习题课动量守恒定律的应用

[目标定位] 1.加深对动量守恒定律的理解.2.进一步练习用动量守恒定律解决问题.

一、动量守恒条件及研究对象的选取

1.动量守恒定律成立的条件

动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统，其成立的条件可理解为：

(1)理想条件：系统不受外力.

(2)实际条件：系统所受合外力为零.

(3)近似条件：系统所受外力比相互作用的内力小得多.

(4)推广条件：系统所受外力之和不为零，但在某一方向上，系统不受外力或所受外力的矢量和为零，则系统在这一方向上动量守恒.

2.动量守恒定律的五性

动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的规律之一.它是一个实验定律，应用时应注意其：系统性、矢量性、相对性、同时性、普适性.

例1(多选)质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接，以恒定速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图1所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列情况可能发生的是()

图1

A.M、m0、m速度均发生变化，碰后分别为v1、v2、v3，且满足(M＋m0)v＝M v1＋m v2＋m0v3

B.m0的速度不变，M和m的速度变为v1和v2，且满足M v＝M v1＋m v2

C.m0的速度不变，M和m的速度都变为v′，且满足M v＝(M＋m)v′

D.M、m0、m速度均发生变化，M和m0的速度都变为v1，m的速度变为v2，且满足(M＋m0)v＝(M＋m0)v1＋m v2

解析M和m碰撞时间极短，在极短的时间内弹簧形变极小，可忽略不计，因而m0在水平方向上没有受到外力作用，动量不变(速度不变)，可以认为碰撞过程中m0没有参与，只涉及M和m，由于水平面光滑，弹簧形变极小，所以M和m组成的系统水平方向动量守恒，

两者碰撞后可能具有共同速度，也可能分开，所以只有B、C正确.

答案BC

分析多个物体组成的系统时，系统的划分非常重要，划分时要注意各物体状态的变化情况，分清作用过程中的不同阶段.

例2如图2所示，一辆砂车的总质量为M，静止于光滑的水平面上.一个质量为m的物体A以速度v落入砂车中，v与水平方向成θ角，求物体落入砂车后砂车的速度v′.

图2

解析物体和砂车作用时总动量不守恒，而水平面光滑，系统在水平方向上动量守恒，

即m v cos θ＝(M＋m)v′，

得v′＝mvcos θ

M＋m

.

答案mvcos θM＋m

系统整体上不满足动量守恒的条件，但在某一特定方向上，系统不受外力或所受外力远小于内力，则系统沿这一个方向的分动量守恒.可沿这一方向由动量守恒定律列方程解答.

二、多物体多过程动量守恒定律的应用

对于由多个物体组成的系统，由于物体较多，作用过程较为复杂，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统，对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别列动量守恒定律方程求解.

例3如图3所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为m A＝2 kg、m B＝1 kg、m C＝2 kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞.求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小.

图3

解析长木板A与滑块C处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，碰撞过程中滑块B与长木板A间的摩擦力可以忽略不计，长木板A与滑块C组成的系统，在碰撞过程中动量守恒，

则m A v0＝m A v A＋m C v C

①

两者碰撞后，长木板A与滑块B组成的系统，在两者达到共同速度之前系统所受合外力为零，系统动量守恒，m A v A＋m B v0＝(m A＋m B)v

②

长木板A和滑块B达到共同速度后，

恰好不再与滑块C碰撞，

则最后三者速度相等，v C＝v

③

联立①②③式，代入数据解得：v A＝2 m/s

答案 2 m/s

处理多物体多过程动量守恒应注意的问题

1.正方向的选取.

2.研究对象的选取，是取哪几个物体为系统作为研究对象.

3.研究过程的选取，应明确哪个过程中动量守恒.

三、动量守恒定律应用中的临界问题分析

分析临界问题的关键是寻找临界状态.如在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态.其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键.

例4如图4所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也是30 kg.游戏时，甲推着一个质量为m＝15 kg 的箱子和他一起以v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然

将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住.若不计冰面摩擦.

