高级计量经济学课后习题集参考答案解析

1.3 某市居民家庭人均年收入服从4000X =元，

1200

σ=元的正态分布，求该市居民家庭人均年

收入：（1）在5000—7000元之间的概率；（2）超过8000元的概率；（3）低于3000元的概率。 （1）

()()

()()()2,0,15000700050007000(

)

2.50.835( 2.5)62

X N X X X

N X

X X

X

P X P F F X X

P σσ

σ

σ

σ

σ-∴

---∴<<=<

<

--=<<=

根据附表1可知

()0.830.5935

F =，()2.50.9876F =

()0.98760.5935

500070000.1971

2

P X -∴<<=

=

PS ：

()()5000700050007000(

)

55( 2.5) 2.5660.99380.79760.1961

X

X X

X

P X P X X P σ

σ

σ

σ---<<=<

<

-??=<<=Φ-Φ ?

??=-=

在附表1中，()()

F Z P x x

z σ=-<

（2）()80001080003X X X X X P X P P σσσ??

??--->=>=> ?

??

?

?

?

=0.0004 （3）()3000530006

X X X X X P X P P σσσ????

---<=<=<- ? ?

=0.2023 =0.2023-0.0004=0.20191.4 据统计70岁的老人在5年内正常死亡概率为0.98，因事故死亡的概率为0.02。保险公司开办老人事

故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。若5年内因事故死亡，公司要赔偿a元。应如何测算出a，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司可期望总获益多少？

设公司从一个投保者得到的收益为X，则

则()1000.02

=-

E X a

故要是公司可期望获益，则有()1000.02

=->0，即5000

E X a

a<

PS：赔偿金应大于保险费？

1000人投保时，公司的期望总收益为()

-=-

10001000.021*******

a a

2.1 写出过原点的一元、二元线性回归模型，并分别求出回归系数的最小二乘估计。 解答：

过原点的一元线性回归模型为Y X βε=+

(

)

()

2

2?min ??20?i i i i i i i

i

y x y x x x y

x

β

β

β

ββ

-?--=?=∑

∑∑∑对一阶求导

约束最小二乘估计：y x αβε=++

()

(

)()()2

,22

?min ..0??20?00

?i i i i i

i

i

i

i

i i i y x s t L y x y x y x x x y x αβ

αβ

ααβ

λα

ααβ

λβαβ

αβ

--=?=--+--+=--==?=∑∑

∑∑∑∑对求导得到：-对求导得到：-2

过原点的二元线性回归模型为11

2

2

Y X X ββ

ε

=++

()

()()()()12

2

1122??

,12

1122111

22

22

212211

22

2

12122

112122

2

2

2

1212??min ??,??20??20

??i i i i i i i

i

i

i

i

i

i

i i

i i

i

i i

i

i i

i

i i i

i

i

i i

i

i

y x x y x x x y x x x x y x x x x y x x x x x y x x x x y x x x x

βββββββββ

βββ--?---=---=-?=

--=

-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑对分别求一阶导 2.2针对多元线性回归模型

Y X βε

=+

试证明经典线性回归模型参数OLS 估计量的性质()?E ββ=和()()

1

2

??,Cov X X ββσ

-'=，并说明你在证

明时用到了哪些基本假定。 解答：

()()()()

()

()?

1

????min ?20?Y Y Y Y Y X Y X X Y X X X X Y

β

βββ

β-''--=--'?--=''?= 无多重共线性

()

()

()

()()

()()()1

1

11

?E E X X X Y X X X E Y X X X E X X X X X β

βεββ

----''''==''=+''== 零均值

()()()()()

()()()(

)

()(

)

()()()(

)

()()

()

()()()

()()()

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

21

2???????,??X X X Y X X X X X X X Cov E E E E E X X X X X X E X X X X X X X X X E X X X X X X IX X X X X β

βεβεββββββ

β

ββ

βεε

εεεεσσ------------''''''==+=+'=--'

'

''''=--=''''=''''='''='=又

同方差，无序列相关

2.3为了解某国职业妇女是否受到歧视，可以用该国统计局的“当前人口调查”中的截面数据，研究男女工资有没有差别。这项多元回归分析研究所用到的变量有：

ED AGE W ??

?——雇员的工资率（美元/小时）1,若雇员为妇女SEX=0,其他

——受教育的年数——年龄

对124名雇员的样本进行研究得到的回归结果为（括号内为估计的t 值）：

()? 6.41 2.760.990.12W

SEX ED AGE =--++ -3.38 (-4.61) (8.54) (4.63)

20.867,23.2

R F ==

（1）求调整后的可决系数2

R

（2）AGE 的系数估计值的标准差为多少？ （3）检验该国工作妇女是否受到歧视？为什么？

（4）求以95%的概率，一个30岁受教育16年的该国妇女，平均每小时工作收入的预测区间是多少？ 解答：（1）

()()()()22

11111111241110.8670.864

1244

ESS n k n ESS

R TSS n n k TSS

n R n k --??=-

=- ?

