概率论五六章习题详解(王志刚版)

概率论与数理统计 习题五

1 .已知()1E X =，()4D X =，利用切比雪夫不等式估计概率

{}1 2.5P X -<.

解： 据切比雪夫不等式

{}2

21P X σμεε-<≥-

{}24

1 2.51 2.5

P X -<≥-

925

= . 2．设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方程2

()D X σ=，利用切比雪夫不等式估计{}||3P X μσ-≥.

解：令3εσ=，则由切比雪夫不等式

{}2

()

||3D X P X μσε-≥≤

， 有 {}22

1

||3(3)9

P X σμσσ-≥≤=. 3. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率.

解： 设X 为6颗骰子所出现的点数之和；

i X 为第i 颗骰子出现的点数，1,2,,6i =，

则6

1

i i X X ==

∑，且12

6,,...,X X X

独立同分布，

分布律为：

126111666?? ?

? ???

，于是 6

117

()62i k E X k ==?=∑

62

21

191

()66i

k E X k ==?=∑

所以22

()()()i i i D X E X E X =-

914964

=- 35

12

= ，1,2,,6i = 因此 6

1

7

()()6212i i E X E X ===?=∑

6

135

()()612i i D X D X ===?

∑

352

=

故由切比雪夫不等式得：

{}{}|5271428P X P X ≤≤=<<

{}7217P X =-<-< {}|()|7P X E X =-<

2

()

17D X ≥-

13559114921414

=-?=-=.

{}1|()|7P X E X =--≥

即6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率大于等于9

14

.

4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.

解： 以i X 表示第i 次炮击击中的颗数(1,2,,1000)i = 有()0.4i E X = ，() 3.6i D X = 据 定理：

则1000

1380420i i P X =??<≤????

∑

≈Φ-Φ

11()()33=Φ-Φ-

12()13

=Φ-

20.62931=?-

0.2586= .

5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g ，标准差是10g .

求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.

解： 设i X 为第i 个螺丝钉的重量，1,2,,100i =， 且它们之间独立同分布，

于是一盒螺丝钉的重量100

1

i i X X ==

∑，

且由()100i E X =

10=知

()100()10000i E X E X =?=

，100=，

由中心极限定理有：

100001020010000(10200)10100X P X P --??

>=>????

100002100X P -??=>???? 1000012100X P -??=-≤????

1(2)≈-Φ

10.977250.02275=-= .

6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布.

（1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少

（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.

解： 设i X 为第i 个加数的取整舍入误差， 则{}i X 为相互独立的随机变量序列， 且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布，则

0.5

0.5

()0i E X xdx μ-===?

0.5

2

2

0.51

()12

i D X x dx σ-===?

（1） 因1200n =很大，

由独立同分布中心极限定理对该误差总和

1200

1

i

i X

=∑，

1200115i i P X =??>????

∑

P ??

=>

12 1.5i i P X =??=>???

2(1(1.5))=-Φ

0.1336= .

即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .

(2) 依题意，设最多可有n 个数相加，则应求出最大的n ，

使得1100.9n k k P X =??

<≥????

∑

由中心极限定理：

11

10n n

i i i i P X P X ==????<=

210.9≈Φ-≥ .

即0.95Φ≥

查正态分布得 1.64≥ 即2

1012()446.161.64

n ≤≈ 取446n =，最多可有446个数相加 .

7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年第1天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.

解 以X 表示1年死亡的人数 依题意，(3000,0.001)X

B

注意到

{}{}200030000P P X =>保险公司亏本

其概率为

{

}1530000.001

151P X -?>≈-Φ

1(6.932)=-Φ

0≈ .

即保险公司亏本的概率几乎为0 .

8. 假设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，已知

{}

15P X =>

()k i k E X α= (1,2,3,4;

1,2,,)k i n ==.

证明：当n 充分大时，随机变量2

1

1n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布.

证明：由于12,,...,n X X X 独立同分布，则2

2

2

12,,...,n X X X 也独立同

分布

由()k i k E X α= (1,2,3,4;

1,2,,)k i n ==

有2

2()i E X α=，2

242()((i i

i

D X

E X E X ??=-??

2

42αα=-

221

1()()n

n i i E Z E X n α==?=∑

224221

1()()()n

n i i D Z D X n n αα==?=-∑

因此，根据中心极限定理：

(0,1)n Z U N -=

即当n 充分大时，n Z 近似服从2

242(,())N n ααα- .

9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占

20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔

的户数.

（1）写出X 的概率分布；

（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.

求：被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率.

解 （1）(100,0.2)X

B ，

所以{

}1001000.20.80,1,2,,100k k k

P X k C k -===

()20E X np == ，()(1)16D X np p =?-=

（2）{}|430P X ≤≤

P =≤≤

(2.5)(1.5)=Φ-Φ- (2.5)(1.5)1=Φ+Φ--

0.9940.93310.927=+-= .

