“薛定谔方程”—量子力学之魂课程论文

课程论文

课程名称

量子力学论文题目

“薛定谔方程”—量子力学之魂学院

数理与信息工程学院专业

物理作者

戎杰（08180124）魏迪庆（08180231）任课教师

高先龙日期

2010.11.20 成绩

摘要本文，我们由薛定谔方程展开去，从三个维度介绍了量子力学和经典力学的区别，对薛定谔方程的产生和发展历史进行了系统、详尽的综述。进一步深入讨论，首先，我们纠正了关于定态薛定谔方程的一种认识误区，即哈密顿量不显含时间t时，薛定谔方程的解并非都是定态解，只有那些对应哈密顿量本征函数的解才是定态解，非哈密顿量本征函数对应的解，则为非定态解；再者，我们阐述了一种求解给定势函数的薛定谔方程束缚态解的新方法，即把给定势函数的薛定谔方程变换成黎卡提方程（Riccati equation）来求解；最后，我们了解了薛定谔在构建薛定谔方程的过程中产生的思维跃进，薛定谔引发的这一系列思维变革，带给我们强烈的思维冲击和思维启迪，同时也促使我们更加深刻地认识到，在今后的学习过程中，我们要注重强调发展个体的联想思维和发散性思维，而不应当单单执着于方法和技巧。

方法，是暂时而局限的；而思维，是永恒而无限的。

关键词：薛定谔方程、定态、黎卡提方程、思维变革

引言

1900年，英国的大科学家开尔文在回望自牛顿以来的物理学成就时，认为经典物理学的大厦已经完工，剩下的无非是修修补补的零活。十九世纪末期，正当和开尔文一样的众多物理学界大师都认为物理大厦已经竣工的时候，无数

个晴天霹雳接踵而至——黑体辐射、卢瑟福的散射实

验、光电效应等等，顿时让经典物理陷入一片茫然，

不知所措。正是这些问题，引发了量子力学的诞生，

开启了量子力学的大幕。一位位物理巨擘像雅典卫城

帕台农神庙的石柱支撑起了现代物理学的大厦。在大

厦的根基处，是两块巨石，一块是相对论，一块是量

子力学。相对论的历史是以爱因斯坦为核心的，尤其

薛定谔

在与广义相对论厮杀的战场上，他是笑傲群雄的孤胆

英雄。量子力学则色彩斑斓、风云际会、大师云集，普朗克、爱因斯坦、玻尔、玻恩、海森堡、狄拉克、薛定谔、德布罗意、泡利等是量子宇宙中灼灼生辉的头等亮星。

量子力学诞生和发展的过程，是充满着矛盾和斗争的过程。一方面，新现象的发现暴露了微观过程内部的矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想、新的理论；另

一方面，一些对突破经典物理学的限制有过贡献的人，他们的思想不能随变化了的客观情况而前进，不愿承认经典物理理论的局限性，总是企图把新发现的现象、新思想、新理论纳入经典物理理论的框架之中。

但是，这种种的发现，真的能完全纳入到牛顿经典力学体系中去么？我想，历史是不会同意的。

正文

一、量子力学与经典力学的区别

首先，深入学习了量子力学之后，对于上面这个问题，我觉得有必要阐述量子力学与经典力学的区别。1

1.1运动状态的描述

经典力学中，质点的运动状态由坐标→r 与动量→p （或速度→

v ）描述，场的运动状态由电场强度t),r (E →→与磁感应强度t),r ( B →→描述。在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量，而且都是一些实验可以测得的量，即在理论上，这些量都是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以用来验证理论的正确与否。量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数）（t r ,→→ψ描述。但波函数）（t r ,→

→ψ却不是实

验直接可测的，即在量子力学中，运动状态的描述与实验直接测量量的表述是割裂的。量子力学中，态函数）（t r ,→

→ψ一般是一个复数，是一个理论工具。虽然实验上仍可直接测量量子

系统中粒子的坐标、动量以及场的强度，但它们并不直接代表量子态。

1.2状态量的描述经典力学中，描述质点运动状态的状态量为坐标）

（t →r 和动量）（t →p ，且任意时刻t ，质点有确定的坐标→r 与动量→

p 。量子力学中，微观粒子的运动状态，由状态量）（t r ,→→ψ描述，而t 时刻粒子出现在→r 点

的几率密度则用它的模方来表示，因此我们说量子力学是一种统计性理论。但这种统计性理论又有别于经典统计物理中的理论。经典统计物理中，讨论几率是因为所研究的大数粒子系统无法用运动方程详尽求解系统的运动，更无法规定解运动方程所必须的初始条件。然而，

1 梁辉. 从薛定谔方程谈量子力学与经典物理的区别[J]. 安徽技术师范学院学报, 2003,17(1)