--??-??=-- ?-??

-=--=-

（2）

00????0.120?0.0264.63

t se t se se βββββββ

--=?=-∴==

（3）因为()0.025

120 1.9799 4.61t

=<,所以2

? 2.76β=-显著，且为负，即意味着妇女受到歧视。

（4）0

? 6.41 2.7610.99160.123010.27W

=--?+?+?= 有公式知0

W 的95%置信区间为：

()

00.025?120W t ±

即10.27 1.9799±其中()0

1,1,16,30X '=

2.8设某公司的投资行为可用如下回归模型描述：

12131i i i i

I F K βββε--=+++

其中i I为当期总投资，1i F-为已发行股票的上期期末价值，1i K-为上期资本存量。数据见课本71页。

（1）对此模型进行估计，并做出经济学和计量经济学的说明。

（2）根据此模型所估计的结果，做计量经济学检验。

（3）计算修正的可决系数。

（4）如果2003年的1i F-和1i K-分别为5593.6和2226.3，计算i I在2003年的预测值，

并求出置信度为95%的预测区间。

解答：

equation eq1.ls i c f k

expand 1984 2003

smpl 2003 2003

f=5593.6 k=2226.3 smpl 1984 2003 eq1.forecast yf sf

scalar tc=@qtdist(0.975,16) series yl=yf-tc*sf series yu=yf+tc*sf show yl yf yu

（1）最小二乘回归结果为：

()()()()11

22?109.79840.1141580.326143(97.43575).0.0( 1.126880) 4.8623448.2782170.8906870.877022i i i I F K se t R R --=-++==-== 023478 039398 F=65.18405 P=0

经济意义说明：在假定其他变量不变的情况下，已发行股票的上期期末价值增加1单位，当期总投资增加0.114158单位；在其他变量不变的情况下，上期资本存量增加1单位，

当期总投资增加0.326143单位。 （2）模型的拟合优度为2

0.890687

R =，修正可决

系数为2

0.877022

R

=，可见模型拟合效果不错。

F 检验：对模型进行显著性检验，F 统计量对应的P 值为0，因此在0.05α=的显著性水平上我们拒绝原假设0

23:0

H

ββ==，说明回归方程

显著，即变量“已发行股票的上期期末价值”和“上期资本”存量联合起来确实对“当期总投资”有显著影响。

()2,16 3.63

F F α>=

t 检验：针对()

:01,2,3j H

j β==进行显著性检验。

给定显著性水平0.05α=，查表知()2

16 2.12t

α=。

由回归结果，2

?β、3

?β对应的t 统计量的绝对值均大于2.12，所以拒绝()

:02,3j H

j β==；但1

?β对应的t

统计量的绝对值小于2.12，在0.05的显著

性水平上不能拒绝0

1:0

H β=的原假设。

（3）2

0.877022

R

=

（4）i

I 在2003年的预测值为1254.848，置信度为95%的预测区间为（1030.292，1479.405）

105.9276

sf =

2.4 设一元线性模型为2

3.1

r (i=1,2,…..,n)

其回归方程为???Y X αβ=+，证明残差满足下式

?()XY

i i i XX

S Y Y X X S ε

=---

如果把变量2

X ,3

X 分别对1

X 进行一元线性回归，由两者残差定义的2

X ，3

X 关于1

X 的偏相关

系数23.1

r 满足：

23.1r =

解答：

（1）对一元线性模型，由OLS 可得

()()()

2

???i

i XY XX

i

Y X X X Y Y S

S X X αββ

=---==-∑∑

所以，

()

????i i i i i XY XY

i i XX XX XY i i XX

Y Y Y X S S

Y Y X X S S S

Y Y X X S εαβ=-=--??=--- ???=---

（2）偏相关系数是指在剔除其他解释变量的影响后，一个解释变量对被解释变量的影响。不妨假设2

X ，3

X 对1

X 进行一元线性回归得

到的回归方程分别为：

21211??X X e α

α=++，3

1212

??X

X e γγ=++

则，1

2

,e e 就分别表示2

X ，3

X 在剔除1

X 影响后的

值。

所以2

X ，3

X 关于1

X 的偏相关系数就是指1

2

,e e 的

简单相关系数。 所以，

23.1e e e e r --=

因为1

2

0,0

e e

==，()()

()

112222

11?i

i i

X X X X X

X α

--=-∑∑，()()

()

11332

2

11

?i

i i

X

X X X X X γ--=

-∑∑

2131X X X X X X X X r r ----=

=

令111222333,,i

i i i i i

X X x X X x X

X x -=-=-=

则2

?

r α=2

?

r γ= 注意到2

1213121????,X X X X ααγγ=+=+，所以12212321??,i

i i i i i e

x x e x x α

γ=-=-

所以

23.1e e e e e e r

--=

=

其中，

()(

)

12221321

2

23221213221

2 2321131

??

