关于湍流理论研究进展

关于湍流理论研究进展

摘要本文对近年来湍流理论在某些方面的研究进展作了概要介绍，对具有代表性的理论假设的思想方法，进行了扼要阐述，指出了相应的实用价值和局限性。

关键词湍流湍流统计理论混沌理论湍流拟序结构湍流剪切流动

1 无处不在的湍流现象

湍流是自然界中流体的一种最普遍的运动现象，它广泛的存在于我们生活周围。在大风吹过地面障碍物的旁边，在湍急的河水流过桥墩的后面，在烟囱中冒出的浓烟随风渐渐扩散等地方，都能观察到湍流运动现象。简单地说，湍流运动就是流体的一种看起来很不规则的运动。由于湍流现象广泛存在于自然界和工程技术的各个领域，因此湍流基础理论研究取得的进展就可能为经济建设和国防建设的广泛领域带来巨大的效益。例如，提高各种运输工具的速度以大量节约能源，提高各种流体机械的效益；改善大气和水体的环境质量，降低流体动力噪声，防止流体相互作用引发的结构振动乃至破坏；加强反应器内部物质的热交换与化学反应的速度等等。

然而像湍流这样，虽经包括许多著名科学家在内长达一个世纪多的顽强努力，正确反映客观规律的系统的湍流理论至今还没有建立，在整个科学研究史上也是不多见的。因此，可以说湍流是力学中没有解决的最困难的难题之一。因此，世界上许多国家一直坚持把湍流研究列为需要最优先发展的若干重大基础研究课题之一。

2 湍流理论的发展历史

湍流理论从它的思路来说大体可分为两类[1]。一类是先把流体动力学方程组平均以后，然后再设法使方程组封闭，求解后再和实验结果比较，看封闭办法是否正确。湍流中绝大部分理论是属于这一类型。另一类是先求解，取特殊模型，再引进平均，得到要求的物理量，和相应的实验结果进行比较。

2.1 Reynolds方程和混合长度理论

十九世纪70年代是Maxwell-Boltzmann分子运动理论取得辉煌成果的时代。它成功地解释了气体状态方程、气体粘性、气体热传导和气体扩散等一系列现象。湍流理论开始发展的时候，就受着这种思想支配。1877年T.V.Bonssinesq[2]又开始

用表观湍流（涡旋）粘性系数μT来表示湍流剪切应力τxy，即

式中ρ为流体密度，为湍流（涡旋）运动粘性系数，U为x方向平均速度。

1886年O.Reynolds把湍流运动分为平均运动和脉动运动两个部分，又引进了两种平均效应，一种是分子的平均效应，另一种是流体团的平均效应。分子平均效应产生压强和粘性应力，流体团平均效应产生表观的湍流雷诺应力。1894年他得到了著名的Reynolds方程

式中U i为平均速度，p为平均压强，u i为脉动速度，ρu i u j为Reynolds应力，ρμ分别为流体密度和粘性系数。压强可由状态方程给出，粘性应力可用平均流速梯度和粘性系数表示。Reynolds应力用什么来表示一直是一个很大的问题。由于Reynolds应力的引入使未知量增加了6个，使流体动力学方程组成为不封闭。这就是通常所说的湍流的不封闭困难。从1894年到本世纪30年代，很多人都从事过Reynolds应力用平均流速表示出来的工作。其中最有名的就是混合长度理论。它是分子运动理论表述粘性应力方法的直接移植。

1925年Prandt[3]参照分子自由程引入混合长度的概念来讨论单向沿管壁的流动，认为在该长度距离内，被运的动量是一个不变量，而表观剪应力由动量转移所确定，即扩散系数

l称为混合长度。l被认为和离开固壁的距离y成正比。而Karman则从湍流脉动的局部相似性出发，得到混合长度为

Prandtl的动量转移理论对平均流速分布问题与实验结果较好符合，但在理论上有

严重的不能自圆其说的地方。因为流体团在流体中运动是受压强作用的，而压强作用是会对流体团的动量产生改变作用的。因此G.I.Taylor在1932年提出了涡量转移理论，他认为在混合长度这段距离内，动量是在变化的，而是涡量才是一个不变的量。由此得到涡旋运动粘性系数v T和涡量扩散系数ε分别为