量子力学中出现的几率则具有更基本的性质，即微观粒子（无论是单粒子还是多粒子）的基本运动规律，这是统计性而非决定性的。这就是量子力学对状态量的解释。

1.3力学量的描述

经典力学中，质点的力学量均可表述为坐标→r 与动量→p 的函数，因此→r 与→p 提供了质点的一切力学信息，力学量之间的运算满足代数运算规则。

量子力学中，微观粒子的力学量，则表达为抽象的算符，且算符间的代数运算规则遵循乘法不可交换的法则，与一般的代数运算有着本质的区别。具体讲来，在量子力学中，凡有经典对应的力学量，其算符的构成是将经典表达式中的→r 换成→∧r ，→

p 换成?- i ；凡有经典对应的力学量间的对易式，均可由坐标和动量间的对易式导出，而这在经典物理中恒为0。

当然，这一切的一切，当普朗克常量0→ 时，量子力学就将很自然地过渡到经典物理。

二、薛定谔方程的产生2

其实，量子与经典没有很刻意的联系，只是在某种极限情况下，量子力学可以自然地过渡到经典力学，我想，这可能也是自然的一种造化使然吧。但是，在一种“漫天迷雾”的背景下，量子力学的产生无疑是充满神奇色彩的。那也要归功于薛定谔、爱因斯坦、海森堡等等这些旷世奇才做出的巨大贡献。那么，其实我觉得，薛定谔方程，应该就是这个传奇色彩中最浓重、最亮丽的一道风景吧。

随着量子力学的蓬勃发展，种种理论层出不穷。但其根源都是围绕以下五个基本假设来做文章的。

首先，微观体系的量子状态用波函数来表示。这种描述状态的方式与经典力学完全不同，波函数在量子力学中具有十分重要的意义。

其次，态（即波函数）的叠加原理，说明了波函数有可加性。

第三，在量子力学中，力学量用线性厄米算符来表示。算符是一种特殊的数学工具，对波函数进行作用。

再次，通过薛定谔方程来得知波函数如何随时间演化，以及在各种具体情况下找出描述体系的各种可能的波函数。薛定谔方程的出现，就是为了解决量子力学中最核心的问题，地位与经典物理中的牛顿运动定律中的运动方程与麦克斯韦方程组相当。

2 郭红石坤泉. 波函数与薛定谔方程[J]. 高等函授学报, 2000.12 13卷6期

最后，全同性原理指明，微观粒子具有不可区分性，这是特有属性——在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互交换后，不引起物理状态的改变。

以上，也是量子力学的五个基本假设——量子力学的精髓。而量子力学精髓中的精髓，非薛定谔方程莫属。薛定谔方程的出现，为大多数问题的解决提供了一个非常有可信度的渠道。薛定谔方程的由来源于德布罗意一个惊人的假设：任何实物粒子都具有波粒二象性。由于电子也有这种性质。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与函数。1927年，戴维逊和革末将缓缓移动的电子射击于镍晶体标靶。之后，通过测量反射的强度，侦测结果与X 射线根据布拉格定律计算的衍射图案相同。该实验彻底证明了德布罗意的假说的正确性。

既然粒子具有波粒二象性，定会有一个反映这特性的波动方程。在哈密顿先前的研究中，薛定谔觉察到在牛顿力学与光学之间有一种类似：在零波长极限，光学系统类似于力学系统。也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵循最小作用量原理。哈密顿认为在零波长极限的情况下，波传播会变成明确的运动。薛定谔通过设计计算氢原子谱线的实验方案，得到了与用波尔模型计算出的能级相同的答案，验证了哈密顿猜想的正确性。

薛定谔方程的提出，是量子力学一个重大发现，为波函数的演化提供了可靠的依据。通过利用相对论的能量动量关系式和相对论性方程（也称克莱因-高登方程），薛定谔找到了电子在库伦势内的量子行为，算出了这个方程的定态波函数。薛定谔方程很好地解释了

?的行为，但却解释不出?的意义。薛定谔曾尝试解释?代表电荷的密度，但却与事实相违背。直到波恩提出概率幅的概念，才成功解释了?的物理意义。

如果假定微观粒子在势场()r U

中运动，按照经典粒子的能量关系式 )(22r U m p E += （1) 对上式中的算符进行如下替换则有：

?-=→??→ih p p r ih E ?, (2)

即得到薛定谔的波动方程：

),(),(222),(t r t r U m t r r ih ?????

?????+?-=?? (3)

