机器人技术考试复习题

简述工业机器人的定义，说明机器人的主要特征。

答：机器人是一种用于移动各种材料、零件、工具、或专用装置，通过可编程动作来执行种种任务并具有编程能力的多功能机械手。

1.机器人的动作结构具有类似于人或其他生物体某些器官（肢体、感官等）的功能。

2.机器人具有通用性，工作种类多样，动作程序灵活易变。

3.机器人具有不同程度的智能性，如记忆、感知、推理、决策、学习等。

4.机器人具有独立性，完整的机器人系统在工作中可以不依赖于人的干预。

工业机器人与数控机床有什么区别

答：1.机器人的运动为开式运动链而数控机床为闭式运动链；

2.工业机器人一般具有多关节，数控机床一般无关节且均为直角坐标系统；

3.工业机器人是用于工业中各种作业的自动化机器而数控机床应用于冷加工。

4.机器人灵活性好，数控机床灵活性差。

简述下面几个术语的含义：自有度、重复定位精度、工作范围、工作速度、承载能力。答：自由度是机器人所具有的独立坐标运动的数目，不包括手爪（末端执行器）的开合自由度。

重复定位精度是关于精度的统计数据，指机器人重复到达某一确定位置准确的概率，是重复同一位置的范围，可以用各次不同位置平均值的偏差来表示。

工作范围是指机器人手臂末端或手腕中心所能到达的所有点的集合，也叫工作区域。

工作速度一般指最大工作速度，可以是指自由度上最大的稳定速度，也可以定义为

手臂末端最大的合成速度（通常在技术参数中加以说明）。

承载能力是指机器人在工作范围内的任何位姿上所能承受的最大质量。

—

什么叫冗余自由度机器人

答：从运动学的观点看，完成某一特定作业时具有多余自由度的机器人称为冗余自由度机器人。

点矢量v 为

写出变换后点矢量v 的表达式，并说明是什么性质的变换，写出旋转算子Rot 及平移算子Trans 。

解：v ，

0x f ?

????????????100.3000.2000.10=?????

??????13932.1966.9 属于复合变换：

{

旋转算子Rot （Z ，30?）

平移算子Trans （，，）

???

???????-10000.91000.30100.11001

有一旋转变换，先绕固定坐标系Z 0 轴转45?，再绕其X 0轴转30?，最后绕其Y 0轴转60?，试求该齐次坐标变换矩阵。解：齐次坐标变换矩阵

R=Rot(Y ，60?）Rot （X ，30?）Rot(Z ，45?）

???

??????-???????

???-?????????

???-1000010000707.0707.000707.0707.010

000866

.05.0005.0866.0000

01100005.00866.000100866.005.0=

?????

???----1000

0433.0436.0436.005.0612.0612.00750.0047.0660.0 坐标系{B}起初与固定坐标系{O}相重合，现坐标系{B}绕Z B 旋转30?，然后绕旋转后的动坐

标系的X B 轴旋转45?，试写出该坐标系{B}的起始矩阵表达式和最后矩阵表达式。

解：起始矩阵：B=O=?

???

????

???100001000010

0001 最后矩阵：B′=Rot(Z ，30?）B Rot （X ，45?）=?????

???--1000

0707.0707.000612

.0612.05.000353

.0866.0 坐标系{A}及{B}在固定坐标系{O}中的矩阵表达式为

{A}=????

?????

???--10000.20866.0500.0000.00.10500.0866.0000.00.0000

.0000.0000.1 {B}=????

????

???----10000.3866.0433.0250.00.3500.0750.0433.00.3000.0500.0866.0 画出它们在{O}坐标系中的位置和姿势；

A=Trans （，，）Rot （X ，30?）O

B=Trans ，，）Rot(X ，30?）Rot （Z ，30?）O

写出齐次变换阵H A

B ，它表示坐标系{B}连续相对固定坐标系{A}作以下变换：

（1）绕A Z 轴旋转90?。（2）绕A X 轴旋转-90?。（3）移动[]T

973。

解：

H A

=Trans （3，7，9）Rot （X ，-90?）Rot （Z ，90?）

=???????

???-???????

???-????????????100

0010

00001001

01000001

00100000

11000910070103001=??

???

???-?????????

???-100

0010

00001001

0100

0901********

1=?????

???--100

0900171003010 写出齐次变换矩阵H B

B ，它表示坐标系{B}连续相对自身运动坐标系{B}作以下变换：

（1）移动[]T

973。

（2）《

（3）

绕B X 轴旋转90?。.

