六年级奥数 圆和扇形
圆和扇形
无论什么圆，它的周长除以直径的商总是一个固定的数，这个固定数叫圆周率，用π来表示。
π是一个无限不循环小数：π
＝3.14159265……
圆 如果用C 表示圆周的长度，d 表示这个圆的直径，r 表示它的半径。
圆的周长为：C ＝2πr =πd
圆的面积为：S ＝πr 2
扇形
设扇形的圆心角是n 度，扇形的弧长用L 表示。
扇形的弧长为：L ＝360n ×2πr=180
n ×πr; 扇形的面积为：S ＝360n ×πr 2＝2
1Lr
例1：如图是个半圆（单位：厘米），其阴影部分的周长是多少？
例2：直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起如图，试求金属带的长度和阴影部分的面积。
例3：如图，一个圆心角是450的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
例4：如图，圆O1、圆O2、圆O3的半径都是2厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
例5：如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
例6：如图，AD＝DB＝DC＝10厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
例7：一个直径为4厘米的半圆，让点A不动，把整个半圆顺时针旋转45ｏ，此时点B移至点B1，如图所示，求图中阴影部分的面积。
例8：如图，阴影部分的周长是多少厘米？
五年级下册数学试题 - 奥数专题- 圆与扇形综合 人教版
专项一圆与扇形综合 课前预习 圆与球：跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！ 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。
古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式：(R是球半径)。阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。 至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。
六年级数学上册：扇形教案
六年级数学上册：扇形教案 【教学内容】 教材第75页及练习十六1~4题. 【教学目标】 1.认识弧、圆心角以及他们间的对应关系，在此基础上认识扇形，并能准确判断圆心角和扇形. 2.理解扇形概念，知道扇形有一条对称轴以及圆心角的大小决定扇形面积. 【教学重点】 认识弧、圆心角、扇形，能准确判断扇形. 【教学用具】 课件、纸圆片2个、一张纸上画好一个圆、彩笔一支. 【情景导入】 课件出示： 扇形物体：扇贝、折扇…… 同学们，刚才你们认识了扇形物体，大家想知道扇形的哪些知识呢？ 学生：什么样的图形叫扇形？ 学生：扇形的各部分的名称是什么？ 学生：扇形跟圆有什么关系？ …… 嗯，同学们的问题真的不少，今天我们就带着这些问题一起来学习扇形. 板书课题：4.扇形 【新课讲授】 1.认识弧： 出示一个圆，在上面任意点两个点A、B （1）A、B两点在什么位置？（圆上） （2）老师：圆上A、B两点间的部分叫弧.（课件演示.） （3）追问：圆上A、B两点间的部分叫什么？什么叫弧？
（板书弧：圆上A、B两点间的部分） 读作：弧AB （4）请在圆上用彩笔画一条弧.你是怎样画的？（边用手指描弧边说弧AB） 2.认识圆心角： 课件演示连接OA和OB （1）线段OA 、OB是圆的什么？（半径） 半径OA 、OB所夹的部分叫什么？（角） 这个角的顶点在圆的什么位置？（圆心） 老师：顶点在圆心的角叫圆心角.什么叫圆心角？ （板书圆心角：顶点在圆心的角） （2）请学生在圆上标出圆心角.谁是圆心角？（∠AOB是圆心角） （3）练习：教材76页第2题. 下面图形中哪些角是圆心角？在（）里面打“√”. 3.扇形大小与圆心角的关系. 出示课件： 提问：以半圆为弧的扇形的圆心角是多少度？以14圆为弧的扇形呢？ 以半圆为弧的扇形的圆心角是180°，以14圆为弧的扇形是90°. 我的发现： 同一圆内，圆心角的大小决定扇形面积.圆心角越大，扇形面积越大；圆心角越小，扇形
六年级奥数圆与扇形完整版
