陕西省咸阳市实验中学2019_2020学年高二数学上学期第三次月考试题理(含解析)

陕西省咸阳市实验中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考

试题 理（含解析）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

1.在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A. 45 B. 75

C. 300

D. 180

【答案】D 【解析】

试题分析：由已知得55285545090,2180a a a a a =∴=+==，故选D ． 考点：等差数列的性质．

2.在ABC 中，若2sin b a B =，则角A 为（ ） A. 30°或60° B. 45°或60° C. 120°或60° D. 30°或150°

【答案】D 【解析】 【分析】

由正弦定理和题设条件，求得1

sin 2

A =

，进而求得角A 的值，得到答案. 【详解】在ABC 中，因为2sin b a B =， 由正弦定理可得sin 2sin sin B A B =， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >，所以1sin 2

A =

， 又因为(0,)A π∈，所以30A =或150A =. 故选：D.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.

3.a∈R，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A a 2＞－a 3＞－a B. －a ＞a 2＞－a 3 C. －a 3＞a 2＞－a

D. a 2＞－a ＞－a 3

【答案】B 【解析】

试题分析：由已知中a 2+a ＜0，解不等式可能求出参数a 的范围，进而根据实数的性质确定出a 3

，a 2

，-a ，-的大小关系．解：因为a 2

+a ＜0，即a （a+1）＜0，所以-1＜a ＜0，根据不等式的性质可知－a ＞a 2

＞－a 3

，故选B. 考点：不等式比较大小

点评：本题考查的知识点是不等式比较大小，其中解不等式求出参数a 的范围是解答的关键 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7

C. 8

D. 9

【答案】A 【解析】

分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以S n =-11n+

()n n 12

-×2=n 2-12n=(n-6)2

-36，所以当n=6时，S n 取最小值．

故选A

点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．

5.在ABC ?中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =?，ABC ?的面积为

3

2

，那么b =（ ）

B. 1 D.

2+

【答案】B 【解析】

试题分析：由余弦定理得2222

2cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积

1

sin 2ABC S ac B ?=

13

642ac ac ==?=，因为a b c ，

，成等差数列，所以2a c b +=

，代入上式可得22412b b =--

24b =+

，解得1b =+B ．

考点：余弦定理；三角形的面积公式．

6.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则

2sin cos cos A A B +=（ ）

A. -

1

2

B.

12

C. -1

D. 1

【答案】D 【解析】

试题分析：由cos sin a A b B =得2sin cos sin A A B =

222sin cos cos sin cos 1A A B B B ∴+=+=

考点：正弦定理及同角间的三角函数关系 点评：正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

==可实现三角形边与角的互相转化，同角间三角函数关系22sin cos 1B B +=

7.若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A. 102 B. 101 C. 100 D. 99

【答案】A 【解析】

由1lg 1ln n n x x +=+，得1

10n n

x x +=， 所以数列{}n x 是公比为10的等比数列，

又100100

10010111022200100,,,x x q x x q x x q =?=?=?，

所以10010010210110220012100()1010010x x x q x x x ++

+=++

+=?=，

所以()101102200lg 102x x x +++=，故选A ．

8.若实数x 、y 满足22000

x y y x y --≥??≥??-≥?

，则1

1y x

-+的取值范围是 ( )

A. 1[,1)2

-

B. 11[,]23

-

C. 1[,)2

-+∞

D. 1[1,]3

-

【答案】A 【解析】

由,x y 满足的约束条件画出可行域，如图：

目标函数1

1

y x ω-=

+表示区域内的动点(),x y 与定点()1,1P -连线的斜率 由图可知()011

112

PA k -==---是ω

的

最小值，故ω的取值范围是)112

?

-??，

故答案选A

点睛：线性规划转化为几何意义，

1

1

y x -+转化为可行域内的点到点()1,1-连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．

9.x y ，满足约束条件1122x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

，若目标函数(43)00z ax by a b =+>>，最大值为12，

则

11

a b

+的最小值为（ ） A. 1

B. 2

C. 4

D.

12

【答案】C 【解析】 【

分析】

利用线性规划求得1a b +=，从而1111

()()a b a b a b

+=++，展开后利用基本不等式，即可求解.

【详解】画出不等式组1122x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

所表示的平面区域，如图所示的阴影部分（包含边界），

由直线43z ax by =+，可得433a z y x b b =-+，由0,0a b >>，可得403a b

-<， 当直线433a z

y x b b

=+过点B 时，在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由1

22

x y x y -=-??