（4）绕B Z 轴转-90?。.

H B B

=Trans （3，7，9）Rot （X ，90?）Rot （Z ，90?）=

???

???-???????

???-????????????1000

0100

0001001010000010

010000

1000910070103001=

y 0

x 1

y 1x 2

y 2

x 3

y 3

如题图所示的二自由度平面机械手，关节1为转动关节，关节变量为θ1；关节2为移动关节，关节变量为d 2。试：

（1）建立关节坐标系，并写出该机械手的运动方程式。（2）按下列关节变量参数求出手部中心的位置值。

解：建立如图所示的坐标系

（

参数和关节变量

连杆 θ α а d 1

θ1 0 0 % 0 2

d 2

??????????-==1000

00000000),(11

1111θθ

θθθC S S C Z Rot A ?

???

?????==100001000010001

)0,0,(222d d Trans A 机械手的运动方程式：

θ1

0? 》 30?

60? 90? d 2/m

=?=2

12A A T ?

???

?????-1000

0100sin 0cos sin cos 0sin cos 12111211θθθθθθd d 当θ1=0? ， d 2=时：

手部中心位置值?

???

????

???=1000

00000010

5.0001

B 当θ1=30? ， d 2=时

手部中心位置值 ?

????

???-=1000

00004.00866.05.0433.005.0866.0B

当θ1=60? ， d 2=时

手部中心位置值?

???

???-=1000

0000866.005

.0866.05.00

866

.05.0B 当θ1=90? ， d 2=时

手部中心位置值??

???

???-=100

000007.000

100

0B 题图所示为一个二自由度的机械手，两连杆长度均为1m ，试建立各杆件坐标系，求出1A ，

2A 的变换矩阵。

解：建立如图所示的坐标系连杆 θ α а d 1

1θ

1 、 0 0 2

2θ-

A 1=Rot(Z , θ1) Trans(1,0,0) Rot(X , 0o)=??

???

????

???-100

01000cos sin 0sin cos 11

111θθθ

θθθs c A 2= Rot(Z , -θ2)Trans(l, 0, 0)Rot(X , 90o)?????

????

???-=10

000000002

22θθθθc c s s "

有一台如题图所示的三自由度机械手的机构，各关节转角正向均由箭头所示方向指定，请标出各连杆的D-H 坐标系，然后求各变换矩阵1A ，2A ，

解：D-H 坐标系的建立

按D-H 方法建立各连杆坐标系连杆 θ

a d

θ1

90?

1L +2L

2 θ2

0 3L

0 3

1A =??

???

???+-10

0100cos 0sin 0

sin 0cos 211

11L L θθ

θθ 2A =

???????

?????-10000100sin 0cos sin cos 0sin cos

23222322θθθθθθL L 3A =?

???

?????-1000

010

0sin 0cos

sin cos 0sin cos

343

33433θθθθθθL L

何谓轨迹规划简述轨迹规划的方法并说明其特点。答：机器人的轨迹泛指工业机器人在运动过程中的运动轨迹，即运动点位移，速度和加速度。轨迹的生成一般是先给定轨迹上的若干个点，将其经运动学反解映射到关节空间，对关节空间中的相应点建立运动方程，然后按这些运动方程对关节进行插值，从而实现作业空间的运动要求，这一过程通常称为轨迹规划。

（1）?

（2）示教—再现运动。这种运动由人手把手示教机器人，定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作。

（3）关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这种方式求最短时间运动很方便。

（4）空间直线运动。这是一种直角空间里的运动，它便于描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。

（5）空间曲线运动。这是一种在描述空间中用明确的函数表达的运动。

设一机器人具有6个转动关节，其关节运动均按三次多项式规划，要求经过两个中间路径点后停在一个目标位置。试问欲描述该机器人关节的运动，共需要多少个独立的三次多项式要确定这些三次多项式，需要多少个系数答：共需要3个独立的三次多项式；需要72个系数。

单连杆机器人的转动关节，从q = –5°静止开始运动，要想在4 s 内使该关节平滑地运动到q =+80°的位置停止。试按下述要求确定运动轨迹： —

(1)关节运动依三次多项式插值方式规划。

(2)关节运动按抛物线过渡的线性插值方式规划。

解：（1）采用三次多项式插值函数规划其运动。已知,4,80,50s t f f ==-= θθ代入可得系数为66.2,94.15,0,53210-===-=a a a a 运动轨迹：

()()()t

t t t t t t t 96.1588.3198.788.3166.294.155232-=-=-+-=???