这样，不仅克服了理论上的缺陷，而且能同时成功的解释平均流速分布和湍流热扩散两种现象。

以后还有很多人对混合长度理论的表达式进行了修改，并且把它应用到许多具体问题上，例如尾流、射流等等，曾计算出许多湍流运动的流场和温度场[4]。在有些问题上动量转移理论较好，有些问题则涡量转移理论与实验更符合。对不同的具体问题，混合长度有不同的具体表达式。这就是通常把混合长度理论认为是半经验理论的原因。

在处理混合长度上曾经有过两种不同的观点。一种是Prandtl的观点，认为混合长度是一个区域性的性质；另一种是Karman的相似性观点，认为混合长度和某一点的局部性质有关。虽然在解决某些特殊问题时结果是相同的，但从概念来看却是完全不同的。从今天的实验结果来看，似乎Prandtl的观点更符合实际一些。

2.2 各向同性湍流的统计理论[1]

从上世纪30年代开始，随着热线风速仪等测量技术的发展，实现了对一点湍流脉动量和不同点上脉动量之间相互关联的测量。不同随机量之间的相互关联是统计学上常用的处理问题的方法，这就产生了湍流的统计理论。这种理论主要研究湍流脉动场的统计规律性和湍流运动的内部微结构。由于要避免平均剪切流动和湍流脉动相互交换能量以及湍流场各向异性和不均匀性等复杂性，G.1.Taylor 在1935年讨论了一个和静止气体分子运动论相当的流动状态，这就是均匀各向同性湍流。他在风洞中网格后面做了大致上和这种流劫状态相当的实验。讨论了湍流的关联函数，他令

式中u1为P点脉动速度，u1＇为P点脉动速度，f（r）为纵向关联函数，g（r）为横向关联函数，λ就是湍流的Taylor微尺度。它得到了湍流衰减定律

并且讨论了扩散等问题。

1938年和T.vonKarman和L.Howarth把笛卡尔张量引入不可压缩流体的均匀各向同性湍流理论，简化了G.L.Taylor的计算，并且得到了二元速度关联和三元速度关联的表达式及它们各自的分量之间的关系式

他们还得到了均匀各向同性湍流的动力学方程式，即通常所说的Karman -Howarth方程

把这个方程式对r展开，取第一项就就得到Taylor的湍流衰变定律。这个方程有两个未知量f和k，两个未知函数只有一个方程，当然不能把f和k都求出来，所以方程是不封闭的。和Reynolds方程一样，这个方程也是不能求解的。这些不封闭性的原因都来源于流体动力学方程的非线性。以后有很多人尝试引入某些假定来封闭这个方程并求解它，但都未能彻底解决这个问题。

1938年G.T.T.aylor引入一维湍谱。他把速度关联用Fourier变换变到

波数空间，得到一维湍谱函数E i（k i）:

他在这方面的开拓性工作最初也获得了实验的证明。到1948年W.heisenberg又把量子力学中常用的三维湍谱引入

式中

由于不可压缩流体的连续性条件，得到

和物理空间的Karman-Howarth方程相对应，得到了湍流空间相应的方程

式

子和的关系为

W.Heisenberg为了求解，用量刚分析方法求出涡旋粘性系数，最后得到的方程为

式中r为一个常数。Bass和Chandrasekhar曾进行求Heisenberg方程。Chandraseklar 求得与时间无关的准确解。这个解在，Reynolds数无穷大时趋近于，

E（k）～k-7，这也是Heisenberg最初用近似方程得到的。

2.3 具有剪应力的普通湍流理论

周培源教授在上世纪30年代初期就带领他的学生从事湍流理论研究工作[5]。在30年代末，他认识到Reynolds应力和物体几何形状等边界条件密切相关，要找出Reynolds应力和粘性应力相似不随边界形状改变的应力形变关系式是不可能的。因此他着重寻找Reynolds应力及关联函数所满足的方程[6-8]，希望能在解Reynolds应力的方程时，把边界等影响作为积分常数（也就是初始条件和边界条件）自然地考虑进去。1940年周培源教授从Navier-Stokes方程减去Reynolds方程，得到速度涨落方程