圆与扇形 考点、热点回顾 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的周长、面积计算公式： c d π=或2c r π= 2s r π= 半圆的周长、面积计算公式： c r d π=+ 212 s r π= 扇形的周长、面积： 2360a c d r π= + 2360 a s r π= 如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 典型例题： 例1、如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知 每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米） 分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为 πR-πr＝π（R-r）＝3.14×1.22≈3.83（米）。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。 例2、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？ 分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。 例3 、左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。 分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。 例4 、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？ 分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，
人教版小学六年级圆与扇形综合练习题
圆与扇形练习题一 1、两个圆的周长相等，它们的直径也相等（） 2、圆的周长总是该圆直径的∏倍。（） 3．大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（） 4、大圆的直径是小圆半径的4倍，那么大圆的周长是小圆周长的4倍。（） 5、半圆的周长就是圆周长的一半。（） 6、圆的半径扩大2倍，它的直径也扩大2倍，它的周长将会增加一倍。（） 二、填空。 1。在同一个圆里，半径是5厘米，直径是（）厘米。 2．圆是平面上的一种（）图形。 3、圆的半径是3厘米，直径是（）厘米，周长是（）厘米。 4．圆的周长是28．26米，它的直径是（）厘米，半径是（）厘米。 5、一台时钟的分针长6厘米，它走过2圈走了（）厘米 6。一圆的周长是12．56厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚的距离是（）厘米。 7、一个圆环，外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（） 8、8、圆心角是90度的扇形面积是所在圆面积的（）分之（） 三、圆的面积 1．个圆的周长一个正方形的周长相等，这个正方形的边长是6．28厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 2．圆形水池，周长是18．84米，面积是多少平方厘米？ 20cm 5．直径是1.5米，每分转8圈，压路机每分前进多少米？ 6．圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？ 8．自动旋转喷灌装置半径是10米，它的最大喷灌面积是多少平方米？ 9．草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？ 10．画一个直径2cm的圆。 圆与扇形练习题二 1.填空题（每题2分，共24分） （1）一个半圆，半径为r，半圆周长是（）。 （2）如果一个圆的半径扩大3倍，它的直径扩大（）倍，面积扩大（）倍。 （3）圆的周长是157厘米，它的直径是（50）厘米，面积是（）平方厘米。 （4）一根铜丝长18.84米，正好在一个圆形线轴上绕40周。这个圆形线轴的直径是（）厘米。 （5）圆的周长是直径的（）倍，是半径的（）倍。 （7）圆规两脚分开的距离是6厘米，用这个圆规画出的圆，它的周长是（）。
六年级上册数学试题- 第1章 圆和扇形 单元测试题2冀教版(有答案)
冀教版小学六年级上册数学第1章圆和扇形单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．圆周率π表示（） A．圆周长与直径的比值B．圆周长与半径的比值 C．直径与圆周长的比值D．半径与圆周长的比值 2．用圆规画一个直径是3厘米的圆，它的两脚叉开的距离是（） A．3厘米B．6厘米C．1.5厘米 3．一个圆的周长总是它直径的（）倍． A．πB．3.14 C．3 D．2 4．下列关于圆的说法，错误的是（） A．圆越大，圆周率也越大 B．圆有无数条对称轴 C．圆的周长与它的半径的比是2π：1 5．下面说法正确的是（） A．圆规两脚张开3厘米，画出的圆的直径就是3厘米 B．周长是6.28米的圆，它的直径是1米 C．半径是2厘米的圆，它的周长和和面积相等 D．半径相等的圆，它们的面积也一定相等 6．一张圆形的纸，至少要对折（）次，才能看到圆心． A．1 B．2 C．3 7．在下面关于圆周率π的叙述中，错误的有（）个． ①π是一个无限不循环小数；②π＝3.14；③π＞；④π是圆的周长与它半径的比值． A．0 B．1 C．2 D．3 8．两个大小不相等的圆，大圆的周长除以它的直径所得的商（）小圆的周长除以它的直径所得的商． A．大于B．等于C．小于 9．下面（）的阴影部分是扇形．