10 . 某厂生产的产品次品率为0.1p =，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品

解：设每盒中装n 只产品，合格品数 ~(,0.9)X B n ，

()0.9E X n =，()0.09D X n =

则{}{}1001100P X P X >=-≤

1000.910.95n

-=-Φ=

1.65=- 解得117n =，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。

11. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为

0.9，利用 中心极限定理：

（1）计算同时用电户数在9030户以上的概率

（2）若每户用电200瓦，问：电站至少应具有多大发电量，才能以0.95的概率保证供电

解 以X 表示用电高峰时同时用电的户数 （1）依题意，(10000,0.9)X B ，又()9000E X =，()900D X =，

于是据 定理：

{

}10000900090309000()9030P X P -->=≥

100

()(1)3

=Φ-Φ

10.8413≈- 0.1587=

（2） 设电站至少具有x 瓦发电量，才能0.95的概率保证供电，则因为要：

{}200200x P X x P X ?

?≤=≤???

?

9000900020030

30x X P ??

-??

-=≤??????

1800000()0.956000

x -=Φ≥

查表得：

1800000

1.656000

x -≥ 得1809900x ≥

即电站具有1809900瓦发电量，才能以0.95的概率保证供电 .

（B ）

1、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，12,,,n X X X 相互独

立，且都与X 的分布相同，求当n →∞时，2

1

1n n i i Y X n ==∑依概率收敛的极

限 .（答案：12

）

2、设12,,,n X X X 相互独立，且分布相同，()(1,2,3,4)

k i k E X k α==存在，则根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，2

1

1n n i

i Z X n ==∑近似服从正态分布，求分布参数. （答案：2

422,

n

ααα-）

3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，其平均值为50kg ，标准差为5kg. 若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明，每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977((2)0.977)Φ=（答案：98）

习题六 1.设128,,

,X X X 是来自(0,)θ 上均匀分布的样本，0θ>末知，

求样本的联合密度函数

解:

12881281

0,,,(,,,)0

x x x f x x x θ

θ?<

2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其概率分布律为：

()(0,1,)!

i P X i e i i λ

λ-===

求：样本12,,...,n X X X 的联合分布律为：

解：

{}1122,,...,n n P X i X i X i === {}1n

k k P X i ==∏=

1

1

()!

n

k

k i n n

k k e i λλ=-=∑=

∏ 0,1,2,,1,2,,k

i i n == .

3．若总体2(,)X

N μσ，其中2

σ已知，但μ末知，而12,,,n

X X X 为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量.

（1）11n i i X n =∑ ；（2）211()n i i X n μ=-∑ ；（3）21

1()1n i i X X n =--∑ ； （4

；（5

； （6

5

X - 解： （1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数μ，所以不是统计量 .

4. 总体X 的一组容量为10的样本观测值为：

0,0.2,0.25,0.3,0.1,2,0.15,1,0.7,1----，求经验分布函数10()F x .

解 :将样本观测值重新排序为：

10.70.30.100.150.20.2512-<-<-<-<<<<<<，所以

经验分布函数为：

10010.210.70.40.70.3

()0.8121

2

x x x F x x x ≤-??-<≤-??-<≤-?=?

??<≤?>?

?

5. 来自总体X 的一组样本观测值为：

求样本均值X ，样本方差2

S 和样本标准差S . 解：104.6x =，2

2.71s =， 1.646s = .

6. 在总体

2

(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 在50.8到53.8之间的概率.

解： 由2

(52,6.3X

N 知

5252

(0,1)6.36 2.12

X X N --= 故所求概率为

{}

50.8525253.85250.853.8 2.12

2.12 2.12X P X P ??

---<<=<

52

1.14 1.71

2.12X P ??-=-≤≤????

(1.71)(1.14)=Φ-Φ- (1.71)1(1.14)=Φ-+Φ

0.956410.8729=-+

0.8293= .

7. 设随机变量X 与Y 相互独立，且2

22

(,),()Y

X N n μ

σχσ

，证

明

()X t t n -= .

证明：由于2(,)X

N μσ，则

(0,1),X N

μ

σ

-

据t

分布的定义，()X X t t n μ

μ--==

.

8. 若对总体X 有EX μ=，2

DX σ=，取X 的容量为n 的样本，

样本均值为X ，问n 多大时，有

(0.1)0.95P X μσ-<≥

解： 由2

(,)

X N n σμ(0,1)X N μ-

知

(0.1)P X P μσ-<=<

210.95=Φ-≥

即0.975Φ≥

查表得 1.96≥，即385n ≥ . 9. 设总体(150,400)X

N ，(125,625)Y N ，并且X ，Y 相互独

立，现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X ，Y ，求{}

0P X Y -≤ .

解： {

}

()25250X Y P X Y P ??

---≤=≤ (1.75)=Φ-

0.0401= .

10. 设总体X ，Y 都服从正态分布

2

(,)N μσ，并且X ，Y 相互独立，X ，Y 分别是总体X 和Y 的容量为n 的样本均值，确定n 的值，使{}

00.01P X Y ->= .

