空间解析几何例题

第4章向量代数与空间解析几何习题解答

习题4.1

一、计算题与证明题

1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a

2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?．解：3cos ||=?=?θb a b a （1）

4sin ||=?=?θb a b a （2）

()2

22)1(+得()252

=?b a

所以 5=?b a

3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=AB

力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?=

j i k

j i 41614321

2523253315

32312-+=--+-----=---=

所以，力矩的大小为

()136416142

22=-++=M

4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a

, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a

则325=-+=?z y x x a （1）

又x 与a 共线，则0=?a x 即

()()()0

52525121252

51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k

y x j y x i z y z y

x k

j i

所以

()()()052522

22=-+++--y x x z z y

即010*********

=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π

()

25110cos 2

?++=

-++?++?=

=z y x z y x a

整理得 10

++z y x （3）联立()()()321、、

解出向量x 的坐标为??

??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平

分, 则该四边形为平行四边形．

证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，则有

MA CN ND BM ==,

由矢量合成的三角形法则有MA BM BA +=

MA BM BM MA MD CM CD +=+=+=

所以CD BA =

即BA 平行且等于CD

四边形ABCD 是平行四边形

6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B

AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得

()()()()()()2222

22321783++-++=

-+-+-z y x z y x

化简得027532=-++z y x

这就是线段AB 的中垂面的方程。

7．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为

)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．

解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=?+?+?=?b a 则21

cos r

b a b a =??=

θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,

则11

cos 0112=?

?=?=+=?+?+?=?r

r r b a y x z y x c a ? （1） 11

cos 1102=?

?=?=+=?+?+?=?r

r r c b z y z y x c b ? （2） 2011222222=++==++=r z y x c

所以22

=++z y x （3）

联立（1）、（2）、(3)求出?????===101z y x 或??

???-==-=313431z y x

所以向量c 的坐标为()1,0,1或??? ?

?--

31,34,31 8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)

求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ?的面积．

(4) 求点A 到平面BCD 的距离．

解：因为()103，，

A ，()1,4,2-

B ,()3,2,0-

C ,()3,0,2--

D 所以()0,10,1--=AB

()2,8,3--= ()4,6,5---=AD

（1）()

AD AC AB ,,是以它们为邻边的平行六面体的体积

()176121200010034

283

101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积

1766161=

?==V V T （3）因为()222，，-=BC ，()444--=，，BD

k j i k

j i

BD BC 016164

4422

2+--=---=?

所以()()21616162

2=-+-=?BD BC ，这是平行四边形BCED 的面积

因此S S BCD 21=

?□BCED 282162

=?= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积

H S V BCD T ?=?3

所以221121128388

33==?

?BCD

T S V H 习题4.2

一、计算题与证明题

1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为

0=++D Cz Ax (1)

把点()123，，

A 和点()321--，，

B 代入上式得 03=++D

C A (2)

03=+--D C A (3)

由（2），（3）得2D A -=,2

C =

代入（1）得02

2=++

-D z D

x D 消去D 得所求的平面方程为

02=--z x

2．求到两平面0623:=-+-z y x α和11

52:=+-+z

y x β距离相等的点的轨迹方程．

解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得

()()

()

102510

10252

13623-++-+-+-=

+-+-+-z y x z y z

所以()101025129

14623+-+-±

=-+-z y x z y x

3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．

解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为

1562=++-k

z k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有

()

1206

515302

=++--k

求出2864±=k

所以，所求平面方程为028********=±++-z y x

4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为

()()()0125524=----+z y x

整理得所求平面方程为035254=+--z y x

5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．

解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得

066212=--m m

求出19

6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高．

解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则

()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA

为邻边构成的平行六面体的体积为

()

450

702,,-------==V

()[]80700090++--++-=

()87090-+-=

28=

由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为

286161=?==-V V ABC D

设D 到平面ABC 的高为H

则有 ABC ABC D S H V ?-?=3

所以 ABC

ABC

D S V H ?-=3

又()()2,1,0,3,5,2-==AC AB

k j i k

j i 2472

2++=--=?

所以，692124721222=++==

?S ABC 因此，6969286928692

13143==?

=H 7．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．

解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，

，由点到平面的距离公式，得

()()

77241472

=-+-++-z

所以69147±=+-z 则692±=z

那么A 点的坐标为()

692,0,0±A

8．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()z ,0,0，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得()()()2

2693120+-+-=

-+-+z z

化简得022974402

=+-z z

因为()031164229404742

<-=??--

方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

习题4.3

一计算题与证明题

1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0

11+=

-=z y x 都平行的平面的方程．

解：两已知直线的方向矢分别为()()011011

21，，，，，-==v v ，平面与直线平行，则平面的法矢()C B A a ，，=与直线垂直

由a ⊥1v ，有00=++B A （1）由a ⊥2v ，有00=--B A （2）联立（1），（2）求得0,0==B A ,只有0≠C

又因为平面经过点()021，，

-P ，代入平面一般方程得 ()00C 2010=+?+-?+?D

所以0=D

故所求平面方程0=Cz ，即0=z ，也就是xoy 平面。 2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线1

2341z

y x =--=-相交的直线的方程．

解：设所求直线的方向矢为()p n m v ，，=，直线与平面0123=-+z x 平行，则v ⊥n ，有

023=+-p n m （1）

直线与直线

2341z

y x =--=-相交，即共面则有02

003111

=+---p n m

所以01287=+--n m （2）

由（1），（2）得

7137123212821---=

-=--p

n m ，即31504-=-=p n m 取4=m ，50-=n ，31-=p ，得求作的直线方程为

312

5041-+=

-=-z y x 3．求通过点)0,0,0(A )与直线1

1423-=

+=-z y x 的平面的方程．解：设通过点)0,0,0(A 的平面方程为0)0()0()0(=-+-+-z C y B x A 即 0=++Cz By Ax (1)

又直线

1423-=

+=-z y x 在平面上，则直线的方向矢v 与平面法矢n 垂直所以 02=++C B A (2)

直线上的点()4,4,3-也在该平面上，则

0443=+-C B A （3）

由（1），（2），（3）得知，将C B A ,,作为未知数，有非零解的充要条件为

4311

x =-z y