-=?，解得(3,4)B ，

此时目标函数43z ax by =+取得最大值12，即121212a b +=，即1a b +=，

则

1111()()2224b a b a

a b a b a b a b a b

+=++=++≥+?=， 当且仅当

b a

a b

=时，即a b =时等号成立， 所以

11

a b

+的最小值为4. 故选：C.

【点睛】本题主要考查了线性规划问题和基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中准确

画出不等式组所表示的平面区域，求得,a b 的关系式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.

10.定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ） A. 31

22

a -

<< B. 13

22

a -

<< C. 11a -<< D. 02a <<

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -?--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，

∴()

21410a a ?=-?-+<，解得13

22

a -

<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.

11.钝角三角形的三边为a ，1a +，2a +，其最大角不超过120?，则a 的取值范围是（ ） A. 0<<3a

B.

3

32

a ≤< C. 23a <≤

D.

512

a ≤<

【答案】B 【解析】

钝角三角形的三边分别是a ，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，

∴()()()()222121210212a a a a a a a a ?+++?++-+?≥-??+?

＞＞

，解得332a ≤＜，故选B ．

点睛：在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点. 12.已知函数2

21

(),()()2

x f x x g x m x =+

=-，若任意的[]11,2x ∈，存在[]21,1x ∈-，使

得()()12f x f x ≥，则实数m 的取值范围是（ ） A. )

5,2

?-+∞?? B. [)1,-+∞ C. [)4,-+∞

D.

12??-+∞????

【答案】A 【解析】 【分析】

利用指数函数的的单调性求出()g x 是单调递减函数，利用导数判断()f x 为增函数，再根据题意()f x 的最小值大于等于()g x 的最小值即可求解.

【详解】由于12x

?? ???

是单调递减函数，故()g x 是单调递减函数，

由于[]21,1x ∈-，故()g x 的最小值为()1

12

g m =-， 对()f x 求导得()2

22f x x x '=-

， 令()0f x '=，可得1x =，且1x >时，()f x 为增函数， 故()

f x 的

最小值为()1123f =+=，

要使得()()12f x f x ≥，则有132m ≥-，解得52

m ≥-. 故选：A

【点睛】本题考查了指数函数的单调性、利用导数求函数的最值、含有一个量词的不等式恒成立问题，属于中档题.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.在△ABC 中，若a ＝cos C ＝1

3

，S △ABC ＝b ＝________． 【答案】【解析】 由cosC=

13

， 得，

所以S △ABC =

12absinC=12×

所以b=14.已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n∈N *

，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为 ． 【答案】110 【解析】

【详解】由题意a 3=16，故S 5=5×a 3=80，

由数列的性质S 10﹣S 5=80+25d ，S 15﹣S 10=80+50d ，S 20﹣S 15=80+75d ， 故S 20=20=320+150d ，解之得d=﹣2 又S 10= =80+80+25d=160﹣50=110 故答案为110

点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．

15.设点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x

＋3y

的最小值为________． 【答案】18 【解析】

试题分析：根据题意，由于点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图象上运动，，则可知2x+y=4，由

于9x

＋3y

18≥==，故可知当y=2,x=1时取得等号，故答案为18. 考点：均值不等式

点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题．

16.设,,a b c 为正数，241a b c ++=的最大值是___________

【答案】2

【解析】 【分析】

根据柯西不等式直接求最值.

【详解】

22222225()(11(

(2)]22

a b c +≤++++=

当且仅当

25

,

5

a b c

===时取等号

10

2

2

a b c

∴++≤，即2

a b c

++的最大值是10 2

故答案为：10 2

【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.)

17.已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．

【答案】（Ⅰ）a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7

【解析】

试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；

（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．

解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d

由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，

从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；

（II）由（I）可知a n=3﹣2n，

所以S n==2n﹣n2，

进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，

即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，

又k∈N+，故k=7为所求．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及

sin b B

c

的值． 【答案】∠A ＝60°，sin 3

b B

c =

【解析】

试题分析：由题意得2b ac =代入原式，求得222a b c bc =+-，进而根据余弦定理，求得cos A 的值，进而得到角A ，再把2b ac =和A 的值代入正弦定理，即可求解sin b B

c

的值． 试题解析：

∵a、b 、c 成等比数列，∴b 2

＝ac. 又∵a 2

－c 2

＝ac －bc ， ∴b 2

＋c 2

－a 2

＝bc.

在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝＝＝，

∴∠A＝60°.

在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝，

∵b 2＝ac ，∠A＝60°， ∴

＝

＝sin 60°＝

.