A．B． C． 10．在一张长9厘米，宽6厘米的长方形纸上画一个圆，则圆规两脚间的距离不能超过（）厘米． A．3 B．4.5 C．6 D．9 二．填空题（共8小题） 11．在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是厘米．12．用圆规画一个半径为5厘米的圆，圆规两脚间的距离是，画一个直径是6厘米的圆，圆规两脚间的距离是． 13．画直径为6厘米的圆，圆规两脚间的距离是厘米． 14．填空题： （1）圆的直径是． （2）圆的半径是． 15．圆的周长与直径的比值用字母表示是，这个比值表示的是． 16．画圆可以用圆规和尺，还可以用和． 17．将圆对折，两侧正好完全重合，说明圆是图形，直径所在的就是圆的对称轴，圆有条对称轴． 18．在同圆内，半径是直径的，直径是半径的． 三．判断题（共5小题） 19．大圆的圆周率大于小圆的圆周率．．（判断对错） 20．直径就是两端都在圆上的线段．．（判断对错） 21．在一个圆中，直径的数量是半径的．．（判断对错）
小升初数学-圆与扇形
与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法． 1．如图17-1，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面 积加上4个的面积减去4个的面积，即加上 31 441 42 ?-?=个半径为1的圆的面积． 所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1 7π≈16+3.1416=19.1416平方厘米． 2．如图17-2，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A直径为10厘米，盘B直径为40厘米，盘C直径为20厘米．问：A顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米?( π取3.14．)
【分析与解】 A 顺时针转一周时，C 顺时针转12周，同轴的B 也顺时针转1 2 周，从而绳索被拉动的距离等于B 的半个圆周长即π×20≈62.8，这时重物应该上升去1 2 ×62.8=31.4． 所以重物上升31.4厘米． 3．图17-3为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长? 【分析与解】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此 纸的长度 ()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04 ?-?-?≈ ≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以，这卷纸展开后大约71.4米． 4. 如图 17-4，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积的3 5 ．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米? 【分析与解】 小圆的面积为2525ππ?=，则大小圆相交部分面积为325155 ππ?=,那么 大圆的面积为422515154ππ÷=，而2251515422 =?，所以大圆半径为7.5厘米． 5．如图17-5，在18×8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整 个方格纸面积的几分之几?
六年级.圆与扇形知识总结及练习
未来教育学科教师辅导讲义 学员姓名 年 级 六年级 科 目 数学 授课时间段 学科教师 王晓芬 课时数 2H 课 题 圆 教学目标及重难点 教学内容 一、知识梳理 1、圆的周长：d C π=或r C π2= 2、弧长：l ＝180 n πr 3、圆的面积：S=πR 2 4、圆环面积：22r R S S S ππ-=-=内圆外圆圆环 5.扇形的面积： S 扇形＝360 n πR 2，其中R 为扇形的半径，n 为圆心角． 引导学生理解公式：在应用扇形的面积公式S 扇形=2360 r n π 进行计算时，要注意公式中n 的意义：n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 6、弧长与扇形面积的关系： ∵l ＝180n πR ， S 扇形＝360n πR 2， ∴360n πR 2＝12R ·180n πR ． ∴S 扇形＝12 lR 二、例题讲解 例1：有一圆形铁片，没有标明圆心，你能测出它的圆心吗？ 例2：圆形花坛的直径是20米，则其周长是多少米？小自行车得车轮直径是50厘米。绕花坛一周车轮大约转动多少周？ 例3：已知圆的半径为3厘米，圆心角的度数为20度，计算圆心角所对的弧长度。
