流体的运动习题解答
第三章流体的运动
习题解答
1．应用连续性方程的条件是什么？
答：不可压缩的流体作定常流动。
2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？
答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。
3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。
答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。
4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。
解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54
－2×2=50mm ，v 2=1.4m/s ，根据连续性方程知：
S 0v 0= S 1v 1+S 2v 2 +……+S n v n ，则
72.016194.1504
1412221122221122211221=??==ππ==d n d d n d S n S v v v v m/s
5．水管上端的截面积为4.0×10－4m 2，水的流速为5.0 m/s ，水管下端比上端低10m ，下端的截面积为8.0×10－4m 2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa ，求下端的压强。
解：(a)已知S 1=4.0×10－4m 2，v 1=5.0 m/s ，h 1=10m ，S 2=8.0×10－4m 2，
1p =1.5×105Pa ，根据连续性方程：S 1v 1=S 2v 2 知：
5.210
0.80.5100.4442112=???==--S S v v ( m/s ） (b) 根据伯努利方程知：222211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，h 2=0，水ρ=1.0×103 kg/m 3
(Pa)
106.25.2100.12
1105.11010100.15100.1212
12152
353232221121?=???-?+???+???=--++=gh p gh p ρρρρv v 26．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s 和1.96×105Pa ，那么水在细处的流速和压强各是多少？ 解：(a)已知d 1=2 d 2，v 1=1.00m/s ，1p =1.96×105Pa ，根据连续性方程知：S 1v 1=S 2v 2
00.400.1)2(4
141222
222121*********=?==ππ==d d d d d d S S v v v v (m/s) (b) 根据伯努利方程知（水平管）：222112
121p p 2+=+v v ρρ 52352322121210885.100.4102
11096.100.110212121?=??-?+??=-+=v v ρρp p (Pa)
7．利用压缩空气，把水从一密封的筒通过一根管以1.2 m/s 的流速压出。当管的出口处高于筒液面0.60m 时，问筒空气的压强比大气压高多少？
解：已知v 1=1.2m/s ，h 1=0.60m ，1p =0p ，根据伯努利方程知：
222211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v 由于S 1<< S 2，则v 2=0，因此
332312102106.66.08.9102.1102
121?=??+??=+=
-gh p p ρρv (Pa)
8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m ，细颈处的直径为0.10m ，如果水在主管的压强为5.5×104Pa ，在细颈处的压强为4.1×104Pa ，求水的流量是多少？
解：已知d 1=0.25m ，d 2=0.10m ，1p =5.5×104Pa ，2p =4.1×104Pa ，根据汾丘里流速计公式知：
/s)
(m 102.4)
1.025.0(1010)1.45.5(21.025.014.341)()(241)()2(324434
22424121222122212121-?=-??-?????=--π=--=d d p p d d S S p p S S Q ρρ
9．一水平管道直径从200mm 均匀地缩小到100mm ，现于管道以甲烷（密
度ρ=0.645 kg/m 3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U 形管压强计中水面高度差h 1=40mm ，2处压强计中水面高度差h 2=-98mm （负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q 。
解：已知d 1=200mm=0.200m ，d 2=100mm=0.100m ，ρ=0.645kg/m 3，
'ρ=1.0×03kg/m 3，h 1=40mm=0.040m ，h 2=-98mm=-0.098m ，根据汾丘里流
速计公式知：
)
s m (525.0)
1.02.0(645.0)098.0040.0(8.9100.121.02.014.341)
()('241)()2(344322424121222122212121 /=-?+????????=--π=-=d d h h g d d S S p p S S Q ρρρ-
10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm 和5.4cm ，求水速。
解：已知h 1=5.4cm=0.054m ，h 2=0.5cm=0.005m ，根据比托管流速计公式知：
98.0)005.0054.0(8.92)(221=-??=-=h h g v (m/s)
11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO 2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm ，采气管的横截面积为10cm 2。求5分钟所采集的CO 2的量是多少m 3？已知CO 2的密度为2kg/m 3。
解：已知h =2.0cm=0.02m ，S =10cm 2，t =5min ，ρ=2kg/m 3，'ρ=1.0×03kg/m 3，根据比托管流速计公式知：
142
02.08.9100.12'23=????==ρρgh
v (m/s) 所以5min 采集的CO 2为：
334102.4)m (2.4605141010?==????==-vt V S (L)
