反比例函数案例

反比例函数的图像和性质（1）教学案例分析

房县万峪中学 党仕章

一、教学内容分析

通过本节学习进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数图像的性质。二、教学目标1．知识与技能

（1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象；知道一次函数与反比例函数图像的区别与联系，并由图象纳概括出反比例函数的性质；能用反比例函数的性质与定义解决简单的实际问题。

（2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想的认识。2．过程与方法

通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。3．情感、态度与价值观

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲及学习数学的成就感。三、教学重点

理解并掌握反比例函数的图象和性质四、教学难点

正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质五、例、习题的意图分析

教材第41页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。

补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。

补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让

学生理解并掌握反比例函数解析式（k≠0）中的几何意义。

x

k

y k 六、教学过程设计课堂引入提出问题：

1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？

3．反比例函数的图象是什么样呢?例习题分析

例2．见教材P41，用描点法画图，注意强调：

（1）列表取值时，x≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴

例1．（补充）已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m 值，

3

2

)1(--=m

x m y 并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变

1-=kx y 量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件例2．（补充）如图，过反比例函数（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的

x

y 1

=垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△

BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）

（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2

（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定

分析：从反比例函数（k≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作

x

k

y =垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积，由此可得S 1＝S 2 ＝ ，

k xy S ==2

1

故选B 随堂练习

1．已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围

x

k

y -=3（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大

2．函数y ＝－

ax ＋a 与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（

x

a

y -=）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作

x

k

y=

x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

课后练习

1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围

x

m

y)1

2(-

=

x

m

y

-

=

3

是2．（2）已知反比例函数的图象上有两点A（，），

2

y

x

-

=

1

x

1

y

B（，），且，

2

x

2

y

12

x x

<

⑵若点、在该反比例函数的图象上，试比较与的大

()

1

,y

a

-()2,2y a

-

1

y

2

y

小。

⑶求的面积。

AOB

?

案例分析

《新课程标准》强调教学过程是师生交往、共同发展的互动过程．在教学过程中要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程．课堂应较多地出现师生互动、平等参与的生动局面，学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与、勤于动手成为教学过程中教师的共识．反比例函数图像的性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。因此本节课通过对图像的画法和分析得出函数图形的性质，体现的是数形结合的思想方法，教学中安排较多的图像分析，既体现数形结合的思想，同时也体现转化的思想，使学生深刻领会函数解析式与图像之间的联系，突出两者的转化对分析问题的特殊作用。从这些方面去理解反比例函数与一次函数区别，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。

本节课主要通过开放式的提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点．用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神．《新课程标准》要求，我们应该努力提高计算机技术应用于数学教学过程的水平，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，改善学生的学习．为此，在教学手段上，应使用多媒体辅助教学，既能体现知识的背景材料，又能一下子引起学生的注意力，有效地节省了时间，增大了课堂容量。生动形象的动画演示，动感强、直观性好，既加深了学生的理解，又培养了学生的抽象思维能力，同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法。

基本的思维能力、科学态度、理性精神是未来公民生存与发展所需要的最基本也是最重要的责任．为此，本节课在猜想反比例函数的图象到底是什么时，鼓励学生用科学的态度、探索的方法来验证，而不是采用“告诉”的方式；当学生在连接各点遇到困难时，引导他们寻找解决的问题的思路，并在解决问题的过程中总结获得的经验，而不是直接给出解决问题的方案．《新课程标准》强调，在培养学生“克服困难的自信心、意志力”方面，我们应当关注两件事：①向学生提供具有挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难的活动；②让他们在从事这些活动的过程中获得成功的体验，……为此，本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，锻炼了学生克服困难的意志，增强了学生的自信心．

在整个课堂教学过程中，应留给时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性；在学生画出反比例函数的图象后，让学生趁热打铁“看图说话”，然后说出具体的图象的特征，为下面的教学活动作很好的铺垫．提出问题：“请同学们仔细观察图象并进行讨论，这个反比例函数的图象区别于一次函数的图象有那些不同的特征呢？” 留给时间让学生讨论、交流，这样必将能更大的激发学生的探索热情，更能体现学生的创新能力，同时也为进一步学习反比例函数的图象的性质埋下伏笔．

通过这节课的教学，我认为：教师始终是学生学习的引导者，学生是以研究者、探索者的角色出现在教学过程中，这样使得教学过程成为一个再发现、再创造的认识过程。古人云：“授人鱼，不如授人以渔”因此在教学设计中重

视学法渗透，自然地把学习方法结合知识传授给学生，让同学们明白，在数学王国里，成功和机遇永远属于那些勤于思考、勇于探索的人。