例4：钟面上的分针长6cm ，经过25分钟时间，分针的针尖走过的路径长为多少厘米。 例5：一个圆形蓄水池的周长是25.12m ，这个蓄水池的占地面积是多少？ 例6：一个圆环铁片，内圆半径是6cm ，环宽是4场面，求这个环形铁片的面积是多少？ 例7：已知扇形的圆心角120度，半径为3cm ，则这个扇形的面积是多少？ 例8：已知扇形的圆心角为270度，弧长为12π，求扇形的面积。 三、练习巩固 1、下列语句中正确的是（ ） Ａ、因为圆周率表示圆的周长和直径的关系，所以圆周率随着圆的周长和直径的变化而变化 Ｂ、圆心角相等，所对弧的长也相等 Ｃ、圆的周长扩大６倍，半径就扩大３倍 Ｄ、在一个圆中，圆心角是圆周角的61，那么圆心角所对的弧长是圆周长的6 1 2、 一个圆的半径增加２cm ，则它的周长增加 。 3、一根圆形钢管的外直径为２０cm ，在钢管上绕了５００圈钢丝，求钢丝长为多少？（π＝3.14）
六年级数学上册扇形教案
课堂教学设计方案 一次备课二次备课 课题：扇形 教学目标： 1、认识弧、圆心角以及他们间的对应关系，在此基础上认识扇形，并能 准确判断圆心角和扇形。 2、理解扇形概念知道扇形有一条对称轴以及圆心角的大小决定扇形面积。 教学重点与难点： 认识弧、圆心角、扇形，能准确判断扇形。 教学过程： 一、导入明标 请将手中的两个圆一个平均分成4份剪下其中的一份，另一个平均分成2 份剪下其中的一份，观察手中的图形，他们像什么？（像扇子） 今天我们就一起认识扇形。（板书课题：认识扇形） 二、合作探究： 1、认识弧：出示一个圆，在上面任意点两个点A、B。 （1）A、B两点在什么位置？（圆上） （2）师：圆上A、B两点间的部分叫弧。课件演示。 （3）追问：圆上A、B两点间的部分叫什么？什么叫弧？ （板书：弧：圆上A、B两点间的部分）读作：弧AB。 （4）请在圆上用彩笔画一条弧。你是怎样画的？（边用手指描弧边说弧 AB） 2、认识圆心角：课件演示连接OA和OB 。 （1）线段OA 、OB是圆的什么？（半径） 半径OA 、OB所夹的部分叫什么？（角） 这个角的顶点在圆的什么位置？（圆心） 师：顶点在圆心的角叫圆心角。什么叫圆心角？ （板书圆心角：顶点在圆心的角） （2）请学生在圆上标出圆心角。谁是圆心角？（∠A OB是圆心角） （3）练习：教材76页1题（略） 3、认识扇形。 （1）画出扇形一圈，我们把围成的图形叫扇形，什么叫扇形？交流
由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形。（板书：扇形）（2）同学之间用手描一下自己手中的圆，互说哪一部分是扇形。 （3）观察桌上剪好的图形，请你选择其中的一个图形说一说，它是扇形吗，为什么？ （4）师课件演示：黄色部分是什么图形？（扇形）为什么？ 4、说一说。 （1）在生活中，你见到哪些物体的外形是扇形？ （如：扇子外形、贝壳外形、树叶外形等） （2）老师也搜集了一些扇形的图片，请大家欣赏一下。 5、第三次用剪好的扇形：请将桌上的每一个扇形对折，你有什么发现？ （扇形是轴对称图形，有一条对称轴。） 三、合作交流 演示：活动的扇形。圆心角一条半径不动，另一条半径不断转动，呈现不同的扇形。当两条半径重合时，形成一个圆。 通过观察，你发现了什么？（扇形是圆的一部分） 四、展示点拨 由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形。扇形是轴对称图形，有一条对称轴。 五、训练拓展： 1、练习十六第1-3题 2、练习十六第4题 六、小结反思 今天我们学习了什么?你有什么收获? 教学反思：
五年级奥数春季班第7讲-圆与扇形进阶
第七讲圆与扇形进阶 模块一、基本图形面积求法： 方中圆：正方形面积:圆面积=4:π；圆中方：圆面积:正方形面积=π:2. 例1．（1）下图中正方形的边长为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。(π取3.14) ① ② 解：正方形的边长为2，所以正方形的面积是4，圆的半径是2，所以四分之一的圆的面积π. 所以圆角①的面积是4?π=0.86； 直角三角形的面积是2，所以弓形②的面积是π?2=1.14. （2）下图中正方形的面积为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。(π取3.14) ① ② 解：正方形的面积是2，所以扇形面积是=1.57，所以圆角①的面积是2?1.57=0.43； 2 直角三角形的面积是1，所以弓形②的面积是1.57?1=0.57. 例2．如图，已知正方形的面积是100，则阴影部分的面积和为。（结果保留π） 解：正方形的面积是100，正方形内有一个四分之一的圆，圆的半径是10，四分之一圆的面积是25π，所以阴影中的圆角的面积是100?25π， 有外面的大圆的面积是50π，阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一， 所以两个弓形的面积是2× 1 4×(50π?100)=25π?50， 于是阴影部分的面积=100?25π+25π?50=50. 例3．（1）如图，阴影部分的面积是多少？