θθθ

（2）运动按抛物线过渡的线性插值方式规划：

,4,80,50s t f f ==-= θθ

根据题意，定出加速度的取值范围：

225.2116

854s =?≥?

?θ

如果选2

42s

?θ，算出过渡时间1a t ，

1a t =[42

285

4244422422???-?-]=

计算过渡域终了时的关节位置1a θ和关节速度?

1θ，得

1a θ= 4.2)594.0422

(52=??+-

s s a s t 95.24)594.042(111=?==?

??θθ

机器人本体主要包括哪几部分以关节型机器人为例说明机器人本体的基本结构和主要特点。

答：机器人本体：(1)传动部件 (2)机身及行走机构

(3)机身及行走机构（4)腕部 (5)手部

基本结构：机座结构、腰部关节转动装置、大臂结构、大臂关节转动装置、小臂结

构、小臂关节转动装置、手腕结构、手腕关节转动装置、末端执行器。

主要特点：(1) 一般可以简化成各连杆首尾相接、末端无约束的开式连杆系，连杆 ;

系末端自由且无支承，这决定了机器人的结构刚度不高，并随连杆

系在空间位姿的变化而变化。

(2) 开式连杆系中的每根连杆都具有独立的驱动器，属于主动连杆系，连杆的运动各自独立，不同连杆的运动之间没有依从关系，运动灵活。

(3) 连杆驱动扭矩的瞬态过程在时域中的变化非常复杂，且和执行器反

馈信号有关。连杆的驱动属于伺服控制型，因而对机械传动系统的刚度、间隙和运动精度都有较高的要求。

(4) 连杆系的受力状态、刚度条件和动态性能都是随位姿的变化而变化的，因此，极容易发生振动或出现其他不稳定现象。

。

一、机器人的定义

一种拟人功能的机械电子装置。

A mechantronic device to imitate some human functions 。二、机器人三原则

1.机器人不应伤害人类；

2.机器人应遵守人类的命令，与第一条相抵触的命令除外；

3.机器人应能保护自己，与第二条相抵触者除外。三、解释机器人的“通用性”和“适应性”

“通用性”：在机械结构上允许机器人执行不同的任务或以不同的方式完成同一工作。包括机械系统的机动性与控制系统的灵活性。

“适应性”:能自动执行这些未经完全指定的任务，而不管任务执行过程中所发生的

没有预测到的环境变化。

四、什么叫：基准坐标系构件坐标系

基准坐标系称为参考坐标系。在变换中是不动的坐标系。

构件坐标系其固接在物体或机器人上。其变换后相对参考坐标系发生位姿改变。五、求点 621u i j k =++ ①绕z 轴旋转90°后的坐标，②再绕y 轴旋转90°后的

坐标

90900060100629090002100026001010010110001100011190090020010010060100900900110000

0011c s s c v c s s c ω?-?--??????????

?????????????

?????????===??????????

????????????????????

?-?????????

???==????-??-????????216612000111-??????

????????????

=??????

????????????

六、有机器人各杆件的参数如下表，请推导出各个杆件的A 矩阵

?????

???????--=10

0010000011

111c s s c A ?

?????

??????-=10

2010000022

222d c s s c A

?????

??????=10001000010000133

d A

?????

???????--=10

0010000044

444c s s c A ?????

???????-=10

0010000055

555c s s c A ?????

???????-=10

010*******

666c s s c A

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案

二、简答题：

1.机器人学主要包含哪些研究内容

2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些

3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义

4.机器人控制系统的基本单元有哪些

5.直流电机的额定值有哪些

6.常见的机器人外部传感器有哪些

7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。 8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成

9.为什么要做图像的预处理机器视觉常用的预处理步骤有哪些 10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。

11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类 12.仿人机器人的关键技术有哪些三、论述题：

1.试论述机器人技术的发展趋势。

2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。

3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。

4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。

5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的

6.试论述工业机器人的应用准则。

四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）：

1.已知点u的坐标为[7,3,2]T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v；（2）绕y

轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿z轴平移7个单位得到点t。求u, v, w, t各点的齐次坐标。

2.如图所示为具有三个旋转关节的3R机械手，求末端机械手在基坐标系{x0,y0}下的运动学方程。

3.如图所示为平面内的两旋转关节机械手，已知机器人末端的坐标值{x,y}，试求其关节旋转变量θ1和

θ2.

