浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来
判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。
关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减
1引言
在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。
2基本概念及定理
定义1： 若级数的各项符合正负相间，即：
1
112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞
--=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……）
则称级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑为交错级数。
定义2：若级数
1
n
n u
∞
=∑通项的绝对值构成的级数1
n n u ∞=∑收敛，则称级数1
n n u ∞
=∑为绝
对收敛；若级数1
n n u ∞=∑收敛而1
n n u ∞
=∑发散，则称1
n n u ∞
=∑为条件收敛。
定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑（n u >0）
收敛，则有lim 0n n u →∞
=。
定理2：（莱布尼茨判别法）若交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑满足下述两个条件：
（1）lim 0n n u →∞
=；
（2）数列{n u }单调递减； 则该交错级数11(1)n n n u ∞
-=-∑收敛。
3交错级数敛散性判别的方法
当遇到一个交错级数时，该如何判断敛散性呢？大致从以下 步骤入手：
3.1 必要性判别交错级数发散
由定理1知，其逆否命题成立，即：若lim 0n n u →∞
≠，则交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑(n>0）
发散。因此，可以判别交错级数的发散性。 例1 判别下列级数的敛散性。 （1）1
11(1)
21n n n n ∞
-=+--∑ （2）11
1
(1)sin n n n n ∞
-=-∑ 解（1）为交错级数，121n n u n +=
-，则1lim lim 21n n n n u n →∞→∞+=-=1
02
≠，因此交错级数
1
1
1
(1)21
n n n n ∞
-=+--∑发散。 （2）此级数为交错级数，1sin
n u n n =，1
sin
1
lim lim sin lim
101
n n n n n u n n n
→∞→∞→∞===≠，
因此交错级数发散11
1(1)sin
n n n n
∞
-=-∑。 3.2莱布尼兹判别法可以判别交错级数收敛
只要能验证莱布尼兹判别法的两个条件，那么这样的交错级数一定收敛。 例2 判别下列级数的敛散性 （1）1
11
(1)
n n n ∞
-=-∑ （2）121
1(1)n n n ∞
-=-∑
解 （1）此级数为交错级数，lim l 1
im n n n n
u →∞→∞==0；
且1n n u u --=111
1(1)
n n n n -=
++＞0，即数列{n u }单调递减。 因此，交错级数11
1
(1)n n n ∞
-=-∑收敛。
（2）此级数是交错级数，2lim lim
1n n n n u →∞
→∞==0；且数列{2
1
n }显然单调递减。 因此级数1
21
1
(1)n n n
∞
-=-∑收敛。 注：例2中的两个级数虽然都收敛，但是他们通项所组成的级数，即正项级
数1n ∑发散，正项级数21n ∑收敛；因此级数111
(1)n n n ∞
-=-∑条件收敛，而级数
1
2
1
1
(1)n n n ∞
-=-∑绝对收敛。 例3
验证级数1
1
(1)n n ∞
-=-∑收敛。 证明
此级数为交错级数，n u =
，
且lim n n n u →∞
=121lim 012
n n n
n →∞-===； 令()x f
, (
)''x f ===,
当2
n e >时，有数列
}单调递减；所以当2
n e >
时，级数1
(1)n n ∞
-=-∑收敛。
而当21n e <<时，只有有限项，由级数的性质：去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性。
综合以上，级数1(1)n n ∞
-=-∑收敛。 注：例2告诉我们，莱布尼兹判别法判断出交错级数收敛时，并不能确定是条件收敛，还是绝对收敛。通过例3我们又发现，如果n u 稍微复杂一些时，莱布尼兹的两个条件验证起来会比较困难，有时甚至{n u }不满足单调递减的条件。 3.3不能用莱布尼兹判别法来判别的交错级数
对于某些特殊的交错级数（下面会举例），莱布尼兹判别法的条件未必都满足，我们怎么解决这类问题呢？下面分这样几种情况讨论。 3.3.1原级数可以恒等变形后能判别的交错级数
定理3：若级数n u ∑和n v ∑都收敛，c 、d 是常数，则级数()n n cu dv +∑也收敛。 推论1：若级数n u ∑和n v ∑其中一个收敛，另一个发散，则级数()n n cu dv +∑发散。
结论1：几何级数n q ∑，当q ＜1时，级数n q ∑收敛；当q ≥1时，级数n q ∑发发散。
例4 判别级数1
1
12(1)(1)
2
n n n
n -∞
-=+--∑的敛散性。 证明 数列{1
2(1)2
n n
-+-}显然不满足单调递减性，所以不能用莱布尼茨判别法。 因为 11
1112(1)1111(1)
(1)()()22222
n n n n n n n n -----+--=-+-+，
所以 11
111
2(1)11(1)[()()]222n n n n n
n n -∞
∞--==+--=-+∑∑。 由结论1知级数111()2n n ∞
-=-∑与11()2n n ∞=∑都收敛，所以级数111
2(1)(1)2n n n n -∞-=+--∑收敛。
例5
判别级数
n
n ∞
=
解
n
(1)(1)]1(1)111n n n
n n n --==-----，
所以n n ∞
=
2
1[(1)]1n
n n ∞
=---∑
，而0n →∞=，且
'=
0< 即数列
单调递减，所以级数1
(1)1n n n ∞=--∑收敛；
显然，级数111n n ∞
=-∑发散。由推论1
知级数2
1
[(1)]11n n n n ∞
=----∑发散，所以原级
数
n
n ∞
=
3.3.2当n 取奇数和偶数时，通项绝对值n u 不一致的交错级数 定理4： 若交错级数1