三维薛定谔方程科普：批判之薛定谔的猫

。今日批判之薛定谔的猫。首先，我们来说说薛定谔的猫究竟是什么。在一个盒子里有一只猫，以及少量放射性物质。之后，有50%的概率放射性物质将会衰变并释放出毒气杀死这只猫，同时有50%的概率放射性物质不会衰变而猫将活下来。这是薛定谔的猫的实验过程。首先我们要明确的是，这是一个思想实验。和缸中之脑这些一样的。他的源头是爱因斯坦和薛定谔在关于量子力学不能给出描述量子的状态而只有概率。然后，他们将这种不确定性发大至宏观——那只猫。猫的死活代表了量子的两种被观测状态。波和粒子。所以有几个点要注意：第一，这不是真正实验。第二，猫的死活在猫看来本身是确定的，但对于外界观察者，是不确定的。但是，宏观状态下由于其波动性不明显，一般忽略。微观状态的薛定谔猫态是真实可测的。1996年5月，美国科罗拉多州博尔德的国家标准与技术研究所（NIST）的Monroe 等人用单个铍离子做成了“薛定谔的猫”并拍下了快照，发现铍离子在第一个空间位置上处于自旋向上的状态，而同时又在第二个空间位置上处于自旋向下的状态，而这两个状态相距80纳米之遥！（1纳米等于1毫微米）——这在原子尺度上是一个巨大的距离[3] 。想像这个铍离子是个通灵大师，他在纽约与喜马拉雅同时现身，一个他正从摩天楼顶往下跳伞；而另一个他则正爬上雪山之巅！——量子的这种“化身博士”特点，物理学上称“量子相干性”。摘自百度。但我的本质是批判。所以回到薛定谔猫上来。在很多书中有这样一个说法，当我们不观测月亮时，月亮就可能像波一样弥散。但是量子力学定律将月亮这种巨大质量的物体的波函数限制在很小的区域中，所以即使月亮弥散开去，弥散的程度人眼也不能看出来的。月亮不观测时不是不存在，量子态在观测时由于观测力的相互作用而使波函数坍塌为确定值，微观粒子整体呈现规律性，宏观尺度下观测力几乎对其不影响。第二批判。平行宇宙和薛定谔的猫。首先，平行宇宙的可能来自猫的又死又生的描述状态。也就是不可确定描述且同时存在。薛定谔的猫中的这种叠加状态，就好比平行宇宙与我们现在宇宙之间的状态，它们可能处于同一空间体系之中，但是却相互对立，永不相交。两种选择状态，在没有“观察者”的时候，就会“同时存在”，在我们的宏观世界中不明显，但是在微观世界的量子世界中，很多量子都存在着这种“叠加”的状态。但是这样的同时存在违反了人的常识。为了能够在一定程度上。较为合理地解释。于是平行宇宙概念就在某些不愿承认叠加态的人中提出了。如果存在平行宇宙，按照那些人的说法。每出现量子叠加态的时候就创造新的宇宙用来装下一种状态。那么，很明显违反了能量守恒定律。熵不能增加不能减少更不可能复制粘贴。第三批判。唯心和唯物与薛定谔的猫。（因涉及政治敏感，想和我一起讨论的建议私聊）。完。

浅谈薛定谔猫

浅谈薛定谔猫 0 引言薛定谔猫是1935年由著名的物理学家埃尔温·薛定谔提出的一个假想实验，通过这个实验对量子力学的概念提出了质疑。经典世界中的薛定谔猫是由大量微观粒子组成，那么它为什么没有波粒二象性的特征呢？量子力学的理论是否完备？本文以这些问题为基础，简述了薛定谔猫的发展过程。以此对量子力学有简单的理解。 1、薛定谔猫的由来 “——谁敢跟我提起薛定谔那只该死的猫，我就去拿枪！”这是斯蒂芬·霍金对薛定谔猫的评价。 1.1波粒二象性微观的粒子既有波动性又有粒子性，诸如电子，光子等微观粒子它们在同一个时刻既可以在这里也可以在那里，既是波又是粒子。它是波和粒子两象的矛盾统一。为了描述他们的状态，引入波函数来进行描述，微观粒子的波动显现是它运动的一种统计规律，因此称此波动为概率波或概率波幅。概率波幅是量子力学的最基本最重要的概念。量子力学的精妙就是引入概率波幅（量子态）的概念，微观世界的各种特性就源于此。量子力学完美的解释了微观世界的规律，但是在我们所生活的宏观世界我们似乎难以用量子力学的原理来解释。因为我们看不到这种量子态。用一个简单的对比来理解量子力学与宏观物理学的冲突：如果仅仅从量子力学原理再加上数学以及逻辑来看我们的地球时，能看到的是大量叠加的、同时发生的现象，这些现象是从远古的时代起就被许多小的量子事件累积而产生的。然而，我们现实中的地球随处可见的是一个个轮廓清晰而分明的物理实在。 1.2 薛定谔猫假想实验

能否将量子理论应用于宏观的世界？爱因斯坦为代表的一方认定量子力学不是完备的理论，“上帝是不会玩骰子的”;而以哥本哈根学派领袖波尔为代表的另一方认定量子理论是正确的。薛定谔也为此感到困惑，他质疑量子力学的哥本哈根学派的解释，于是他用一个假想的实验来检验理论隐含之处，1935年他发表了薛定谔猫佯缪的文章，薛定谔猫就此诞生。所谓的薛定谔猫假想实验：把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个装置，其中包含一个原子核和毒气设施。设想这个原子核有50%的可能性发生衰变。衰变时发射出一个粒子，这个粒子将会触发毒气设施，从而杀死这只猫。我们发现整个事件的波函数竟然表达出了活猫与死猫各半纠合在一起的状态。 2、薛定谔猫的诠释 2.1 哥本哈根诠释根据量子力学的原理，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，因此，那只可怜的猫就应该相应地处于‘死’和‘活’的叠加态。非死非活，又死又活，状态不确定，直到有人打开盒子观测它。看猫一眼才决定其生死，只有当你打开盒子的时候，迭加态突然结束（在数学术语就是“坍缩”）实验中的猫，可类比于微观世界的电子。在量子理论中，电子可以不处于一个固定的状态（0或1），而是同时处于两种状态的叠加（0和1）。如果把叠加态的概念用于猫的话，那就是说，处于叠加态的猫是半死不活、又死又活的。哥本哈根的几率诠释的优点是：只出现一个结果，这与我们观测到的结果相符合。但有一个大的问题：它要求波函数突然坍缩。但物理学中没有一个公式能够描述这种坍缩。