4.如图所示两自由度机械手在如图位置时（θ1= 0 , θ2=π/2），生成手爪力 F A = [ f x 0 ]T 或F B = [ 0 f y ]T 。求对应的驱动力 τA 和τB 。

0x f ???

5.如图所示的两自由度机械手，手部沿固定坐标系在手上X 0轴正向以s 的速度移动，杆长l 1=l 2=。设在某时刻θ1=30°，θ2=-60°，求该时刻的关节速度。已知两自由度机械手速度雅可比矩阵为

1121221211212

212l s l s l s l c l c l c θθ---??

?+??

6.如图所示的三自由度机械手（两个旋转关节加一个平移关节，简称RPR 机械手），求末端机械手的运

动学方程。

参考答案

一、名词解释题：

1. 自由度：指描述物体运动所需要的独立坐标数。

2. 机器人工作载荷：机器人在规定的性能范围内，机械接口处能承受的最大负载量（包括手部）。

3. 柔性手：可对不同外形物体实施抓取，并使物体表面受力比较均匀的机器人手部结构。

4. 制动器失效抱闸：指要放松制动器就必须接通电源，否则，各关节不能产生相对运动。

5. 机器人运动学：从几何学的观点来处理手指位置与关节变量的关系称为运动学。

6. 机器人动力学：机器人各关节变量对时间的一阶导数、二阶导数与各执行器驱动力或力矩之间的关系，

即机器人机械系统的运动方程。

7. 虚功原理：约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移）

施力所作功之和为零。

8. PWM 驱动：脉冲宽度调制（Pulse Width Modulation ）驱动。 9. 电机无自转：控制电压降到零时，伺服电动机能立即自行停转。

10. 直流伺服电机的调节特性：是指转矩恒定时，电动机的转速随控制电压变化的关系。

11. 直流伺服电机的调速精度：指调速装置或系统的给定角速度与带额定负载时的实际角速度之差，与给

定转速之比。

12. PID 控制：指按照偏差的比例（P , proportional ）、积分（I, integral ）、微分（D, derivative ）进行控制。 13. 压电元件：指某种物质上施加压力就会产生电信号，即产生压电现象的元件。 14. 图像锐化：突出图像中的高频成分，使轮廓增强。

15. 隶属函数：表示论域U 中的元素u 属于模糊子集A 的程度，在[0, 1]闭区间内可连续取值。 16. BP 网络：BP (Back Propagation)神经网络是基于误差反向传播算法的人工神经网络。 17. 脱机编程：指用机器人程序语言预先进行程序设计，而不是用示教的方法编程。 18. AUV ：Autonomous Underwater Vehicle 无缆自治水下机器人，或自动海底车。二、简答题：

1.答：机器人研究的基础内容有以下几方面：(1) 空间机构学；(2) 机器人运动学；(3) 机器人静力学；(4)机器人动力学；(5)机器人控制技术；(6)机器人传感器；(7)机器人语言。

2.答：目前常用的有如下几种形式：(1)横梁式。机身设计成横梁式，用于悬挂手臂部件，具有占地面积小，能有效地利用空间，直观等优点。(2)立柱式。多采用回转型、俯仰型或屈伸型的运动型式，一般臂部都可在水平面内回转，具有占地面积小而工作范围大的特点。(3)机座式。可以是独立的、自成系统的完整装置，可随意安放和搬动。也可以具有行走机构，如沿地面上的专用轨道移动，以扩大其活动范围。(4)屈伸式。臂部由大小臂组成，大小臂间有相对运动，称为屈伸臂，可以实现平面运动，也可以作空间运动。

3.答：拉格朗日运动方程式一般表示为：

d d L L

τt q q

????-

= ????? 式中，q 是广义坐标；τ是广义力。L 是拉格朗日算子，表示为

L K P =-

这里，K 是动能；P 是位能。

4.答：构成机器人控制系统的基本要素包括： (1) 电动机，提供驱动机器人运动的驱动力。(2) 减速器，为了增加驱动力矩、降低运动速度。(3) 驱动电路，由于直流伺服电动机或交流伺服电动机的流经电流较大，机器人常采用脉冲宽度调制（PWM ）方式进行驱动。(4) 运动特性检测传感器，用于检测机器人运动的位置、速度、加速度等参数。(5) 控制系统的硬件，以计算机为基础，采用协调级与执行级的二级结构。(6) 控制系统的软件，实现对机器人运动特性的计算、机器人的智能控制和机器人与人的信息交换等功能。