???

?

i i i i

i i

i i

i i i i i

i

i i i i i i

e e x x x x

x x x x x x x

x x r x x r x x r x

r r r

αγ

γααγ

=--

=--+

=--+

=

∑∑

∑∑∑∑

∑

(

21

312121

31

233121

r r r r r r r r r

r r r r r r

=

==-

同理可得：

()

222

1212

1

i i

e r x

=-

∑∑

()

222

2313

1

i i

e r x

=-

∑∑

所以

23.1

r==

2.7 2.7考虑下面两个模型：

Ⅰ：122

i i l li k ki i

Y X X X

ββββε

=++++++

Ⅱ：122

i li i l li k ki i

Y X X X X

ββββε

''''

-=++++++

（1）证明????

1,,1,2,,1,1,

l l j j

j l l k

ββββ

''

-===-+

（2） 证明模型Ⅰ和Ⅱ的最小二乘残差相等 （3） 研究两个模型的可决系数之间的大小

关系 解答： （

1）

设

211

11

12222

21,,,1,,,,,,

1,,,

k l k l l n k k n n

kn ln X X X Y Y X X X Y X X Y X X X ββεββε

ββεββε'??????

?????? ? ? ?

? ? ?'

? ? ? ? ? ?'====== ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ?

'????????

????

则模型Ⅰ的矩阵形式为：Y X βε=+ 模型Ⅱ的矩阵形式为：l

Y X X βε

'-=+

取()0,

,0,1,0,

,0l

e '

=，其中1为l

e 的第l 个分量

则l

l

X

Xe =

令l

l

Z Y X

Y Xe =-=-，则模型Ⅱ又可表示为Z X βε'=+

又OLS 得知，()1

?X X X Y

β-''=，()

1

?X X X Z

β-'''=

将l

l

Z Y X

Y Xe =-=-代入可得：

()()()()()1

1

11

??l

l l

X X X Z X X X Y Xe X X X Y X X X Xe e ββ----'''''==-''''=-=-

即

1111???0???11???0l l k k k βββββββββ??????'?? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?'=-=- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?'????????

（2）由上述计算可得：

()(

)?????l l e Z Z

Z X Y Xe X e Y X Y Y e

βββ''=-=-=---=-=-=

（3）由（2）可知ESS ESS '=

21RSS TSS ESS ESS

R TSS TSS TSS

-=

==-

所以要比较2

R 和2

R '，只需比较TSS 和TSS '

()()()()()()()()()()()()()()2

2

22

22

2

2222(1)cov(,)(1)var()

i i li l i li l i li l i li l i li l li l i li l l l TSS Z Z Y X Y X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X TSS X X Y Y X X TSS n Y X n X ??'=-=---??

??

=-+----??

??

=-+----????

=+----??

=--+-∑∑∑∑∑∑

所以，当var()2cov(,)l

l

X Y X ≥时，TSS '大于TSS ，则2

2

R R '

≥；

反之，2

2

R R '

<

3.4美国1970-1995年个人可支配收入和个人储蓄的数据见课本102页表格。 由于美国1982年遭受了其和平时期最大的衰退，城市失业率达到了自1948年以来的最高水平9.7%。试建立分段回归模型，并通过模型进一步验证美国在1970-1995年间储蓄-收入关系发生了一次结构变动。 解答：

建立模型为()1

2

1

2347.3t

t

t

t

t

Y X D X ββδε=++-+

其中t

Y 为t 年的个人储蓄，t

X 为t 年的个人可

支配收入，{1,

19820,1982

t

t D t ≥=<当当 则()1

2

1982t

t

E Y t X ββ<=+

()()()112119822347.3t t

E Y t X βδβδ≥=-++

Eviews 代码： series d1=0

smpl 1982 1995 d1=1 smpl @all

ls sav c pdi d1*(pdi-2347.3)

1

δ显著，所以美国在1970-1995年间储蓄-

收入关系确实发生了一次结构变动

()0.025263 2.069

t -=

3.5在行风评比中消费者的投诉次数是评价行业服务质量的一个重要指标。一般而言，受到投诉的次数越多就说明服务质量越差。有关部门对电信、电力和铁路三个服务行业各抽取了四家单位，统计出消费者一年来对这12家企业的投诉次数，见课本表格。 试采用虚拟解释变量回归方法，分析三个行业的服务质量是否存在显著的差异。 解答：

本题中有三个定性变量，所以需要设置两个虚拟变量

11122i i i i

Y D D βδδε=+++

其中i

Y 为i 企业在一年汇中受到的投诉次数，

{

11,0,i i D otherwise

=若为电力企业

，{

21,0,i

i D

otherwise

=若为铁路企业

则()1

i

E Y i β=为电信企业