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依据）空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可

实验三定态薛定谔方程的矩阵解法

实验三定态薛定谔方程的矩阵解法一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。二．实验内容 1．问题描述以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-，其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>>

11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果程序设计：

大学物理-一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程的应用授课人：物理科学与技术学院

势阱日常生活中的各种井（阱）物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名水井窨井陷阱 U x O a U

() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型，应用定态薛定谔方程求解波函数，有利于进一步理解在微观系统中能量量子化和概率密度等概念这样的势能函数称为一维无限深势阱

建立定态薛定谔方程并求解假设微观粒子质量为，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )：令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=

利用标准条件确定和 k ?因在整个轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数一维无限深势阱中微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，

现代物理学七大经典问题薛定谔的猫

现代物理学七大经典问题:薛定谔的猫相对论相对论是物理学中两大著名理论之一，两者都是阿尔伯特·爱因斯坦提出的。1905年爱因斯坦出版了狭义相对论，后者确定最终宇宙速度极限：光速。并称时间因某物体移动的速度而实现加速或者减慢。 1916年爱因斯坦提出了更广阔的广义相对论。这个理论建立在狭义相对论之上，主要解决重力的问题，重新定义我们对重力的理解——通过大质量天体而造成的时空扭曲。广义相对论最准确的描述了整个宇宙中的星系和星系集群的运动。它还预测了奇怪物体的存在，比如黑洞以及引力透镜效应的现象，后者是指光在经过弯曲的时空中会发生弯曲。比如图中显示的星系群阿贝尔1689，因我们所观测到的引力透镜效应而闻名。什么是量子力学？量子力学是非常小的领域——亚原子粒子中的主要物理学理论。该理论形成于20世纪早期，彻底改变了科学家对物质组成成分的观点。在量子世界，粒子并非是台球，而是嗡嗡跳跃的概率云，它们并不只存在一个位置，也不会从点A通过一条单一路径到达点B。根据量子理论，粒子的行为常常像波，用于描述粒子行为的“波函数”预测一个粒子可能的特性，诸如它的位置和速度，而非实际的特性。物理学中有些怪异的想法，诸如纠缠和不确定性原理，就源于量子力学。什么是弦理论？弦理论（以及它的升级版超弦理论）认为所有的亚原子粒子都并非是小点，而是类似于橡皮筋的弦。粒子类型的唯一区别在于弦振动的频率差异。弦理论主要试图解决表面上的不兼容的两个主要物理学理论——量子力学和广义相对论——并欲创造的描述整个宇宙的“万物理论”。然而这项理论非常难测试，并需要对我们目前描绘的宇宙进行一些调整，也即宇宙一定存在比我们所知的四维空间更多的时空维度。科学家认为这些隐藏的维度可能卷起到非常小以至于我们没有发现它们。什么是奇点？奇点是指时空开始无限弯曲的那一个点。科学家认为奇点存在于黑洞中央，一个奇点可能自宇宙大爆炸起宇宙如何开始的起点。比如，在黑洞内部，所有恒星的质量都在狭小的空

薛定谔方程与提出背景

薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。(2) 假若，系统有个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，。其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。类似地，方程 (2) 变为

。历史背景与发展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信，薛定谔清楚地表明了这看法。含时薛定谔方程导引

量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)

量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解） 1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年） p h =λ 实验：黑体辐射 2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年） h E =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）

1、有限性： A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有 =?ψψτ* d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有 =? ψψτ* d 有限值全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续； 3、单值性：2 ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；

2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解） 1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则 2211ψψψC C += 也是体系的一个态。其中，1C 、2C 是任意复常数。 2、两种表象下的平面波的形式： A 、坐标表象中 r d e p r r p i 3/2/3)() 2(1)( ??=?πψ B 、动量表象中

p d e r p r p i 3/2/3)() 2(1)( ?-?=ψπ? 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell 速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年） 1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握） ψψH t i ?=?? 其中，V T H ???+=。 2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解） A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）