12．水桶底部有一小孔，桶中水深h =0.3m 。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。
解：(a)已知h 1=0.30m ，021p p p ==，S 1>> S 2，桶是静止时，根据伯努利方程知： 222211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，由于S 1>> S 2，则v 1=0，因此 42.23.08.92212=??==gh v (m/s)
(b)桶匀速上升时，v 2=2.42 (m/s)
13．注射器的活塞截面积S 1=1.2cm 2，而注射器针孔的截面积S 2=0.25mm 2。当注射器水平放置时，用f =4.9N 的力压迫活塞，使之移动l =4cm ，问水从注射器中流出需要多少时间？
解：已知S 1=1.2cm 2，S 2=0.25mm 2，f =4.9N ，l =4cm ，作用在活塞上的附加压强：4411008.410
2.19.4?=?==?-S f p (pa)，根据水平管的伯努利方程知： 2221212
121p p +=+v v ρρ 由于p p p ?+=01，02p p =，S 1>> S 2，则v 1≈0，因此
91011008.422)234
212=???=?=-(=ρ
ρp p p v (m/s) 根据连续性方程知：S 1v 1=S 2v 2
0188.010
2.191025.0461221=???==--S S v v (m/s) 1
3.20188
.004.01===v l t (s)
14．用一截面为5.0cm 2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最高点在容器的水面上1.20m 处，出水口在此水面下0.60m 处。求在定常流动条件下，管最高点的压强和虹吸管的流量。
解：(a)已知S D =5.0cm 2=5.0×10－4m 2，h B =1.20m ，h D =－0.60m ，S A >> S D ，如图3-10所示，选取容器液面A 为高度参考点，对于A 、D 两处，0p p p D A ===1.013×105 Pa ，应用伯努利方程，则有：D D A A gh gh ρρρρ+=+222
121v v 43.36.08.922)(2=??==-=AD D A D gh h h g v (m/s)
B 、D 两处（均匀管）应用伯努利方程得： D D B B p gh p gh +=+ρρ
5351084.0)20.160.0(8.91010013.1)(?=--??+?=-+=B D D B h h g p p ρ(pa) (b)Q =S D v D = 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m 3/s)
15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q =150 cm 3/s ，容器的底部有面积S =0.50cm 2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。
解：已知Q =150 cm 3/s=1.5×10－4m 3/s ，S 2=0.5cm 2=5.0×10－5m 2，因为以一定流量为Q 匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：
gh 22=v 和gh S Q 222=
45.010
2)100.5()1050.1(2252
42222=????=?=--g S Q h (m)
16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B 和F ，盛有相同的液体。由容器B 底部接一水平管子BCD ，水平管的较细部分C 处连接到一竖直的E 管，并使E 管下端插入容器F 的液体。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C 处的横截面积是D 处的一半。并设管的D 处比容器B 的液面低h ，问E 管中液体上升的高度H 是多少？ 解：已知截面积D C S S 2
1=，由连续性方程得D D C D C S S v v v 2==，考虑到A 槽中的液面流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得
gh D 2=v
对C 、D 两点列伯努利方程：
222
121D D C C p p v v ρρ+=+ 因为，大气压）(0p p D =，所以，gh p p C ρ30-=，即C 处的压强小于0p ，又因为F 槽液面的压强也为0p ，故E 管中液柱上升的高度H 应满足：
0p gH p C =+ρ
解得 h H 3=
17．使体积为25cm 3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa 的截面移到压强为1.1×105Pa 的截面时，克服摩擦力做功是多少？
解：已知V =25 cm 3=2.5×10－5m 3，1p =1.3×105Pa ，2p =1.1×105Pa ，由实际流体运动规律知：
w +++=++222211212
121p gh p gh ρρρρv v 45521100.2101.1103.1?=?-?=-=p p w (Pa)（水平均匀管）
50.0105.2100.254=???=?=-V W w (J)
18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度？
答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。
19．20℃的水，在半径为 1.0cm 的水平管流动，如果管中心处的流速是10cm/s 。求由于粘性使得管长为2.0m 的两个端面间的压强差是多少？
解：已知R =1.0 cm ，v max =10cm/s=0.10m/s ，L =2.0m ，t =20℃，查表知20℃时水的黏度系数为：310005.1-?=水η Pa ?s ，由泊肃叶定律的推导知：
)(42221r R L
p p --=ηv 当r =0，10.04)(2
21max
=-=L R p p ηv m/s 04.8)
100.1(10.0210005.144223221=?????==---R L p p v η(Pa)
20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。若图中h =23cm ；h 1=15cm ；h 2=10cm ；h 3=5cm ；a =10cm 。求液体在管路中流动的速度。
已知：h =23cm ；h 1=15cm ；h 2=10cm ；h 3=5cm ；a =10cm
求：v =?