图4

(1)若甲将箱子以速度v 推出，甲的速度v 1为多少？(用字母表示)

(2)设乙抓住迎面滑来的速度为v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度v 2为多少？(用字母表示)

(3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？箱子被推出的速度至少多大？ 解析 (1)甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得： (M ＋m )v 0＝m v ＋M v 1

① 解得v 1＝(M ＋m )v 0－m v

M

②

(2)箱子和乙作用的过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得： m v －M v 0＝(m ＋M )v 2

③ 解得v 2＝mv －Mv0

m ＋M

④

(3)甲、乙不相撞的条件是v 1≤v 2

⑤

其中v 1＝v 2为甲、乙恰好不相撞的条件. 联立②④⑤三式，并代入数据得 v ≥5.2 m/s.

答案 (1)(M ＋m )v 0－m v

M

(2)mv －Mv0m ＋M

(3)v 1≤v 2 5.2 m/s

1.(某一方向上动量守恒问题)(多选)如图5所示，在光滑的水平面上放着一个上部为半圆形光滑槽的木块，开始时木块是静止的，把一个小球放到槽边从静止开始释放，关于两个物体的运动情况，下列说法正确的是( )

图5

A.当小球到达最低点时，木块有最大速率

B.当小球的速率最大时，木块有最大速率

C.当小球再次上升到最高点时，木块的速率为最大

D.当小球再次上升到最高点时，木块的速率为零 答案 ABD

解析 小球和木块组成的系统在水平方向上动量守恒，初状态系统动量为零，当小球到达最低点时，小球有最大速率，所以木块也有最大速率；小球上升到最高点时，小球速率为零，木块的速率也为零.

2.(多过程中的动量守恒问题)如图6所示，质量为M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m 的物块.从某一时刻起给m 一个水平向右的初速度v 0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后( )

图6

A.两者的速度均为零

B.两者的速度总不会相等

C.物块的最终速度为mv0

M ，向右

D.物块的最终速度为mv0

M ＋m ，向右

答案 D

解析 物块与盒子组成的系统所受合外力为零，物块与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度

v共同运动，由动量守恒定律得：m v0＝(M＋m)v，故v＝

mv0

M＋m

，向右.

3.(多过程中的动量守恒问题)如图7所示，甲车的质量是2 kg，静止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一个质量为1 kg的小物体，乙车质量为4 kg，以5 m/s的速度向左运动，与甲车碰撞以后甲车获得8 m/s的速度，物体滑到乙车上，若乙车足够长，上表面与物体的动摩擦因数为0.2，则物体在乙车上表面滑行多长时间相对乙车静止？(g取10 m/s2)

图7

答案0.4 s

解析乙与甲碰撞动量守恒：m乙v乙＝m乙v乙′＋m甲v甲′

得v乙′＝1 m/s

小物体在乙上滑动至有共同速度v时，对小物体与乙车运用动量守恒定律得m乙v乙′＝(m ＋m乙)v，

得v＝0.8 m/s

对小物体应用牛顿第二定律得a＝μg＝2 m/s2

所以t＝v

μg

，代入数据得t＝0.4 s

4.(临界问题)如图8所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围以内才能避免两车相撞？不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长.

图8

答案大于等于3.8 m/s

解析人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞，以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，由水平方向动量守恒得：

(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′，解得v′＝1 m/s.

以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得：(m1＋M)v＝m1v′＋Mu，解得u＝3.8 m/s.

因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8 m/s，就可避免两车相撞.

题组一动量守恒条件及系统和过程的选取

1.(多选)下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是()

答案AC

2.青蛙是人类的好朋友，但是部分不法分子为了蝇头小利将青蛙捕杀、贩卖.现将一装有很多青蛙的箱子固定在小车上，小车放在光滑的水平地面上，当青蛙从箱子里沿水平方向跳出时，下列关于青蛙、箱子和小车的说法正确的是()

A.箱子和青蛙组成的系统动量守恒

B.箱子和小车组成的系统动量守恒

C.箱子、小车和青蛙组成的系统动量不守恒

D.箱子、青蛙和小车组成的系统动量守恒

答案 D

解析小车对箱子有外力，箱子和青蛙组成的系统外力之和不为零，动量不守恒；青蛙对箱子有作用力，箱子和小车组成的系统外力之和不为零，动量不守恒；箱子、青蛙和小车组成的系统，它们之间的相互作用力为内力，系统所受外力之和为零，系统动量守恒.