为Reynolds应力，π为压力涨落。再从速度涨落方程得到Reynolds应力方

程

及平均的三元涨落数度乘积方程

同样也可以得到相应的二元速度关联和三元速度关联方程，他把四元速度关联用二元速度关联表出并分别给出二元速度关联和三元速度关样及压力速度关联的表达式，就能得到封闭的方程组。对固体壁附近湍流和自由剪切湍流在各自的简化假定下曾得到不少和实验相符合的结果[9]。但这样做存在着关联系数表达式其有一定任意性的困难（这就是不同封闭方案的变形）。而且在电子计算机还没有发展的40 年代要严格求解这样多的方程是不可能的。近年来由于高速电子计算机的产生，很多复杂的计算工作可以通过机器来完成。周培源教授所做的理论研究又被重新提了出来，并受到国际上很大的重视。

2.4 最近的湍流统计理论

2.4.1 E.Hopf理论[10]

1952年以研究遍历理论著名的概率论和数理统计学家E.Hopf根据湍流脉动场的随机性质，引进脉动速度场的分布泛函。然后从Navier-Stokes方程和连续方程，推导得到了一个对特征泛函数为线性的积分微分方程。由于对这个方程求解遇到很大困难，以后一直没有取得什么进展。

2.4.2 R.H.Kraichnan直接相互作用理论

1958年R.H.Kracichnan[11] 把外力作用下的Navier-Stokes方程经过Fourier变

换，求得小扰动下Green函数所满足的方程。然后再把速度和Green函数用小参数展开，它的实质相应于用Reynolds数展开.再加上准Gauss分布的假定，把四阶矩用二阶矩乘积代入，经过复杂钓计算以后，再把Green函数和关联函数的零级近似用Green函数和关联函数本身代替，于是得到两个联立方程。

2.4.3 Lewis等人的分子运动理论

日本的Tsuge [12]和美国的Lewis[13]等人从气体分子运动论的观点出发，在微观领域内发展了Reynolds两种平均的理论。他们引入了超系综（Superensemble）和次系统（Subensemble）两种平均来对应于Reynolds 的分子平均和湍流平均，这两种平均无疑是完全必要的。因为脉动速度等脉动量都是宏观可观察量，因此决不能仅由一种分子平均来代替。同时他们减弱了混乱假定，推导出广义Boltzmann方程。通过平均得到了连续方程，平均运动方程，二阶矩方程、三阶矩方程等等。和一般湍流理论一样，方程组是不封闭的。要使方程组封闭，仍然要引进封闭性条件。从理论的角度来说，减弱混乱假定实际上是可有可无的。因为只要引进超系综平均和次系综平均，出现Reynolds应力等物理量是必然的，与混乱假定毫不相干。而且混乱假定只能减弱到一定程度，否则温度、压强等物理量都将毫无意义。理论中用Hermite多项式来展开指数函数，这是一种收敛得比较快的展开式，但仅取少数几项恐怕过于粗糙。而这个理论发展到今天，虽然式子极为复杂，在引进封闭性假定以后，也还只能得到众所周知均匀各向同性湍流后期衰变情形的解。而要解决方程不封闭性问题，必须消除以往取统计平均中的不确定性。但怎样来消除不确定性? 从现在看来还无从下手。

2.4.4 Meecham 理论[14]

1968年Meecham等人提出用30年代Wiener用于研究噪声非线性过滤所用过的Wiener-Hermite泛函展开方法到湍流问题上来。这种方法最初用在增量独立平稳正态的随机过程（Wiener过程）。这方法的基本思想是把脉动速度这种随机场用一组互相正交的理想随机函数作为它的基，展开成无穷级数。这种理想随机函数是由白噪声函数的Hermite多项式组成的。然后根据Navier-Stokes方程和连续方程得到这个无穷级数的系数所满足的一组积分微分方程。问题的关键是确定这系数。最后利用统计平均的方法找出相应的关联函数和能谱函数。由于这种方法要求解更复杂的积分微分方程和作更多的人为假定。因而至今没有得到什么满意的