5.答：直流电动机的额定值有以下几项：(1)额定功率，是指按照规定的工作方式运行时所能提供的输出功率。对电动机来说，额定功率是指轴上输出的机械功率，单位为kW 。(2)额定电压，是电动机电枢绕组能够安全工作的最大外加电压或输出电压，单位为V 。(3)额定电流，是指电动机按照规定的工作方式运

行时，电枢绕组允许流过的最大电流，单位为A。(4)额定转速，指电动机在额定电压、额定电流和输出额定功率的情况下运行时，电动机的旋转速度，单位为r/min。

6.答：常见的外部传感器包括触觉传感器，分为接触觉传感器、压觉传感器、滑觉传感器和力觉传感器。距离传感器，包括超声波传感器，接近觉传感器，以及视觉传感器、听觉传感器、嗅觉传感器、味觉传感器等。

7.答：在脉冲回波式中，先将超声波用脉冲调制后发射，根据经被测物体反射回来的回波延迟时间Δt，计算出被测物体的距离R，假设空气中的声速为v，则被测物与传感器间的距离R为：

=??

R v t

如果空气温度为T（℃)，则声速v可由下式求得：

()

331.50.607m/s

v T

8.答：(1) 景物和距离传感器，常用的有摄像机、CCD图像传感器、超声波传感器和结构光设备等；(2) 视频信号数字化设备，其任务是把摄像机或者CCD输出的信号转换成方便计算和分析的数字信号；(3) 视频信号处理器，视频信号实时、快速、并行算法的硬件实现设备：如DSP系统；(4) 计算机及其设备，根据系统的需要可以选用不同的计算机及其外设来满足机器人视觉信息处理及其机器人控制的需要；(5) 机器人或机械手及其控制器。

9.答：预处理的主要目的是清楚原始图像中各种噪声等无用的信息，改进图像的质量，增强兴趣的有用信息的可检测性。从而使得后面的分割、特征抽取和识别处理得以简化，并提高其可靠性。机器视觉常用的预处理包括去噪、灰度变换和锐化等。

10.答：模糊逻辑控制器由4个基本部分组成，即模糊化、知识库、推理算法和逆模糊化。(1) 模糊化：将检测输入变量值变换成相应的论域，将输入数据转换成合适的语言值。(2) 知识库：包含应用领域的知识和控制目标，它由数据和模糊语言控制规则组成。(3) 推理算法：从一些模糊前提条件推导出某一结论，这种结论可能存在模糊和确定两种情况。(4) 逆模糊化：将推理所得到的模糊值转换为明确的控制讯号，作为系统的输入值。

11.答：机器人编程语言可分为：(1) 动作级：以机器人末端执行器的动作为中心来描述各种操作，要在程序中说明每个动作。(2) 对象级：允许较粗略地描述操作对象的动作、操作对象之间的关系等，特别适用于组装作业。(3) 任务级：只要直接指定操作内容就可以了，为此，机器人必须一边思考一边工作。

12.答：(1) 仿人机器人的机构设计；(2) 仿人机器人的运动操作控制，包括实时行走控制、手部操作的最优姿态控制、自身碰撞监测、三维动态仿真、运动规划和轨迹跟踪；(3) 仿人机器人的整体动力学及运动学建模；(4) 仿人机器人控制系统体系结构的研究；(5) 仿人机器人的人机交互研究，包括视觉、语音及情感等方面的交互；(6) 动态行为分析和多传感器信息融合。

三、论述题：

1.答：科学技术水平是机器人技术的基础，科学与技术的发展将会使机器人技术提高到一个更高的水平。未来机器人技术的主要研究内容集中在以下几个方面：(1) 工业机器人操作机结构的优化设计技术。

(2) 机器人控制技术。。(3) 多传感系统。(4) 机器人遥控及监控技术，机器人半自主和自主技术。。(5) 虚拟机器人技术。(6) 多智能体控制技术。。(7) 微型和微小机器人技术。(8) 软机器人技术。(9) 仿人和仿生技术。。