3.如图1所示，一辆小车静置于光滑水平面上，车的左端固定有一个水平弹簧枪，车的右端有一个网兜.若从弹簧枪中发射出一粒弹丸，弹丸恰好能落入网兜中.从弹簧枪发射弹丸以后，

下列说法中正确的是()

图1

A.小车先向左运动一段距离然后停下

B.小车先向左运动又向右运动，最后回到原位置停下

C.小车一直向左运动下去

D.小车先向左运动，后向右运动，最后保持向右匀速运动

答案 A

解析车与弹丸组成的系统动量守恒，开始系统静止，总动量为零，发射弹丸后，弹丸动量向右，由动量守恒定律可知，车的动量向左；弹丸落入网兜后，车也停止运动.

4.如图2所示，光滑水平面上停着一辆小车，小车的固定支架左端用不计质量的细线系一个小铁球.开始将小铁球提起到图示位置，然后无初速度释放.在小铁球来回摆动的过程中，下列说法中正确的是()

图2

A.小车和小球系统动量守恒

B.小球向右摆动过程小车一直向左加速运动

C.小球摆到右方最高点时刻，由于惯性，小车仍在向左运动

D.小球摆到最低点时，小车的速度最大

答案 D

解析小车与小球组成的系统在水平方向动量守恒，在竖直方向动量不守恒，系统整体动量不守恒；小球从图示位置下摆到最低点，小车受力向左加速运动，当小球到最低点时，小车的速度最大.当小球从最低点向右边运动时，小车向左减速，当小球运动到与左边图示位置相对称的位置时，小车静止.故小球向右摆动过程小车先向左加速运动，后向左减速运动. 题组二多物体多过程动量守恒定律的应用

5.质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图3所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度为()

图3

A.v 0

B.15v 0

C.v03

D.v0

4

答案 B

解析 由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，由动量守恒定律得：m v 0＝5m v ，v ＝15v 0，即它们最后的速度为1

5

v 0.

6.一弹簧枪对准以6 m /s 的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，射出速度为10 m/s ，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5 m/s.如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为( ) A.5颗 B.6颗 C.7颗 D.8颗 答案 D

解析 设木块质量为m 1，铅弹质量为m 2，第一颗铅弹射入，有m 1v 0－m 2v ＝(m 1＋m 2)v 1，代入数据可得m1

m2＝15，设再射入n 颗铅弹木块停止运动，有(m 1＋m 2)v 1－nm 2v ＝0，解得n ＝8.

7.如图4所示，一轻质弹簧两端连着物体A 和B ，放在光滑的水平面上，物体A 被水平速度为v 0的子弹射中并且子弹嵌在其中.已知物体A 的质量m A 是物体B 的质量m B 的3

4，子弹的

质量m 是物体B 的质量的1

4

，弹簧压缩到最短时B 的速度为( )

图4

A.v02

B.v04

C.v08

D.v03 答案 C

解析 弹簧压缩到最短时，子弹、A 、B 具有共同的速度v 1，且子弹、A 、B 组成的系统，从子弹开始射入物体A 一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受外力(重力、支持力)之和始终为零，故整个过程系统的动量守恒，由动量守恒定律得m v 0＝(m ＋m A ＋m B )v 1，又m ＝

14m B ，m A ＝34m B ，故v 1＝v0

8，

即弹簧压缩到最短时B 的速度为v0

8

.