结果。

2.4.5 S.Grossmann重正化群法

1975年S.Grossmann [15]把湍流运动看作类似二级相变的过程。他引入场ψ代替湍流场，并且引入四点相互作用，然后用类似处理相变指数的重正化群办法来得到Komoropob-5/3次定律。并且接着又进一步推广这个方法去计算指数和-5/3的偏离。由于两种现象物理本质是不同的，所以能否进一步做下去还是一个疑问。

2.4.6 陈善谟统计动力学重复级串法

最近陈善谟[16]从统计动力学的方法出发和Kraichnan一样引入了传播子的概念，利用重复级串法求出了相应于Heisenberg的涡旋粘性系数的表达式。这样二元湍谱方程就变成封闭可解。并且利用Plank方程得到随机性很强时的传播子表达式。他除了得到Komoropob-5/3次定律以外，还得到有速度梯度时的k-3和k-1定律。这些定律都是在大气和海洋中被观察到的。但他没有得出湍能衰变律，同时也不能得到整个湍谱，这就不能求出相应的Reybolds应力等物理量。所以离开应用到实际剪切流动问题中去还有一段距离。

2.4.7 混沌理论[17]

拟序（或相干）结构对认识湍流的重要性愈来愈受到人们的关注。如剪切湍流的扩散和发展，不仅仅是小尺度随机扩散的结果，更主要是由大尺度拟序结构的相干干涉、卷并造成的。数值模拟发现，对充分发展的湍流仍有涡管状的拟序结构，但还没有被实验证实。湍流并非是一个真正的随机系统。

湍流的数学描述是一个无穷维的动力系统，是无穷维的混沌。混沌理论告诉我们，在确定性的非线性动力系统中可以同时存在规则的有序结构和不规则的混沌状态，而且它们有时往往是相互交织在一起不可分割的，都是受系统本身的同一种非线性规律支配，在没有系统外部任何影响时也会出现。湍流是典型的耗散系统，它通往混沌的道路除周期迭加和间隙外，还有其它途径。Frisch等认为，湍流间隙可用强度变化的一些特定项表示，这些项包含于有分数维的内波集上。

间隙、湍流斑这些拟序结构表现出统计意义上的自相似性。分形理论指出，简单图形的变换会形成和原始图形性质截然不同的结果并表现出两者之间的自相似性。分形在湍流中有广泛的应用，随机分形的生长能类比于湍流的拟序结构，这要用计算机来模拟，Frisch等作了大量的工作但远不能模拟出真实的湍流来。

耗散系统的奇怪吸引子对初始条件有非常敏感的依赖性，且它的功率谱是一个宽谱，表明系统中已被激发出无穷多个特征频率。湍流系统中存在马蹄，马蹄的存在意味着双曲不动点的存在，意即存在不稳定流形。此外耗散系统中的奇怪吸引子有非常奇特的拓扑结构和几何结构—具有无穷多层次的自相似结构的为非整数几何维数的一个集合。简单耗散系统中的逻辑梯阶映射显现的混沌呈现出规则有时是无序的倒分叉现象、窗口现象和间隙现象的特征。

采用计算机模拟混沌时首先要构造模型，如CML模型，对湍流而言，更有用的是CCM模型混沌的理论分析困难较大，在湍流中都是针对一些具体问题作出的。这一方面是由于湍流实验专家还对实验中所观察到的现象是否是真正的混沌意见并未统一，另一方面对认为是混沌现象的实验研究还很困难。重要的是，混沌机理并未完全探明而是刚刚起步。用混沌模拟湍流，或者说，研究湍流中的混沌现象，还处于积累经验的时期。有人乐观估计，混沌理论的重大突破性进展可导致湍流问题的根本性解决。

