](1)

,(02)n

n n x f x x x x n

∞

-=-==+-=-<≤∑ 2. 21

()32

f x x x =

++在1x =处

解：111

()(1)(2)12

f x x x x x =

=-++++

100

111111(1)(1)(1),(13)112(1)222212

n

n n n n n n x x x x x x ∞∞

+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑ 1

00111111(1)(1)(1),(24)123(1)333313

n

n n n n n n x x x x x x ∞∞

+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑故

110

1

1()(1)(1),(13)23n n n n n f x x x ∞

++=??=----<< ???∑

3. ()1x d e e f x dx x ??

-= ?-??

在1x =处

解： 1

1

01

(1)(1)!1!n x n x

x n n x e e x e ee

e e n x n -∞

∞

-==---==?=-∑∑?

2

2(1)()(1)1(2)!

x n n d e e x f x e x dx x n n -∞

=??--==≠ ?--??∑。 4. ()sin f x x =在4

x π=处

解：由

sin sin 44sin

cos cos sin cos sin 4444244x x x x x x πππ

πππππ????=+- ???

?????????

?????=-+-=-+- ? ? ? ??????????

???

及

21

020

4sin (1)()

4(21)!4cos (1)()

4(2)!n n n n

n n x x x n x x x n ππππ+∞=∞=?

?- ?????-=--∞<<+∞ ?+???

?- ?????-=--∞<<+∞ ???∑∑?

212044sin (1)2(21)!(2)!n n

n n x x x n n ππ+∞=??????--?? ? ???????

=-+??

+????

()x -∞<<+∞ 三、幂级数求和

步骤：1. 求出给定级数的收敛区间； 2. 两种途径：

适当变形?逐项积分 ?常见函数之幂级数（,sin ,cos ,ln(1),x

e x x x +几何级数等）?逐

项求导?得和函数

适当变形?逐项求导?常见函数之幂级数（,sin ,cos ,ln(1),x

e x x x +几何级数等）?逐

项积分?得和函数 1．

20

(21)!n

n n x n ∞

=+∑ 解：由2123!lim

lim ||0(1)!21n n n n

u n n x u n n +→∞

→∞+==++，可知R =+∞，故收敛区间为(,)-∞+∞， 设20

(21)()!n

n n S x x n ∞

=+=

∑，逐项积分得

22120

00

()!!n n

x

x n n x x S t dt x xe n n +∞

∞

=====?∑∑?

222()()(12)()x x S x xe x e x '==+-∞<<+∞。

2. 2(1)

n

n x n n ∞

=-∑ 解：由1(1)

lim

lim 1(1)n n n n

a n n a n n +→∞

→∞-==+，得1R =，进一步可确定收敛区间为：[1,1]- 设2()(1)

n

n x S x n n ∞

==-∑，逐项求导得

10

21()ln(1)()ln(1)(1)ln(1)(||1)

1n n

x n n x x S x x S x t dt x x x x n n

-∞

∞=='===--?=--=---<-∑∑?

3. 1

2122

1(1)(21)!2

n n n n x n -∞

--=--∑

解：由222

12(21)!2lim lim ||0(21)!2n n n

n n n

u n x u n -+→∞→∞-==+，可知R =+∞，故收敛区间为(,)-∞+∞，

21

1121

22

11(1)(1)()22sin ,()(21)!2(21)!22

n n n n n n n x x

S x x x n n ---∞∞

--==--??===-∞<<+∞ ?--??

∑∑

4.

(21)n

n n x

∞

=+∑

解：由123

lim

lim 121

n n n n a n a n +→∞

→∞+==+，得1R =，进一步可确定收敛区间为：(1,1)- 0

10112

()(21)2121121112(11)11(1)

n

n

n

n n n x n n n n S x n x nx x x nt dt x

x x x

x x x x x x x ∞

∞

∞

===∞-=∞

==+=+'??=+

?-??'??=+ ?-??'

+??=+=-<< ?---??∑∑∑∑?∑

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）