三角形 ABC 的面积=30，AB 为直径的半圆的面积= 1 解：（1）阴影部分面积=长方形面积?扇形?圆角， 大长方形面积=4×6=24， 扇形是四分之一个圆，扇形面积= 1 4 ×π×16=4π， 圆角面积=正方形面积?四分之一圆=16?4π， 所以阴影部分的面积=24?4π?16+4π=8. （2）在一个边长为 6 的正方形内，分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积 为多少平方厘米？（π= 3.14） 解：（2）下面的阴影是半圆，上面的阴影是两个圆角，它的面积等于半个正方形的面积?半个圆的面积， 所以阴影部分的面积半个正方形的面积= 1 2 ×62=18. 例 4．如图所示，分别以直角三角形的三条边为直径做半圆，这三个半圆交出两个月牙形区域（阴影部分）， 则这两个阴影面积之和为 。 B 5 12 A 13 C 解：两个阴影部分的面积之和等于三角形 ABC 面积+AB 为直径的半圆的面积+ BC 为直径的半圆的面积?AC 为直径的半圆面积。 5 25 ? π ? ( )2 = π ， 2 2 8 1 1 1 3 169 BC 为直径的半圆的面积= ? π ? 62 = 18π ，AC 为直径的半圆的面积= ? π ? ( )2 = 2 2 2 8 π ， 所以阴影部分面积=30+ 25 169 π + 18π - π =30. 8 8 例 5．已知三角形 ABC 是直角三角形，AC =4cm ，BC =2cm ，则阴影部分的面积为 cm 2。 （π 取 3.14） B D B A C A C
六年级数学讲义圆和扇形(供参考)
4cm 4cm 13、六年级数学复习：阴影部分面积 姓名 例题选讲： 例1、求下列阴影部分的周长和面积：（结果保留2位小数） （1） （2）、求出下列图形中阴影部分的面积和周长 （3）、如图：正方形的边长为4厘米，求图中阴影部分的周长和面积。 D B 例2、已知正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为2cm 和3cm,求阴影部分的面积。
例3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为10厘米和12厘米。B、C、E在一直线上，GE 是以C为圆心，CE为半径的一条弧，联结AE、AG,求图中阴影部分的面积。 例4、如图，一个半圆与一个圆心角为45度的扇形重叠在一起，扇形的一条半径与半圆O的直径AB重合，另一条半径BC与半圆弧相交于点D。已知AB=4cm,OD和AB垂直，求阴影部分的面积。 例5、如如图，正方形的边长是12厘米，分别以四条边为直径画半圆，构成一个四叶图， 求这个四叶图的周长和面积。 例6、已知正方形ABCD的边长为4cm求出这个花瓣形状的阴影部分的面积。
cm BC AC AB CAB 2,,90===∠ 4cm 【即时检测】 1、求出下列图形中空白部分的面积。 2、 求出下列图形中阴影部分的面积 （1） （2） (3) (4)
3、求阴影部分的周长和面积（精确到0.1cm ） 4、求下图阴影部分周长与面积（单位：厘米） 【拓展题】 1、现在有四根半径为5厘米的圆柱形物件，为了方便运输，准备用绳子捆绑在一起，横截面如图所示， 如果要求物品的两端各用一根绳子绕三圈，并留出20厘米长打结，那么需要准备多长的绳子。 6cm 10cm 6
五年级奥数圆与扇形(二)教师版
五年级奥数圆与扇形（二）教师版 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =? ； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部 分．我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个 扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360 n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积． 一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”) 板块二 曲线型面积计算 【例 1】 如图,已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的 3 4 倍,则角CAB 的度数是________． 例题精讲 圆与扇形