1
(1)n n n u ∞
-=-∑满足：lim 0n n u →∞
=，且212
n n
n u u v --=，
则级数1
n n v ∞
=∑与原交错级数具有相同的敛散性。
证明：考察交错级数的部分和数列{n s }及级数的部分和数列{'n s } 因为'2123421212()()......()......n n n n n s u u u u u u v v v s -=-+-++-=+++=
所以，若级数1
n n v ∞
=∑发散，则'lim n n s →∞
等于∞或不存在，从而2lim n n s →∞
也等于∞或不存
在，即原交错级数发散；若级数1
n n v ∞
=∑收敛于S ，则S='2lim lim n n n n s s →∞
→∞
=，又
2122n n n s s u -=+，则2122lim lim()n n n n n s s u s -→∞
→∞
=+=，因此，原交错级数收敛。
例6
......++的敛散性。
解 此级数为交错级数，且lim 0n n u →∞
=，
因为
2122
n n u u n
--=
=，
且级数2
n
∑发散，所以原交错级数发散。
3.3.3通项的相邻两项比值
1
n n
u u +约分之后比较简单的交错级数 定理5（极限判别法）：若交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑满足：1
lim (
1)n
n n u n u →∞
+- =r ，则 （1）当r>0时，原交错级数收敛。特别地，当r>1时，原交错级数绝对收敛；
当0 证明 （I ）因为1lim (1)n n n u n u →∞+-=r ＞0,所以当n 无穷大时，1(1)n n u n u +-＞0，即 1n n u u +>。记a =2r ，存在N,当n N ≥时，1 (1)n n u n a u +->，即1< n n u n u n a ++， 于是 1(1)...() 0< < ()(1)...() N m N a N N N m a N a N a N a m +++++++++ ① 记 m N m P N a m +=++， 则 121 11(1)(1)(1)[1()1] m m N m N N a N N a b P N a m m m m m m -+++=-= -=++=+-+-++2211[1()]1()a a m m m m =-+-=-+ 当m 适当大时，m b 保持定号。 因为211m m ∞ =∑收敛, 1m a m ∞=∑发散,所以1 m m b ∞ =∑发散。 因此, 无穷乘积0 m N m N a m ∞ =+++∏ 发散。 又因为部分乘积0 m k k P =∏递减且为正, 所以无穷乘积0 m N m N a m ∞ =+++∏ 发散于零, 即 (1)...() lim 0()(1)...()m N N N m N a N a N a m →∞++=+++++ 由①得，lim 0n n u →∞ =。 满足莱布尼茨审敛法的两个条件，因此交错级数11 (1)n n n u ∞ -=-∑收敛。 进一步可得： 当r>1时，原交错级数绝对收敛； 当0 r<01)n n n u n u →∞ +-=,故当n 充分大时,1 (1)0n n u n u +-<,即10n n u u +<<, 于是lim 0n n u →∞ ≠, 从而交错级数11 (1)n n n u ∞ -=-∑发散。 （III ）当1lim (r=01)n n n u n u →∞+-=时，交错级数11 (1)n n n u ∞-=-∑可能收敛也可能发散。 如：1 1 1(1) ln n n n ∞ -=-∑收敛；11 1 (1)(1)n n n ∞ -=-+∑发散。 注：（1）该定理无法给出r=0和r=1的情况，要视具体情况讨论，不 过，该定理明确了交错级数何时绝对收敛，何时条件收敛，具有非常重要的意义。 （2）一般我们遇到以下几种情况用该定理非常方便： ①通项含有连乘积； ②通项含有阶乘项或n 次方的乘积等。 例7 讨论级数1 1()(1) !n n n n an n e ∞ -=-?∑（a >0）的敛散性。 解 先考虑1 1 ()(1) !n n n n an n e ∞ -=-?∑是正项级数， 用比值判别法的极限形式：11()!lim lim (1)!()n n n n n n n n u an a n e a u n e an ++→∞→∞+??==+?? 所以，当0 1(1) !n n n n n n e ∞ -=-?∑， 考察 1 lim (1)n n n u n u +→∞ - 11lim [1(1)]n n n e n →∞=-+ 11(1)lim (1)t t t t e →∞+- = （令1 t n =） 1 ln(1)1lim t t t e e t e +→∞-=? 1 ln(1)01lim (1)t t t e t +→=- 1 ln(1)01lim (1)t t t e t +→=-- 011lim (ln(1)1)t t t t →=-+- 20ln(1)lim t t t t →+-=- 1 2 = 由定理5知，当a=1时，原交错级数条件收敛。 当a>1时，考察级数1!() n n n n e u an =∑∑，用正项级数的比值判别法，得11lim 1n n n u u a +→∞=<，所以正项级数!()n n n e an ∑收敛，因此1lim n n u →∞=!lim 0()n n n n e an →∞=，所以lim n n u →∞=()lim !n n n an n e →∞=∞，故当a>1时，原交错级数发散。 综合以上， 当0 例8 判别交错级数1 1 ()...[(1)] (1)()...[(1)] n n a a d a n d b b d b n d ∞ -=+++-++-∑ (0,0,0)a b d >>>的敛散性。 解 1()r=l li ( 1im m )n n n n b a n b u n a d u a n d →∞→∞ +--= +-= 由定理可得： 当01b a d -< <，即a b a d <<+时，原级数条件收敛； 当1b a d ->，即b a d >+时，原级数绝对收敛； 当1b a d -=，即b a d =+时，原级数收敛，此时，原级数即为11 (1)n n a a nd ∞ -=-+∑，故条件收敛； 当 0b a d -<，即b a <时，原级数发散； 当0b a d -=，即b a =时，原级数为11 (1)n n ∞ -=-∑，故发散。 综上所述，原级数 当b a ≤时，发散； 当a b a d <≤+时，条件收敛； 当b a d >+时，绝对收敛。 该判定定理对某些级数应用起来很方便。 