2.答：精度、重复精度和分辨率用来定义机器人手部的定位能力。

精度是一个位置量相对于其参照系的绝对度量，指机器人手部实际到达位置与所需要到达的理想位置之间的差距。机器人的精度决定于机械精度与电气精度。

重复精度指在相同的运动位置命令下，机器人连续若干次运动轨迹之间的误差度量。如果机器人重复执行某位置给定指令，它每次走过的距离并不相同，而是在一平均值附近变化，该平均值代表精度，而变化的幅度代表重复精度。

分辨率是指机器人每根轴能够实现的最小移动距离或最小转动角度。精度和分辨率不一定相关。一台设备的运动精度是指命令设定的运动位置与该设备执行此命令后能够达到的运动位置之间的差距，分辨率则反映了实际需要的运动位置和命令所能够设定的位置之间的差距。

工业机器人的精度、重复精度和分辨率要求是根据其使用要求确定的。机器人本身所能达到的精度取决于机器人结构的刚度、运动速度控制和驱动方式、定位和缓冲等因素。

由于机器人有转动关节，不同回转半径时其直线分辨率是变化的，因此造成了机器人的精度难以确定。由

于精度一般较难测定，通常工业机器人只给出重复精度。

3.答：轮式行走机器人是机器人中应用最多的一种机器人，在相对平坦的地面上，用车轮移动方式行走是相当优越的。车轮的形状或结构形式取决于地面的性质和车辆的承载能力。在轨道上运行的多采用实心钢轮，室外路面行驶的采用充气轮胎，室内平坦地面上的可采用实心轮胎。足式行走对崎岖路面具有很好的适应能力，足式运动方式的立足点是离散的点，可以在可能到达的地面上选择最优的支撑点，而轮式行走工具必须面临最坏的地形上的几乎所有点；足式运动方式还具有主动隔震能力，尽管地面高低不平，机身的运动仍然可以相当平稳；足式行走在不平地面和松软地面上的运动速度较高，能耗较少。

4.答：静力学指在机器人的手爪接触环境时，在静止状态下处理手爪力F 与驱动力τ的关系。动力学研究机器人各关节变量对时间的一阶导数、二阶导数与各执行器驱动力或力矩之间的关系，即机器人机械系统的运动方程。而运动学研究从几何学的观点来处理手指位置与关节变量的关系。

。图中用虚线表示的关系可通过实线关系的组合表示，这些也可作为动力学的问题来处理。

1.解：点u 的齐次坐标为：[]7,3,2,1T

v = Rot(z,90°)u = 0100731

00037001022000111--??????

???????

?????=??????

????????????

w = Rot(y,90°)v = 00103201

0077100023000111-??????

???????

?????=??????

-????????????

t = Trans(4,-3,7)w = 1004260

1037400173100

00111??????

??????-?

?????=??????

??????

2.解：建立如图1的参考坐标系，则

T =111

1000000100

1c s s c -????????

??,21T =2

212200000100

01c s L s c -????????????,32T =3

323

30000

0100

01c s L s c -??

??????

????

图1

T =10T 21T 32T =1231231121212312311212000010

01c s L c L c s c L s L s -+????+?

?????

其中()()123123123123cos ,sin c s θθθθθθ=++=++. 3.解：如图2所示，逆运动学有两组可能的解。

图2

第一组解：由几何关系得

()11212cos cos x L L θθθ=++ （1） ()11212sin sin y L L θθθ=++ （2）

（1）式平方加（2）式平方得

222

2121222cos x y L L L L θ+=++

222

212

212arccos 2x y L L L L θ??+--=>= ???

221122sin arctan arctan cos L y x L L θθθ????

=- ? ?+????

第二组解：由余弦定理， ()222

212

12arccos 2x y L L L L α??-+++?

?=????

'θπα=+

()1

'arctan 2

y x παθ-??

+ ???

4.解：由关节角给出如下姿态：

()()()

()11212212221

11212212sin sin sin 0cos cos cos L L L L L J L L L L θθθθθθθθθθ--+-+??--??

==?

???+++??????

由静力学公式T

J F τ=

2212200x x T

A A x L f L L f J F L L f τ--??

????===??????--??????

1212000y T

B B y L f L L J F f L τ-????

??===??????-??????

5.解：因为：1121221211212

212l s l s l s l c l c l c θθ---??

?+??

J 因此，逆雅可比矩阵为：2122121

1121211212122

1l c l s l c l c l s l s l l s θθθ-?

??----??

因为，1

-=J v θ，且v =[1, 0]T ，即v X =1m/s ，v Y =0，因此