D C B A 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设半圆ADB 的半径为1,则半圆面积为21π π122 ?=,扇形BAC 的面积为 π42π233?=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ?,所以,22π π23603n ??= ,得到60n =,即角CAB 的度数是60度． 【答案】60度 【例 2】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7,分别以,B C 为圆心,2为半径 画圆,已知图中阴影部分的面积是17,那么角A 是多少度(π3=) 6 7 C B 【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 1 67212 ABC S =??=△, 三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=, 根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C ∠+∠??=° , 所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度 【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ,是小圆面积的3 5 ．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米？ 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 小圆的面积为2π525π?=,则大小圆相交部分面积为3 25π15π5 ?=,那么大圆的面
六年级数学上册专项练习：扇形(含解析)
六年级数学上册专项练习：扇形（含解析） 一、选择题（共4题；共8分） 1.下面阴影部分是扇形的是（） A. B. C. 2.如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的一半，那么所得的扇形面积与原来的扇形面积的比值为（）. A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.一扇形是轴对称图形，对称轴有（）条. A. 1 B. 4 C. 无数 4.扇形圆心角的度数是（） A. 大于0° B. 大于360° C. 大于0°，小于360° D. 任意度 二、判断题（共6题；共12分） 5.一条弧和两条半径就组成一个扇形.（） 6.圆的一部分就是扇形. 7.把一个圆分成5份，每一份都一定是个扇形. 8.半圆也是一个扇形. 9.扇形的两条直边可以不是圆的半径.( ) 10.在同一个圆中，圆心角越小，扇形也越小.( ) 三、填空题（共4题；共8分） 11.下面图形中哪些角是圆心角？在（）里画“√”. 12.一只挂钟的时针长4厘米，这根时针9小时扫过的面积是________平方厘米.
13.下图中有________个扇形. 14.如果弧所对的圆心角为60°，弧长为8πcm，那么该弧所在扇形的面积是________（结果保留π） 四、作图题（共1题；共5分） 15.画一个半径是1.5cm的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形. 五、解答题（共1题；共5分） 16.下图是一个三角形，以它的每个顶点为圆心，以2cm为半径画弧，求阴影部分的面积.
答案解析部分 一、选择题 1.【答案】 B 【考点】弧、圆心角和扇形的认识 【解析】【解答】A、角的顶点不在圆心上；B、符合扇形的特征和定义；C、角的顶点不在圆心上. 故答案为：B 【分析】扇形是是由顶点在圆心上的角的两边和这两边所截的一段圆弧围成的图形.据此判断即可. 2.【答案】D 【考点】弧、圆心角和扇形的认识，扇形的面积 【解析】【解答】解：圆心角扩大为原来的2倍，扇形面积就扩大到原来的2倍；半径缩小为原来的，面积会缩小到原来的，则总体面积会缩小到原来的，因此所得的扇形面 积与原来的扇形面积的比值为：1=. 故答案为：D 【分析】半径缩小多少倍，圆面积就会缩小这个倍数的平方倍，由此判断出扇形面积一共缩小的倍数，再计算比值即可. 3.【答案】A 【考点】弧、圆心角和扇形的认识 【解析】【解答】解：扇形是轴对称图形，对称轴只有1条. 故答案为：A 【分析】扇形的对称轴是圆心角的角平分线所在的直线，扇形只有一条对称轴. 4.【答案】 C 【考点】弧、圆心角和扇形的认识 【解析】【解答】解：扇形圆心角的度数在0°和360°之间. 故答案为：C.
小学奥数教程之圆与扇形计算题.