参考文献： ［1］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M ］.第3版.北京：高等教育出版社，2002. ［2］林让起.交错级数收敛性的两个补充判别法［J ］.红河学院学报，2008.2. ［3］杨志忠.关于一类交错级数的敛散性的一种判别方法［J ］.青海师专学报，2009.5：42-44. ［4］刘晓玲，张艳霞.交错级数收敛性的一个判别法［J ］.高等数学研究，2007.5：51-53. ［5］张艳华.一道正项级数题目的多种解法［J ］.科技教育，2009 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 数项级数敛散性的判别法毕业论文 关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]: 数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得: n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞ 常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性 通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分 和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。 从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断; 如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下： 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 浅谈交错级数敛散性的判定 摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来 判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。 关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减 1引言 在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。 2基本概念及定理 定义1： 若级数的各项符合正负相间，即： 1 112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞ --=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……） 则称级数11 (1)n n n u ∞ -=-∑为交错级数。 定义2：若级数 1 n n u ∞ =∑通项的绝对值构成的级数1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑为绝 对收敛；若级数1 n n u ∞=∑收敛而1 n n u ∞ =∑发散，则称1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 关于正项级数敛散性的判别法 作者: 学号： 单位： 指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言 设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情 况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在， 从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+ 设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增，由数列的单调有界定理，有 定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条 件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）： 设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数， 则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届， 再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届， 第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑ 发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由． 专题二十 基础知识 定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u （ ,3,2,1=n ） 满足： （1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞ →n n u 则 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u 收敛，且11 )1(u u n n n ≤-∑∞ =。 注：交错级数 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。 对于任意项级数 ∑∞ =1 n n u ，引入绝对值级数的概念：级数 ∑∞ =1 ||n n u 称为∑∞ =1 n n u 的绝对值级数。 定理2若级数 ∑∞ =1 ||n n u 收敛，则∑∞ =1 n n u 亦收敛。 由定理2知收敛级数 ∑∞ =1n n u 分为两种： （1）条件收敛：要求 ∑∞ =1n n u 收敛， ∑∞ =1 ||n n u 发散。 （2）绝对收敛：要求 ∑∞ =1 ||n n u 。 总结：判定级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性，可按如下步骤进行： （1）首先讨论n n u ∞ →lim 。若n n u ∞ →lim 不存在或0lim ≠∞ →n n u ，级数 ∑∞ =1 n n u 发散；若0lim =∞ →n n u ， 转入第二步。 （2）其次讨论 ∑∞ =1 ||n n u 的敛散性， 可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若∑∞ =1 ||n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛；若 ∑∞ =1 ||n n u 发散，转入第三步。 （3）最后讨论 ∑∞ =1n n u 的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 条件收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，当然 ∑∞ =1 n n u 发散。 例题 1. 设α为常数，判定级数 ∑∞ =-1 2 ]1 sin [ n n n na 的敛散性。 解：∑∑∑∞=∞ =∞ =-=-1 1212 1 sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12 sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑ ∑ ∞ =∞ ==1 2 1 1 11n n n n 为一发散的p 级数，故 ∑∞ =-1 2 ]1 sin [ n n n na 发散。 2. 若级数∑∞ =-+-1 166)2(n n n n n a n 收敛，求a 。 解：∑∑∑∞=∞=-∞ =-+-=+-11111666)2(66)2(n n n n n n n n n n n a n n n a n ∑∑∞ =∞=-+-=1111 )31(61n n n n a ∑∞ =--11)31(n n 收敛（1|31|<-），故∑∑∑∞=∞=-∞=-=--+-111111)31(6166)2(n n n n n n n n a n a n 收敛，而∑∞ =11n n 发散，从而0=a 。（倘若0≠a ，则∑∑∞ =∞ =?=111 11n n n a a n 收敛，矛盾） 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 正项级数敛散性判别 Prepared on 22 November 2020 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进 行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 ， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称 级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞ =1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则 ∑∞ =1 n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1 n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1 n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞ =1 n n v 是 解题的关键。 几何级数∑∞ =-11 n n aq 和p-级数∑∞ =11 n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞ =1 n n v 。 例１ 证明级数∑∞ =+122 1 n n 是收敛的。 证 由于2 22n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞ =121n n 为p=2 的p-级数 且收敛， 故由比较审敛法，级数∑∞ =+1221 n n 是收敛的。 例2 判别下列级数∑∞ =+122 2n n n 的敛散性。 分析 这是一个典型的例题，通项2 22+n n 是关于n 的一个有理分式。应注意 分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应 的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞ =11 n n 做 比较。 解 n n n n n n n 1 322222222?=++≥+，而级数∑∞=?1)132(n n 与∑∞ =1 1n n 有相同的敛散性，即 同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1 222n n n 是收敛的。 在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。 重庆三峡学院毕业设计（论文） 题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨 目录 摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3) 2正项级数相关概念 (3) 2.1 定义 (3) 2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3) 2.3 三个重要比较级数 (4) 2.3.1 几何级数 (4) 2.3.2 调和级数 (5) 2.3.3 P-级数 (5) 3 正项级数敛散性判别法 (6) 3.1 判别发散的简单方法 (6) 3.2 比较判别法 (7) 3.2.1 定理及其推论 (7) 3.2.2 活用比较判别法 (9) 3.2.3 归纳总结 (11) 3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12) 3.3.1 柯西判别法 (12) 3.3.2 达朗贝尔判别法 (13) 3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15) 3.4 拉贝判别法 (17) 3.5 积分判别法 (19) 3.6 两种新方法 (20) 3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23) 4 在判别级数敛散性中的作用 (23) 4.1 证明负项级数的敛散性 (23) 4.2 证明变号级数绝对收敛 (24) 4.3 证明函数级数收敛 (25) 5 结束语 (26) 致谢 (27) 参考文献: (27)正项级数敛散性地判别方法
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，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
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