2.4.8 流动稳定性理论

流动稳定性虽然有广泛的应用于工程技术的价值，但仍主要是探索层流向湍流转捩的机理。具体作法是在原流动中叠加一扰动，判别扰动随时空的演化，据以说明稳定和不稳定性。当为不稳定性时找到失稳的临界雷诺数和其它控制参数。对于平行流的稳定性分析主要采用线性理论和非线性理论。在非线性理论中若设扰动是二维的，又可分为朗道法、能量法、形状假定理论、弱非线性理论和分叉理论。如果假设扰动是三维的，又可分为二次失稳理论、共振三波理论、一般共振理论和直接共振理论。

具体应用分叉理论时要处理的问题主要有：①找出对应于分叉点的临界参数值；②找出该参数值在临界值附近的分叉解；③判明新分叉解的稳定性。常见的分叉主要有: ①对称鞍结点分叉；②鞍结点分叉；③跨临界分叉；④滞后分叉；

⑤Hopf分叉；⑥周期倍分叉；⑦同宿或异宿分叉。在用计算机计算时问题转化为：①如何实现对解曲线的追踪；②怎样判断与搜索奇异点；③计算分叉点处的分叉方向，实现对分叉后解曲线的追踪。上述表述可以采用矢量场、流形的几何观点，把非线性代数方程组的解流形与相应矢量场的不变流形联系起来，叙述可简洁明了。

稳定性理论成功的一个例子是解释湍流边界层底层低速条纹产生的机理。和实验相当吻合在湍流控制中，稳定性理论获得了非常广泛的应用。

3 湍流拟序结构的模拟

60年代后期，湍流实验研究中的一个主要进展是湍流剪切流动中拟序结构的发现。特别是大尺度的间歇现象与周期性的猝发过程的发现。它们大大改变了我们过去对湍流性质的看法和认识。目前一般认为在湍流剪切流动中存在着有序的大尺度旋涡结构和无序的小尺度脉动结构，而湍流的不规则运动无论在空间和时间上都是一种局部现象。

弄清楚湍流剪切流动中的拟序结构，对于了解湍流的发生机理、发展过程、动量与能量的传递规律，以及建立更好的瑞流理论模型，均具有十分重要的意义。

目前世界上有不少流体力学实验工作者都在从事这方面的工作。一般说来他们所采用的实验方法有两种：一种是流动观察，另一种是速度测量。前者的优点是方法简单，形象生动，能纵览全流场情况；后者的优点是能获得定量的实验数据。二者相辅相成，缺一不可。如果前者提供骨架而后者附之以肌肉，则拟序结构的奥秘可以迎刃而解。

通常将湍流剪切流动分为壁湍流剪切流动与自由湍流剪切流动两类。前者系指流经固壁（包括平板）圆管，槽道等的湍流边界层流动，而后者系指湍流射流、尾流写混合层等流动。关于湍流剪切流动拟序结构的一般性质的描述都是最先从壁湍流并始的，以后逐渐发展至对自由湍流的研究。

3.1 壁湍流剪切流动

60年代后期，美国斯坦福大学的Kline[18]等分别用流动观察的方法研究壁湍流时拟序结构。尽管他们对间歇现等和碎发过程的阶段划分和命名有所不同，但所观察到的现象基本上是一致的。目前一般认为流经平板壁面的湍流边界层，按其特性可分为三个区，即近壁区（0?y+<100），外区（100

通过这些研究，对壁湍流剪切流动中的各杯拟序结构已经获得于粗略的图象和大致的了解。但对它们的更精确的物理图象和各拟序结构之间的相互关系，各

研究人员仍持有不同的看法；例如为了解释猝发现象，有人认为近壁区内的漩涡是马蹄形的，另一些人认为是反向旋转的漩涡对，又有一些人认为是发夹形漩涡或“波”的破裂等。考虑到前面的观察都是二维的、而湍流是一种三维现象。缺乏完整的三维拟序结构图象，可能是对湍流结构特性产生不同解释的原因。