解 由于

)(0,1)X Y N =- 于是，

{

}

P X Y P Y σ->=->

21?=-??

0.01=.

即0.995Φ=

2.58=，1

3.3128n =，取14n = . 11. 设总体(0,1)X

N ，126,,,X X X 为X 的一个样本，设

22123456()()Y X X X X X X =+++++，求常数C ，使2()Y

χ分布.

解 由于126,,,X X X 独立同分布

所以

123

456

(0,3),

(0,3)X X X N X X X N ++++

456

(0,1),

(0,1)3

X X X X X X N N ++++

于是2

2

123456()(

)X X X X X

X +++++=

223X X X X X X ++++??+????

2212Y Y =+

其中22

2212

(1),(1)33Y Y χχ 所以2222

1212345611()()()33

Y Y X X X X X X ??+=+++++?? 21

(2)3

Y χ 即13

C = .

12. 设1210,,

,X X X 为来自总体(0,0.09)N 的样本，求

1021 1.44i i P X =??>????

∑ .

解 设总体为X ，则由(0,0.09)X N 可知

(0,1)0.3X

N ，(0,1)0.3

i X N ，1,2,,10,i = 由定理 可知

102

2

221

1(10),0.3i i X χχ==∑

利用2

χ分布表，可得

1021 1.44i i P X =??>????∑ 1022211 1.440.30.3i i P X =??=>????∑

{}216P χ=>

0.10≈ .

13. 设125,,

,X X X 是总体(0,1)X

N

的一个样本，若统计量

()()c X X U t n +=

，试确定c 与n .

解 由于i X 独立同分布(1,2,3,4,5)i =,所以

2222345(0,1),

(3)N X X X χ++,且两者相互独立,由t

分布定义知(3)U t =

故c =3n = .

14. 设总体2(0,)X N σ ，12,X X 是样本，求2

12

212()()X X Y X X +=

-的

分布.

解

记X X X X U V +-==22

122

212()()X X U Y X X V +==-， 由于221212

(0,2),(0,2)X X N X X N σσ+-

则2222(0,1),(0,1),(1),(1)U

N V N U V χχ .

下面证明U 和V 相互独立.

因为U ，V 都服从标准正态分布(0,1)N ，因此只要证明U ，V 互不相关，即cov(,)0U V =即可.由于()0,()0E U E V ==，因此，

cov(,)()()()()U V E UV E U E V E UV =-=

[]121221

()()2E X X X X σ=+- 22

1221()2E X X σ

=

+ 22

1221()()02E X E X σ??=-=??. 这样2

2

(1,1)U Y F V

=. 15. 设总体21(,)X N μσ,222(,)Y

N μσ,从二总体中分别抽取样

本,得到下列数据:

18n = , 10.5x =,2142.25s = ； 210n = , 13.4y =,2256.25s =，

求概率2

221

( 4.40)P σσ< .

解 由于22

1222

12

(7,9)S S F F σσ=

0.05(7,9) 3.29F =

故( 3.305)0.05P F ≥≈ .

从而22221122212242.25

( 4.40)( 4.40)56.25

S P P S σσσσ<=?

10.05=-

0.95= .

B

1. 设有N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样，定义i X 如下：

1,0,i i X i ?=??

第次取得次品,

第次取得正品.

求样本12,,...,n X X X 的联合分布.

解: 因为是放回抽样，所以12,,...,n X X X 独立同分布，

{}{}1,01i i M M

P X P X N N

====-.则12,,...,n X X X 的联合分布为

{}11

1,,()(1)n

n

i i

i i x n x i n n P X x X x M N M N ==-∑∑===-. 2．设总体2

(,)X N n

σμ，12,,...,n X X X 是样本，证明：

22241

([()])(1)n

i i E X X n σ=-=-∑.

证: 由

2

22

(1)(1)n S n χσ--和221

(1)()n

i i n S X X =-=-∑

得

2

2212

()(1)n

i i X X n χχσ=-=

-∑ .

使用2χ分布期望和方差的公式，22

()1,()2(1)E n D n χχ=-=-，于

是，2

222412

1

()([()])n i n

i i i X X E X X E σσ==????- ??? ???-= ??? ??? ?????

∑∑ 422

()E σχ??=??

2

422

(()())D E σχχ??=+??

4224

2(1)(1)(1)n n n σσ??=-+-=-??

. 3.设129,,...,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，

11262789()6,()Y X X

X Y X X X =++

+=++,

9

2

222127

1(),)2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑ .

证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.

证: 因为2

()D X σ=为末知，而12()()E Y E Y =，21()6

D Y σ=，

2

2()3

D Y σ=.

由1Y 与2Y 的独立性，12()0E Y Y -=，222

12().632D Y Y σσσ-=

+=故

1((0,1).U Y Y N =-

由正态总体样本方差的性质知，2222().S n χ

又由1Y 与2Y 独立知，1Y 与2S 独立，2Y 与2S 独立，于是12Y Y -也与2

S

独立.从而，由t 分布随机变量的构造知

12)(2).Z Y Y S t =-=