8.如图5，在一光滑的水平面上，有质量相同的三个小球A 、B 、C ，其中B 、C 静止，中间连有一轻弹簧，弹簧处于自由伸长状态，现小球A 以速度v 与小球B 正碰并粘在一起，碰撞时间极短，则在此碰撞过程中( )

图5

A.A 、B 的速度变为v

3，C 的速度仍为0

B.A 、B 、C 的速度均为v

3

C.A 、B 的速度变为v

2，C 的速度仍为0

D.A 、B 、C 的速度均为v

2

答案 C

解析 A 、B 碰撞过程时间极短，弹簧没有发生形变，A 、B 系统所受合外力为零，以向右为正方向，由动量守恒定律得：m v ＝2m v ′，解得：v ′＝v

2，A 、B 碰撞过程，C 所受合外力

为零，C 的动量不变，速度仍为0. 题组三 综合应用

9.如图6所示，在光滑水平面上有两个木块A 、B ，木块B 左端放置小物块C 并保持静止，已知m A ＝m B ＝0.2 kg ，m C ＝0.1 kg ，现木块A 以初速度v ＝2 m/s 沿水平方向向右滑动，木块A 与B 相碰后具有共同速度(但不粘连)，C 与A 、B 间均有摩擦.求：

图6

(1)木块A 与B 相碰瞬间A 木块及小物块C 的速度大小； (2)设木块A 足够长，求小物块C 的最终速度. 答案 (1)1 m/s 0 (2)2

3

m/s 方向水平向右

解析 (1)木块A 与B 相碰瞬间C 的速度为0，A 、B 木块的速度相同，由动量守恒定律得 m A v ＝(m A ＋m B )v A ， v A ＝v

2

＝1 m/s.

(2)C 滑上A 后，摩擦力使C 加速，使A 减速，直至A 、C 具有共同速度，以A 、C 整体为系统，由动量守恒定律得m A v A ＝(m A ＋m C )v C ，v C ＝2

3

m/s ，方向水平向右.

10.质量为M ＝2 kg 的小平板车静止在光滑水平面上，车的一端静止着质量为m A ＝2 kg 的物体A (可视为质点)，如图7所示，一颗质量为m B ＝20 g 的子弹以600 m/s 的水平速度射穿A 后，速度变为100 m/s ，最后物体A 相对车静止，求平板车最后的速度.

图7

答案 2.5 m/s

解析 子弹射穿A 后，A 在水平方向上获得一个速度v A ，最后当A 相对车静止时，它们的共同速度为v .子弹射穿A 的过程极短，因此车对A 的摩擦力、子弹的重力作用可略去，即认为子弹和A 组成的系统水平方向动量守恒，同时，由于作用时间极短，可认为A 的位置没有发生变化，设子弹射穿A 后的速度为v ′， 由动量守恒定律有m B v 0＝m B v ′＋m A v A ，得 v A ＝mB (v 0－v ′)m A ＝0.02×(600－100)2

m /s ＝5 m/s

A 获得速度v A 相对车滑动，由于A 与车间有摩擦，最后A 相对车静止，以共同速度v 运动，对于A 与车组成的系统，水平方向动量守恒，因此有：m A v A ＝(m A ＋M )v ，所以v ＝

mAvA

mA ＋M ＝

2×5

2＋2

m /s ＝2.5 m/s. 11.如图8所示，质量为m 2和m 3的物体静止在光滑水平面上，两者之间有压缩着的弹簧.一质量为m 1的物体以速度v 0向右冲来，为了防止冲撞.释放弹簧将m 3物体发射出去，m 3与m 1碰撞后黏合在一起.问m 3的速度至少多大，才能使发射后m 3和m 2不发生碰撞？

图8

答案 m 3的速度至少为m1m2v0

(m 1＋m 2＋m 3)m 3

解析 设m 3发射出去的速度大小为v 1，m 2的速度大小为v 2.由动量守恒定律得m 2v 2－m 3v 1＝0，则v 2＝m3v1

m2，只要m 1和m 3碰后速度不大于v 2，m 3和m 2就不会再发生碰撞.由动量守

恒定律得m 1v 0－m 3v 1＝(m 1＋m 3)v 2.

代入v2＝m3v1

m2，得v1＝m1m2v0

(m1＋m2＋m3)m3

.

即弹簧将m3发射出去的速度至少为m1m2v0

(m1＋m2＋m3)m3

.