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =?； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块、曲线型旋转问题 【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π) A B B C A 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 例题精讲 圆与扇形
六年级上册奥数试题-第8讲 圆与扇形 全国通用(含答案)
第8讲圆与扇形 知识网络 圆是所有几何图形中最完美的。当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。圆周率用字母表示，它是一个无 限不循环的小数，一般取近似值3.14。圆的周长。利用等分圆周拼成近似长方 形的方法可知圆的面积。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周上任意两点间的部分叫 做弧。 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。从而扇形的周长，扇形的面积。 重点·难点 本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。 学法指导 在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。 经典例题 [例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。请问：小狗如何才能逃出虎口？ 思路剖析 如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。由于半圆周长是直
六年级奥数-圆与扇形
六年级奥数圆与扇形 知识要点：五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的面积=n r2, 圆的周长=2 n r , 扇形的面积=兀芒％為崩形的弧长= 2H r X^o dbu 本书中如无特殊说明，圆周率都取n =3.14。 例1如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米） 例2有七 根直径5厘米的塑 料管，用一根橡皮 筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？45.7 例3左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。257
例4早场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大? 2512吊 例5右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。4cm 例6右图中的圆是以0为圆心，半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。ioocm 课堂练习： 1. 直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置I绕A点转动，至U达位置U，此时B，C点分别到达B, C点；再绕B点转动，到达位置川，此时A，C点分别到达A，C2 点。求C点经C到C走过的路径的长。68厘米 2. 下左图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米? 62.8厘米 3. 一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。43.96m2
六年级下册数学试题-15讲 圆和扇形(含答案)全国通用
第十五讲 圆和扇形 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =?； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?． 一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经 常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个 圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360 n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2? 一、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米． 【例 2】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三 个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．
五年级奥数.几 何.圆与扇形综合(C级).学生版
圆与球：跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！ 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。 古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R 是球半径) 。阿基米德的方法可以看成是积 课前预习 圆与扇形综合
分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。 至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。 至于圆周率π的计算，这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。前面已提到的祖冲之，亦以圆周率的计算而彪炳史册。据《隋书》记载，祖冲之算出圆周率的精确值在 3.1415926与3.1415927之间，这在公元5世纪时创造了世界之最。为了纪念这位文化名人，人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。1955年，中国还发行了祖冲之纪念邮票。祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔·卡西的邮票，阿尔·卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人，他在公元14世纪，给出了准确到13位小数的圆周率近似值。今天，电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。然而，电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。
完整word版,六年级数学上册《圆和扇形》练习
圆和扇形 一、填空。 1．在下图圆中，圆心用字母表示是（）； AC是圆的（），用字母表示是（），AC＝（）； OB是圆的（），用字母表示是（），OB＝（）； 涂色部分的形状是（）。 2.在同一个圆里，有（）条半径，所有半径的长度（） 3.圆有（）条直径，在同一个圆中直径等于半径的（）。 4.圆是（）图形，有（）条对称轴。 5.扇形是由（）围成的，扇形的圆心角的顶点在（） 6.圆有（）条对称轴，圆所有的对称轴都相交于（）。 7.下图中，圆的直径是（）厘米，半径是（）厘米 8. 下图中，大半圆的半径是（）厘米，直径是（）厘米，小半圆的半径是（）厘米，直径是（）厘米， 二、选择符合要求的答案，把序号填在（）里。 1.下面图（）中的AB是圆的直径。
2．下面图形中，第（）个涂色部分是扇形。 3．一个圆有（）条对称轴。 ① 1 ② 2 ③ 4 ④无数条 4．用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4厘米，这个圆的直径是（） ① 4厘米② 2厘米③ 8厘米④ 12厘米 5．将一个圆形纸片对折3次打开，这个圆被折痕分割成（）个大小相等的扇形。 ① 16 ② 8 ③ 6 ④ 4 三、判断，你认为正确的在括号里打“√”，错误的打“×”。 1．一个圆的直径是这个圆的一条对称轴。（） 2．在同一个圆中，圆心到圆上任意一点的线段都是这个圆的半径。（） 3．两端都在圆上的所有线段，直径最长。（） 4．一个圆中两条不同对称轴的交点就是这个圆的圆心。（） 5．所有圆的直径都是相等的。（） 6．如果几个圆的半径相等，那么这几个圆的大小也都相等。（） 7．两条半径就是一条直径.（） 8．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（） 9.半圆有无数对称轴。（） 10.画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径。（） 四.按要求画图。 1．在下面的圆上画出1条半径，1条直径，并用字母表示。测量这个圆的直径是（）毫米。 2．用圆规画圆。 （1）半径2厘米的圆。（2）直径3厘米的圆。 3．先画一个圆，再在圆中画出扇形并涂上色。 4.画出下面每个图形的两条对称轴。