从宏观世界里的纠缠态说薛定谔的猫

日志复制网址隐藏签名档小字体上一篇下一篇返回日志列表从宏观世界里的纠缠态说薛定谔的猫编辑| 删除| 权限设置| 更多▼设置置顶推荐日志转到私密记事本安东发表于2009年06月17日16:28 阅读(13) 评论(2) 分类：物理学论文权限: 公开玻璃罩扣火车那个动画，大概意思是，一个火车亚光速行驶，被一个小玻璃罩扣住了。就是这个思想实验。我从这个实验，结合了薛定谔的猫。发现就纠缠态可以在现实世界里展示。说说看这有点意思。根据尺缩小应，趋于光速情况下，直径小于火车长度的玻璃罩，是可以一下在罩住火车的。有人把这个思想实验做成了一个动画演示，可惜这个演示被删除了。我简单说一下。假设，甲是站在地面上，操控玻璃罩的人。乙是火车上的观察者。甲垂直扣下玻璃罩，把火车扣住。因为是测量效应，同样可以扣住。测量起来尺度缩小了。就可以用一个玻璃罩去扣住。这个扣住实际还是测量。结果有一个悖论出现了。火车看玻璃罩也是更短小了。当地面上的A用玻璃罩垂直扣住火车的时候。火车上的那个B观测者，看到的并不是玻璃罩垂直扣下，而是远离自己的那一端先扣下了。等自己钻进玻璃罩发生一系列车祸了邻近自己的那一段玻璃罩才扣下。地面参照系的行为是垂直扣下了玻璃罩。但确实是罩住了。而火车上的观察者看到的是，先扣下了远离自己那一端的玻璃罩，而后才是邻近自己这一端的，如果车上有摄像机，完全可以拍摄下他们所看到的。现在，我引入一个悖论。我在玻璃罩的两端，也就是邻近火车的一段，和远离的一端，放上两个电源开关。设定火车是从左向右行驶的。于是，火车上的观察者看到的，就是先按下了右边的开关，而后按下了左边的开关。火车上的观察者看到的情景是，远离自己的一端的玻璃罩先放下了，于是触动了右边的开关。然后才是左边的开关。设定右边的开关是隔离薛定谔的猫，不让它受到毒气的伤害。设定左边的开关是释放毒气。可以瞬间毒死动物的氰化物。开关是薛定谔猫的一部分呼唤管理员大人把清净心的表述保存。这还真是纠缠了于是，火车上的人观测者看到的场面很人道主义。第一步按动了隔离开关，保护了猫。然后第二部释放了毒气，猫咪活着。以上，是人道主义的，不杀猫。好了。现在，让第二辆亚光速列车开始行驶，他的行驶方向是，从右边朝向左边开。实际上是同事按下的啊。你说的实际是说的地面上的参照系。只是火车上的人观测有前后啊。这个思想实验里，有三个参照系。分别是地面上的人。左边的火车和右边的火车。如果你仔细看我的描述，左边的火车上的摄像机，拍摄到的猫没有死亡的机会了。因为，猫是先被隔离了，然后释放了毒气。左边火车上的摄像机拍摄的过程顺序，先隔离了猫，而后释放了毒气，于是，猫没有死亡的机会。同理。右边的火车上的摄像机拍摄到的顺序是，先释放了毒气杀死了猫，而后隔离的是猫的尸体。最尴尬的就是地面参照系的观察者，他没有能力回答猫是不是死亡了。我们继续这个疯狂的思想实验吧。他要是继续拍摄是不是发现猫死了呢？假设，玻璃罩上有洞，不会发生车祸了，火车可以安全的通过。现在，停车了。左边的火车拍摄到的猫咪没有死亡。它得到了隔离，而后释放的毒气没能杀死它。右边的火车拍摄到的是猫咪被毒死了。而后隔离了它的尸体。整个过程可以从火车减速停下的过程中一直跟踪拍摄。物理必须是自洽的，所以，两个火车上的观测者都要有自己前后自洽的拍摄过程。摄像机是通过光来拍摄的，是需要时间的，开关到毒气释放也是需要时间

固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II

薛定谔方程应用举例II---原子系统
? 氢原子 ? 电子自旋 ? 多电子原子
1

氢原子的定态薛定谔方程
?原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。多粒子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量之和。
?氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密顿量可记作（绝热近似）：
H?
=
?
h2 2me
?2
+
qeU(r)
me为电子质量，qe是电子电荷。U(r)为原子核静电场中的库仑势，记作：
U(r) = ? Zqe = ? Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数，a1 = 4πε0?2/(meqe2) = 0.529?，为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2

??? ?
h2 2me
?2
?
Zh 2 a1meqer
??ψ
?
(r)
=
E
?ψ
(r)
中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：
? ?? ??
h2 2me
?
????
1 r2
? ?r
r2
? ?r
?
L?2 r2
???? ?
Zh2
?
?ψ (r,?,θ ) =
a1mer ??
E ?ψ (r,?,θ )
用分离变量法求解，令：
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ?Y (?,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(?,θ)。
3

§4.3薛定谔方程

§4.3 薛定谔方程在这一节，我们讨论态随时间变化的规律问题。大家知道，在经典力学中，当质点的初始状态为已知时，由其运动方程就可以知道以后任一时刻的运动状态。在量子力学中的情况也是这样的，即当粒子在初始时刻的态为已知时，在以后任一时刻的态也要由一个相应的方程来决定。所不同的是：在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度描写，质点的运动方程就是我们所熟知的牛顿运动方程。而在量子力学中，微观粒子的状态则用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是下面我们要建立的薛定谔方程。从物理上，这个方程式必须满足下述条件：一、在非相对论条件下，薛定谔方程应该满足的条件 1、在粒子的速度v c 时，质量为m 的粒子的总能量为：22p E U m =+ 2、方程是线性的由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。即如果1ψ和2ψ是方程的解，那么它们的线性迭加 1122c c ψ+ψ也是方程的解。 3、方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量、能量等。 4. 方程应当是波函数 (,)r t ψ 对时间的一阶微分方程因为我们所要建立的是波函数(,)r t ψ 随时间变化的运动方程，而波函数完全描述态，因此方程必须波函数 ),(t r ψ对时间的一阶微分方程。也就是说方程必然包含(,)r t t ?ψ? ，但方程不包含22 (,)r t t ?ψ? ，否则需要利用两个初始条件(,0)r ψ 和0(,)|t r t t =?ψ? 才能确定),(t r ψ，这就意味着体系的初始状态不能由波函数(,0)r ψ 完全描述，违反了波函数完全描述态体系运动状态的基本假设。二、自由粒子波函数所满足的微分方程下面，就以自由粒子为例，来建立满足上述条件的运动方程。自由粒子的波函数就是德布罗意平面波函数 ()()·,i p r Et r t Ae -ψ= （1）

