2019年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题5：定值问题

2019年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编

专题5：定值问题

6. （2019湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在NP ，PQ ，QM ，MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD 为矩形，且AB=4，BC=8．

理解与作图：

（1）在图2，图3中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出

矩形ABCD 的

反射四边形EFGH ．

计算与猜想：

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形ABCD 的反射四边形的周

长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交BC 的延长线于M ，试利用

小华同学给我

们的启发证明（2）中的猜想．

【答案】解：（1）作图如下：

（2）在图2中， EF FG GH HE =====

∴四边形EFGH 的周长为

在图3中，EF GH =，FG HE =

∴四边形EFGH 的周长为22?=。

猜想：矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值。

（3）延长GH 交CB 的延长线于点N ，

∵12∠=∠，15∠=∠，

∴25∠=∠。

又∵FC=FC ，

∴Rt △FCE ≌Rt △FCM （ASA ）。

∴EF=MF ，EC=MC 。

同理：NH=EH ，NB=EB 。∴MN=2BC=16。

∵M 905901∠=?-∠=?-∠，N 903∠=?-∠，13∠=∠，∴M N ∠=∠。

∴GM=GN 。

过点G 作GK ⊥BC 于K ，则1KM MN 82

==。

∴GM =

∴四边形EFGH 的周长为2GM =。∴矩形ABCD 的反射四边形的

周长为定值。

【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。

（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE 的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH ，FG=HE 的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH 的周长是定值。

（3）延长GH 交CB 的延长线于点N ，再利用“ASA”证明Rt △FCE 和Rt △FCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF ，EC=MC ，同理求出NH=EH ，NB=EB ，从而得到MN=2BC ，再证明GM=GN ，过点G 作GK ⊥BC 于K ，根据等腰三角形三线合一的性质求出1KM MN 82

=

=，再利用勾股定理求出GM 的长度，然后即可求出四边形EFGH 的周长。

7. （2019福建泉州12分）已知：A 、B 、C 不在同一直线上.

（1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，

i ）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和BC 的长度；

ii ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A= BC 2R

； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.

【答案】解：（1）i ）∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。

又∵R=1，∴由勾股定理可知。

ii ）证明：连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC 。

可知EC ⊥BC （直径所对的圆周角为90°），

且∠E=∠A （同弧所对的圆周角相等）。

故sin ∠A=sin ∠A=BC BC BE 2R

=。

（2）保持不变。理由如下：

如图，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，

在Rt △APC 中，CK=12

AP=AK=PK 。 同理得：BK=AK=PK 。

∴CK=BK=AK=PK 。∴点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上。

∴由（1）ii ）sin ∠A=

BC 2R 可知sin60°=BC AP 。

∴AP=BC sin60=?（为定值）。 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三

角函数值，直角三角形中线性质。

【分析】（1）i ）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC 的长；

ii ）作直径CE ，则∠E=∠A ，CE=2R ，利用sin ∠A=sin ∠E=

BC BC BE 2R = ，得出即可。

（2）首先证明点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上，再利用sin ∠A=

BC 2R ，得出

AP=BC sin603

=? （定值）即可。 8. （2019四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC 。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB 。∴∠ABE=∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC ，AB=AC ，∠ABE=∠AFC ，

∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE=CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。

作AH ⊥BC 于H 点，则BH=2，

AECF ABC 11S S BC AH BC 22

?==??==四形边 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．

故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF

的面积会最小，

又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．

∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △

AEF

12

=

?。

∴△CEF 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB=AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB ，从而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE=CF 。

（2）由△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ，故根据S 四边形

AEC F=S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △AB E=S △ABC 即可得四边形AECF 的面积是定值。

当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，根据S △CEF =S

四边形AECF －S △AEF ，则△CEF 的面积就会最大。

9. （2019四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5y=x+m 4 (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y=ax +bx+c (a ，b ，c 为常数，且a≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．

（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于()()111222M x y M x y ，，，两点，试探究

1212

M P M P M M ?是否为定值，并写出探究过程．

【答案】解：（1）∵5y=x+m 4经过点（﹣3，0），∴15x+m=04-，解得15m=4。 ∴直线解析式为515y=x+4

4

。 令x=0，得15y=4

。∴C （0，154）。 ∵抛物线y=ax 2+bx+c 对称轴为x=1，且与x 轴交于A （﹣3，0），

∴另一交点为B （5，0）。

设抛物线解析式为y=a （x+3）（x ﹣5）， ∵抛物线经过C （0，

154），∴154=a?3（﹣5），解得1a=4

-。 ∴抛物线解析式为y= 14-（x+3）（x ﹣5），即21115y=x +x+424-。 （2）假设存在点E 使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，

则AC ∥EF 且AC=EF ，如答图1。

（i ）当点E 在点E 位置时，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，

∵AC ∥EF ，∴∠CAO=∠EFG 。

又∵∠COA=∠EOF=900，AC=EF ，∴△CAO ≌△EFG

（AAS ）。

∴EG=CO=

154，即y E =154

。 ∴2E E 151115=x +x +4424

-，解得x E =2（x E =0与C 点重合，舍去）。 ∴E （2，154），S ?ACEF =152。 （ii ）当点E 在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x 轴于点G′，

同理可求得E′154

- ，），S ?ACE′F′=4。 （3）要使△ACP 的周长最小，只需AP+CP 最小即可。

如答图2，连接BC 交x=1于P 点，因为点A 、B 关于x=1对称，根据轴

对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP 最小（AP+CP 最小值为线段BC 的长度）。

∵B （5，0），C （0，

154

）， ∴直线BC 解析式为315y=x+44-。 ∵x P =1，∴y P =3，即P （1，3）。

令经过点P （1，3）的直线为y=kx+3﹣k ， 联立2y kx 3k 1115y=x +x+424=+-???-??

得 x 2

+（4k ﹣2）x ﹣4k ﹣3=0，

∴x 1+x 2=2﹣4k ，x 1x 2=﹣4k ﹣3。

∵y 1=kx 1+3﹣k ，y 2=kx 2+3﹣k ，∴y 1﹣y 2=k （x 1﹣x 2）。

根据勾股定理得：

M 1M 2=

()

21+k ，

M 1P=

，

M 2P=

。

∴M 1P?M 2P=()

()221+k 1+k

()()

22=1+k 1+k ∴M 1P?M 2P=M 1M 2。∴1212

M P M P

M M ?=1为定值。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，

平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。

【分析】（1）把点A的坐标代入

5

y=x+m

4

即可求出m的值。由抛物线的对称轴和点A的

坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。

（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。

（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3，y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，y1﹣y2=k（x1﹣x2）。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。