Praturi与Brodkey[19]根据他们观察访结果提出一个比较明确的拟序结构模型。首先，他们强调在不同的特性区与不同的事件之间没有明显的分界线。各区域与各事件的运动特性代表它们的特殊性。自由来流中湍流度不同引起流动事件大小、位向、速度与强度的不同，但事件的基本性质并不改变。

其次，他们把平板边界层内拟序结构的发展大致分为五个阶段。总的来说，这一模型与其他作者提出的模型有两个主要不同之点: 第一，Praturi与Brokey

认为边界层外区内的横向旋涡运动引起了揣流/非湍流界面上凸块的出现和产生了支配近壁区内活动（如喷射与轴向旋涡运动）所需的条件，而以前很多作者则认为来至近壁区并含有足够能量的喷射（或猝发），当其走向边界层外区时即在湍流/非湍流界面上产生凸块，第二，Praturi与Brokey认为近壁区内旋涡运动是从边界外区进来的高速流体与近壁区内向外流的低流体之间相互作用的结果，而其他作者制对近壁区内的旋涡运动提出各种不同的模型，包括含有反向旋转的旋涡对，正是由于它们的存在，使得界于旋涡对之间的流体向外流出。

3.2 自由湍流剪切流动

为了研究方便，通常将一自由剪切湍流划分为层流区、过渡（或发展）区和完全发展湍流区。

目前对平面混合层的拟序结构问题还存在一些不同的着法。过去公认的说法是：在很小的雷诺数下（特征长度是混合层的局部厚度），初始混合层为平面涡层，它对二维（或轴对称）扰动是不稳定的，于是这些扰动逐渐增长并出现一次或多次成对的旋涡，随之流动具有一定的三维性，相当长时间以后，流动达到一与雷诺数无关的自保持和完全湍流状态，这时湍沐混合层中的大旋涡已成为完全三维的。而后来Brown与Roshk o[20]等对二平行流的混合层进行了仔细的流动观察，他们发现由于Kelvin-Helmhotz不稳定性，平面涡层迅速地出现拟序的二维旋涡，以后通过并合过程，它们逐渐增长。但令人迷惑不解的是，在整个观察范围内（包括并合过程和后来的发展），旋涡都基本上保持为三维的。最近Chandruda

等进一步做了流动观察试验，并综合上述两种看法，提出只有当低湍流度自由来流和开始混合处为层流边界层时才能出现拟序的二维旋涡结构，如果自由来流的扰动相当大（包括混合层挟带周围空气），由于旋涡成对过程对小的三维扰动也是很敏感的，于是在过渡的早期阶段，即使旋祸本身的尺度仍很小时，旋涡结构就成为三维的了。这样Brown与Roshko所观察到的二维漩涡结构在实际中很少出现，而湍流混合层中的大尺度漩涡虽然拟序性要差一些，但完全为三维的。漩涡的三维问题是一个非常重要的问题，因为它是漩涡能级扩展得到发展的先决条件，它也能将湍流区与准二维随机流动分别开来。

4 小结

尽管湍流研究相当困难，但是仍然有大量的国内外学者致力于这一领域的理论工作。目前随着计算机应用技术的飞速发展和测量手段的不断丰富，湍流的精细实验正在进一步地展开，它对深入认识湍流的物理本质至关重要；相关学科的发展也推动了湍流的研究，如非线性科学的发展、小波理论的应用和重化群理论的开拓等等均在湍流研究中得到应用；另一方面如何从湍流这一复杂的现象找到简单的规律则需要新型的思维方式。如最近的湍流标度的研究，找到了湍流层级结构的自相似律，从而推动了湍流的研究；从工程应用的角度来看，各种工程化的湍流模型正在进一步的完善，在为工程应用服务的同时，对湍流的机理研究亦有一定的推动作用。总之，随着实验技术、数学理论、数值方法及计算机技术的不断发展，湍流研究将一定得以进一步的深入，可以预言21世纪将是解决湍流这100年难题的世纪。

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