薛定谔的猫高二精选作文1200字

薛定谔的猫高二精选作文1200字多年之后，我收到你给我发的ＱＱ消息：一张薛定谔的猫的图片。我知道，你想起了曾经的种种。我翻开皱巴巴的物理课本，打开第七十三页，是物理课本的课后阅读，里面有好多举世闻名的科学家，他们的名字被我用红色的碳素笔勾了起来，我把课本凑到了你的面前：“看，这些都是影响世界，改变世界的物理学家啊！” “是啊是啊，看你有崇高的理想，你以后也要改变世界啊？”她笑着，露出一口洁白的牙齿。 “你来看这个，薛定谔，特别有名的，你知道薛定谔的猫吗？” “不知道诶，那只猫怎么了，偷吃鱼了？” “额……都说女子无才即是德，我看你是具有大德的人啊”我紧接着说“来，我给你讲讲薛定谔的猫。咳咳，一只猫咪十分可怜，她被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，通过某种手段砸碎毒药瓶，放出有毒气体，猫必死无疑。但是在我们打开密室之前，这只猫既是死的，又是活的。” 她看着我，眨了眨眼，一言不发。 “什么乱七八糟的的。”她突然来了一句，“闲得无聊居然把这么心爱的猫咪整得又死又活的，好残忍啊！” “……”突然语塞，我说“这个不是重点，你知道吗，这个主要阐释的是量子叠加原理，其实，生和死就是一个整体，只不过这只猫

在这个时间和这个空间里是活的，或者是死的，也许在另一个平行宇宙，还有另一个状态的猫。” 她眨着亮晶晶的眼睛“哇，大科学家，你好厉害，这么神奇啊”她把脑袋凑了过来，“是不是像《大话西游》里的结局，至尊宝变成孙悟空之后，看到城墙上另一个至尊宝和紫霞仙子在楼上的剧情？” “也许……是吧”我被她的脑洞惊到了。 “哎，你说多可惜，他们最终没有在一起，就是因为齐天大圣和至尊宝相差了五百年”她叹气到。 “但是城墙上，两个人的拥抱也算是弥补了至尊宝心中的遗憾吧……”我说到。窗外袭来一阵暖风，令人心旷神怡。 “喂，大科学家，你说，假如真的有平行时空，在这个世界里的遗憾是不是在那个世界会得到弥补？”她望着远处的天空，眸子里多了一分忧伤。 “会的，但你在这个世界不要留下遗憾啊，哈哈……”我笑了起来，但是，人哪有没有遗憾的，就像是宋冬野唱的《安和桥》“我知道，这个世界，每天都有太多遗憾，所以你好，再见……” 她对我说“我觉得薛定谔骨子里会是个有情的诗人，要不怎么会有这么动人的思想？把思维超越空间，超越时间，超越生死。真的是令人心醉。” “所以今天我才要和你讲一讲啊。物理是极具美感的，你看看咱们做的电子偏转的习题，那图画出来是多么得美丽。”

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程一．定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。二．表达式三．定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法一．初值解法；欧拉法，龙格库塔法二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法（对欧拉法的完善）给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα

小议薛定谔的猫

1110700058 尹璐小议薛定谔的猫 ——《上帝掷骰子吗》《寻找薛定谔的猫》读书笔记关键词：薛定谔的猫波函数坍塌平行宇宙说量子效应波函数态叠加原理《上帝掷骰子吗》的解释 “好，哥本哈根派说，没有测量之前，一个粒子的状态模糊不清，处于各种可能性的混合叠加，是吧？比如一个放射性原子，它何时衰变是完全概率性的。只要没有观察，它便处于衰变/不衰变的叠加状态中，只有确实地测量了，它才随机选择一种状态而出现。好得很，那么让我们把这个原子放在一个不透明的箱子中让它保持这种叠加状态。现在薛定谔想象了一种结构巧妙的精密装置，每当原子衰变而放出一个中子，它就激发一连串连锁反应，最终结果是打破箱子里的一个毒气瓶，而同时在箱子里的还有一只可怜的猫。事情很明显：如果原子衰变了，那么毒气瓶就被打破，猫就被毒死。要是原子没有衰变，那么猫就好好地活着。自然的推论：当它们都被锁在箱子里时，因为我们没有观察，所以那个原子处在衰变/不衰变的叠加状态。因为原子的状态不确定，所以猫的状态也不确定，只有当我们打开箱子察看，事情才最终定论：要么猫四脚朝天躺在箱子里死掉了，要么它活蹦乱跳地“喵呜”直叫。问题是，当我们没有打开箱子之前，这只猫处在什么状态？似乎唯一的可能就是，它和我们的原子一样处在叠加态，这只猫当时陷于一种死/活的混合。现在就不光光是原子是否幽灵的问题了，现在猫也变成了幽灵。一只猫同时又是死的又是活的？它处在不死不活的叠加态？这未免和常识太过冲突，同时在生物学角度来讲也是奇谈怪论。如果打开箱子出来一只活猫，那么要是它能说话，它会不会描述那种死/活叠加的奇异感受？恐怕不太可能。” 《寻找薛定谔的猫》的解释 “在量子力学世界中，日常所见的熟悉的物理定律不再成立。取而代之的是，事件发生由几率决定。例如具有辐射性的原子可能衰变放出电子，也可能不。可以这样设计一个实验：具有辐射能力的物质具有的机会在某一特定时间内发生衰变。如果其衰变，就会被探测器记录下来。薛定谔也像爱因斯坦那样，被量子力学结果弄得心神不安，尝试着用一个假想的实验来检验理论隐含的晦涩之外。设想在一个封闭的房子中或匣子里，有一只活猫及一瓶毒药。当衰变发生时，药瓶被打破，猫将被毒死。在现实世界中，猫有不用看匣子，我们就会乐观地说，猫可能死了也可能还活着。但是我们遇到量子力学的奇异之处了。这理论说，这两种机会取决于辐射物质，因而对猫来说除非被观察到否则就没有真实性。原子可能衰变，也可能不；猫可能死，也可能活，除非我们向匣子中看，发生了什么。坚持量子力学直接解释的理论学者认为存在一个中间态，猫既不死也不活，直到进行观察看看发生了什么。除非进行观测，否则一切都不是真实的。这个观点对爱因斯坦和其他科学家来说无非是麻醉剂。” 我的理解埃尔文-薛定谔是物理学家，理论生物学家，同样也可能是“爱狗不爱猫”派。19世纪末20世纪初，科学家们创立了量子力学，认为一些粒子非常微小，以至于不可能在不影

薛定谔方程对氢原子的应用

（16.4.4）（16.4.5） (图16.4a )球极坐标薛定谔方程对氢原子的应用（一）氢原子的薛定谔方程前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与前一节有两点不同：（1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t ）应换成ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ,t ）,而22x ??应换成=??+??+??222222z y x ▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． ??????<<的薛定谔方程三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? （16.4.1）（2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能E p 表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下??，见〔附录16D 〕． ??????<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 22E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r ,t ）分离为空间部分u （r ）和时间部分f （t ），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E 〕． ψ（r ,t ）=u （r ）f （t ）， f （t ）=C /iEt e - （16.4.3） ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 22πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成E p =－e 2/4πε0r ．此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a ）,O 表氢核，e 表电子，r 为e 至O 的距离．θ为r 与z 轴的夹角，θ称天顶角或极角．?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角．故有 x=rsin θcos ?； y=rsin θsin ?； z=rcos θ （16.4.6）拉氏算符 2222222z y x ??+??+??=?改用球坐标（r,θ,?）表示如下：?? ()() 22222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版. ? 程守洙、江之永编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版. ? 周世勋编《量子力学》59—72页，1961年版.

薛定谔之猫

薛定谔之猫 “薛定谔之猫”又名“薛定谔的猫”，是关于量子理论的一个理想实验，薛定谔之猫的概念提出是为了解决爱因斯坦的相对论所带来的祖母悖论，即平行宇宙之说。背景什么是薛定谔猫？这要从头说起。薛定谔（E.Schr dinger ，1887—1961）是奥地利著名物理学家、量子力学的创始人之一，曾获1933年诺贝尔物理学奖，量子力学是描述原子、电子等微观粒子的理论，它所揭示的微观规律与日常生活中看到的宏观规律很不一样。处于所谓“叠加态”的微观粒子之状态是不确定的。例如，电子可以同时位于几个不同的地点，直到被观察测量（观测）时，才在某处出现。这种事如果发生在宏观世界的日常生活中，就好比：我在家中何处是不确定的，你看我一眼，我就突然现身于某处——客厅、餐厅、厨房、书房或卧室都有可能；在你看我之前，我像云雾般隐身在家中，穿墙透壁到处游荡。这种“魔术”别说常人认为荒谬，物理学家如薛定谔也想不通。于是薛定谔就编出了这个佯谬，以引起注意。果不其然！物理学家争论至今。实验内容把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个包含一个放射性原子核和一个装有有毒气体的容器的实验装置。设想这个放射性原子核在一个小时内有50%的可能性发生衰变。如果发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，从而杀死这只猫。根据量子力学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，但是，如果在一个小时后把盒子打开，实验者只能看到“衰变的原子核和死猫”或者“未衰变的原子核和活猫”两种情况。薛定谔在1935年发表了一篇论文，题为《量子力学的现状》，在论文的第5节，薛定谔描述了那个常被视为恶梦的猫实验：哥本哈根派说，没有测量之前，一个粒子的状态模糊不清，处于各种可能性的混合叠加。比如一个放射性原子，它何时衰变是完全概率性的。只要没有观察，它便处于衰变/不衰变的叠加状态中，只有确实地测量了，它才会随机的选择一种状态而出现。那么让我们把这个原子放在一个不透明的箱子中让它保持这种叠加状态。现在薛定谔想象了一种结构巧妙的精密装置，每当原子衰变而放出一个中子，它就激发一连串连锁反应，

