人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
31-ξ函数的基本性质
学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应
用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
学习过程
一、 函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法：
判断下列函数的单调区间：2
1x y =
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在]
,[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=
的单调递减区间是 ，单调递增区间
为 ．
（2）5
412
+-=
x x y 的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上
是增（或减）函数
4．例题分析
证明：函数1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，
则21
121212
11()()x x f x f x x x x x --=-=
， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >
所以，1
()f x x
=在(0,)+∞上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x
y 1
=不能说
)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数()f x x =的单调性。
二、函数的奇偶性
1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，
那么函数()f x 就叫做偶函数。例如：函数2()1f x x =+, 4
()2f x x =-等都是偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，
那么函数()f x 就叫做奇函数。例如：函数x x f =)(，x
x f 1
)(=
都是奇函数。 （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足
)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． 2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质罚 3．例题分析：
判断下列函数的奇偶性：
（1）2
()||f x x x =- （ ） （2）2
1()2|2|
x f x x -=-+（ ）
说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑
()()f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑()
()
f x f x -与1或1-的关系。
五．小结：1．函数奇偶性的定义；
2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。
二、函数的最大值或最小值
学习评价
※ 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
经典例题
1．下面说法正确的选项
（ ）
A ．函数的单调区间可以是函数的定义域
B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ）
A ．1=y
B ．21+-=
x
x
y C ．122---=x x y D ．21x y +=
3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）
A ．2-≥b
B ．2-≤b
C ．2->b
D ． 2-
（ ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值
课后作业
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（ ）
A ．y =2x ＋1
B ．y =3x 2＋1
C ．y =
x
2
D ．y =2x 2＋x ＋1
2．函数y =(x －1)-
2的减区间是___ _．
3．偶函数()f x 在[]0,π上单调递增，则(2),(3),()2
f f f π
--从小到大排列的顺
序是 ；
4．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，求()f x 的解析式。
5．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①x
x y 1
3
+=； ②x x y 2112-+-=；
高中数学必修1函数的基本性质
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：
○
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○
3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 （3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集： ①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数； ②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3．最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 注意： ○ 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○ 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值； ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； 4．周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数； （2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2 ()2(T x f T x f -=+ 若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为 | |ωT 。 四．典例解析 【奇偶性典型例题】 例1．以下五个函数：（1）)0(1≠= x x y ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是 _________ 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定 义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。 题型二：奇偶性的应用 例2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。 例3．已知()f x 奇函数，当x ∈（0，1）时，1 ()lg 1f x x =+，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是 ． 例4．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试求a 的范围： 2(2)(4)0f a f a -+-<． 解：由已知得2 (2)(4)f a f a -<-- 因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是2(2)(4)f a f a -<-． 又()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，从而 2 2322412113 321415335 a a a a a a a a a ??-<<-<-?? -<- 【单调性典型例题】 例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( ) A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．12a >- D ．1 2 a < (2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( ) A ．0b ≥ B ．0b ≤ C ．0b > D ．0b < (3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确 的是（ ） A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+ B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+- C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+ D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数()y f x =的图象,该函数的单调增区间为 例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间 （1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++ 例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数． 例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ?=+，且当0>x 时，1)(0< （1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ； （3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ?->，求x 的范围。 解：(1)取m=0，n= 12则11(0)()(0)22f f f +=，因为1 ()02 f > 所以(0)1f = (2)设0x <则0x -> 由条件可知()f x o -> 又因为1(0)( )()()0f f x x f x f x ==-=->，所以()0f x > ∴R x ∈时，恒有0)(>x f （3）设12x x <则 121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x -- 因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x --> 所以12()()0f x f x ->，即该函数 在R 上是减函数. (4) 因为()(2)1f x f x ?->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ?-=-> 所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或 例5：（复合函数单调性）1.函数 223y x x =--+的增区间是（ ）. A ． [-3,-1] B ． [-1,1] C ． (,3)-∞- D ． [1,)-+∞ 2.函数y ＝ 80 212--x x 的单调递增区间为（ ） A ．(,8)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(8,)-+∞ 题型五：周期问题 例6．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数 ()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函 数，且在2x =时函数取得最小值5-。 ①证明：(1)(4)0f f +=； ②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③求()y f x =在[4,9]上的解析式。 解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=。 ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2 ()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由 (1)(4)0 f f +=得 22(12)5(42)50 a a --+--=，∴ 2 a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤。 ③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =， 又知()y f x =在[0,1]上是一次函数， ∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-， 从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-。 ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤， ∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+。 当69x <≤时，154x <-≤， ∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2 315, 46()2(7)5, 69 x x f x x x -+≤≤?=? --<≤?。 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020. 『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）—————————————— 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学必修一集合与函数知识点 高中数学必修一集合与函数知识点归纳 集合是具有某种特定性质的事物的总体。这里的事物可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下定义。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于与不属于两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的几种运算法则 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B 的并(集)，记作A B(或B A)，读作A并B (或B并A )，即A B={x|x A，或x B}交集：以属于A且属于B的元差集表示 素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A B(或B A)，读作A交B (或B交A )，即A B={x|x A，且x B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合 1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B) (B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A B)-(A B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A 叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：A\B={x│x A，x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说空集属于任何集合.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 集合元素的性质 1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如个子高的同学很小的数都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成 高中函数大题专练 １、已知关于x 的不等式2 (4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。 ⑴试求不等式的解集A ； ⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ；若不能，请说明理由。 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探 求,a b 应满足的条件。 人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时） §2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3） 第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。 高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA) 注意：有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集 函数部分难题汇总 1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ） A ．沿x 轴向右平移1个单位 B ．沿x 轴向右平移 1 2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1 2 个单位 3．设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052 ， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 5．函数x x x y += 的图象是（ ） 6．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
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