19.解关于x 的不等式ax 2

－(a ＋1)x ＋1<0. 【答案】见解析 【解析】 【分析】

将不等式化为(ax －1)(x －1)<0，再对a 的取值范围讨论，分类解不等式. 【详解】原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0 当a ＝0时，原不等式解为x >1.

当a <0时，不等式可化为1()(1)0x x a

-->， ∵

11a

<，∴1

x a <或x >1.

当a >0时，原不等式可化为1()(1)0x x a

--<

若

11a <，即a >1，则1

1x a <<； 若1

1a =，即a ＝1，则x ∈?； 若11a

>，即0

综上所述，当a <0时，原不等式的解集为1

{|x x a

<或1}x >； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当0

解集为1{|1}x x a

<<； 当a ＝1时，原不等式的解集为?； 当a >1时，原不等式的解集为1

{|

1}x x a

<<. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围讨论，分类解不等式，属于中档题.

20.设函数()|1||21|f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；

（2）若x R ?∈，不等式()||f x a x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或4}3

x ≥（2）1a ≤ 【解析】 【分析】

（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，求其并集得结果；

（2）先讨论x 为零的情况，再对x 不为零的情况分离变量，利用绝对值三角不等式求最小值，解得结果.

【详解】（1）

1()21212x f x x x ≥?≥∴?-+-≥? 或1121212x x x ?<

1122

x x x ?

≤?

??-+-≥?

143x x ≥??∴?≥??

或112

2x x ?<

??≥?或120x x ?

≤???≥?，43x ∴≥ 或x ∈?或0x ≤， 即解集为{|0x x ≤或4

}3

x ≥

（2）|1|(|2)||||1|f x a x a x x x -+≥-≥? 当0x =时，20a R ≥∴∈

当0x ≠时，||11

|1||21||1||2|a x

x x a x x ≥?---+-≥+ 因为1111

|1||2||(1)(2)|1x x x x

-

+----=≥，所以1a ≤ 综上，1a ≤

【点睛】本题考查分类讨论法解含绝对值不等式、利用绝对值三角不等式求最值，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.

21.已知不等式230x x t -+<的解集为{}

1,x x m x R <<∈ （1）求实数,t m 的值；

（2）若函数()2

4f x x ax =-++在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式

()

2log 320a mx x t -++-<的解集．

【答案】（1）22

m t =??=?；（2）130122x x x ??

<<<

【解析】 【分析】

（1）根据不等式解集得对应方程230x x t -+=的根，根据韦达定理解得实数,t m 的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定a 的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.

【详解】（1）由题意得1m ，为方程230x x t -+=的根，所以132

12m m m t t +==??∴?

??==??

，

（2）因为函数()2

4f x x ax =-++在区间(]

,1-∞上递增，所以122

a

a ≥∴≥， 因此由(

)

2

log 320a mx x t -++-<得20321mx x t <-++-<,2 0231x x <-+<,

30132

011

22

12x x x x x ?

<

?>

或或,即130122x x x ??

<<<

或. 【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.

22.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以9海里/时的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，恰在小岛B 处追上渔船.

（1）试问舰艇应按照怎样的航向前进？ （2）求出舰艇靠近渔船所用的时间？ (参考数据：133333

cos 21.8,sin 21.8,tan 21.814=

=??=

?) 【答案】（1）舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进（2）舰艇靠近渔船所用的时间为2

3

小时 【解析】 【分析】

（1）设舰艇靠近渔船所用的时间为x 小时，则219AB x BC x ==，，根据渔船在方位角为45°，渔船正沿方位角105°的方向行驶，得到ACB ∠，利用正弦定理求得BAC ∠即可. （2）在ABC 中，结合（1）的结论，利用余弦定理求解即可. 【详解】设舰艇靠近渔船所用的时间为x 小时，

则219AB x BC x ==，，结合图形可知，275145∠=?∠=?，， 则4575120ACB ∠=?+?=?.

（1）由正弦定理得，

sin sin AB BC

ACB BAC

=∠∠，

即

219sin120sin x x

BAC

=?∠，

sin 14

BAC ∴∠=

， 218BAC ∴∠=?．，21845668?+?=?．．， ∴舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进.

（2）在ABC 中，

2222AB AC BC AC BC cos ACB =+-??∠，

即()()2

2

2211092109120x x x cos =+-????，

解得23x =

或5

12

x =-(不合题意，舍去)， ∴舰艇靠近渔船所用的时间为2

3

小时.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.