薛定谔方程

薛定谔方程(Schr?dinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。目录 [隐藏] ? 1 含时薛定谔方程 ? 2 不含时薛定谔方程 ? 3 历史背景与发展 ? 4 含时薛定谔方程导引 o 4.1 启发式导引 ? 4.1.1 假设 ? 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数 o 4.2 薛定谔的导引 ? 5 特性 o 5.1 线性方程 ? 5.1.1 证明 o 5.2 实值的本征态 o 5.3 幺正性 ? 5.3.1 证明 o 5.4 完备基底 ? 6 相对论性薛定谔方程 ?7 解析方法 ?8 实例 o8.1 自由粒子 o8.2 一维谐振子 o8.3 球对称位势 ?8.3.1 角部分解答

求解非线性薛定谔方程的一类数值解法

求解非线性薛定谔方程的一类数值解法张艳敏,刘明鼎 (青岛理工大学琴岛学院,山东青岛266106) 摘要:利用非标准有限差分方法构造了求解非线性薛定谔方程的两个非标准有限差分格式。对于离散后的差分格式,把关于时间和空间的步长函数作为分母逼近导数项。对于非线性项,通过非局部的离散方法计算了这两个非标准有限差分格式的局部截断误差。数值实验结果验证了非标准有限差分格式的有效性。关键词:非线性薛定谔方程;局部截断误差;数值解法中图分类号:O241.82 文献标识码:A 文章编号:2095-7726(2019)03-0008-03 薛定谔方程是物理学中量子力学的一个重要方程,可以用于研究深水波浪理论。柱(球)非线性薛定谔方程常用于描述单色波的一维自调适、光学的自陷现象、固体中的热脉冲传播和等离子体中的Langnui 波[1–5],因此对于此类方程的研究具有非常重要的意义。薛定谔方程有线性和非线性两种,在本文中,我们研究的是非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程解的解析表达式是很难得到的,因此求解此类方程最常用的就是数值解法。求非线性薛定谔方程数值解的方法主要有差分方法、配置谱方法[6]、有限元方法[7]和平均离散梯度方法[8]等。在本文中,我们利用非标准有限差分方法研究了非线性薛定谔方程的数值解,这种方法已在求解偏微分方程中得到了广泛的应用[9],其优点是对非线性项作非局部离散,对导数项作离散后用步长函数作分母,这样不仅能保持差分方程的数值解与原方程的解析解具有相同的正性,而且能保持较好的数值稳定性。 1非标准有限差分格式的构造现在我们利用文献[10-12]给出的方法构造非线性薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,要考虑的非线性薛定谔方程为 (1)相应的初边值条件为其中:为虚数单位;、、和均为连续函数;和均为正数。为了得到非线性薛定谔方程的差分格式,需要对式 (1)进行离散。首先,需要利用网格对区域进行分割,取空间步长时间步长其次,在网格点处,定义数值解其中,且下面将分别构造式(1)的两种非标准有限差分格式。 1.1第一种非标准有限差分格式的构造为了构造式(1)的第一种非标准有限差分格式,我们利用R.E.Mickens 提出的构造非标准有限差分格式的原理[10]和文献[13-14]中提到的方法,并利用给定的记号,对式(1)进行离散。离散后的差分方程为其中,和为分母函数,且,且分母是通过步长函数逼近得到的。从式(4)可以看出,和分别取代了和分母函数的选择依据了薛定谔方程解的性质[4]。记对式(4)进行整理,可得第36卷第3期Vol.36No.3 新乡学院学报 Journal of Xinxiang University 2019年3月Mar.2019 收稿日期:2018-12-21 基金项目:山东省高校科技计划项目(J17KB053);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A)作者简介:张艳敏(1981—),女,山东东营人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。通信作者:刘明鼎(1982—),男,辽宁大连人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。 222 (,)(,) (,)(,)(,),i u x t u x t u x t u x t g x t t x ??=++??(,0)(), u x f x =(2) 01(0,)(), (,)()u t p t u L t p t =ìí =?。 (3)0,0;x H t T <￡<￡i (,)g x t ()f x 0()p x 1()p x H T [0,][0,]H T ′,h H M =Δt T N =。(,)m n x t (,),n m m n u u x t =(0,1,2,,),m x mh m M ==L Δ(0,1,2,,),n t n t n N ==L ,M N ++??Z Z 。111212 2(),i n n n n n m m m m m n n n m m m u u u u u u u g D D ++---+=++(4) 1D 2D 12exp(Δ)1,D t D =-=24sin ()2 h 1D 2D Δt 2,h 11122 ,,D R D R D ==